摂動論（量子力学）

量子力学において、摂動論は、複雑な量子系をより単純な系で記述するための、数学的摂動に直接関連する一連の近似スキームです。その考え方は、数学的解が既知の単純な系から始めて、系に対する弱い擾乱を表す追加の「摂動」ハミルトニアンを追加することです。擾乱が大きすぎない場合、摂動された系に関連するさまざまな物理量（エネルギーレベルや固有状態など）は、単純な系の物理量に対する「補正」として表現できます。これらの補正は、量自体のサイズに比べて小さいため、漸近級数などの近似法を使用して計算できます。したがって、複雑な系は、より単純な系に関する知識に基づいて研究できます。実際には、これは、単純で解ける系を使用して、複雑で未解決の系を記述しています。

近似ハミルトニアン

摂動論は実際の量子系を記述するための重要なツールです。なぜなら、中程度の複雑さのハミルトニアンに対してもシュレーディンガー方程式の正確な解を見つけることは非常に難しいからです。水素原子、量子調和振動子、箱の中の粒子など、正確な解がわかっているハミルトニアンは、ほとんどのシステムを適切に記述するには理想化されすぎています。摂動論を使用すると、これらの単純なハミルトニアンの既知の解を使用して、より複雑なシステムの解を生成することができます。

摂動論の応用

摂動論は、手元の問題が正確には解けないが、正確に解ける問題の数学的記述に「小さな」項を追加することで定式化できる場合に適用できます。

たとえば、水素原子の量子力学モデルに摂動電位を加えると、電界の存在によって生じる水素のスペクトル線の小さなシフト(シュタルク効果) を計算できます。これは近似値にすぎません。なぜなら、トンネル時間(減衰率) は非常に長いにもかかわらず、クーロン電位と線形電位の合計は不安定 (真の束縛状態を持たない)だからです。この不安定性はエネルギースペクトル線の広がりとして現れますが、摂動理論ではこれを完全に再現することはできません。

摂動論によって生成される式は厳密ではないが、展開パラメータ、たとえば $αが非常に小さい限り、正確な結果を導くことができる。通常、結果は$ $α$ の有限べき級数で表され、高次の値まで合計すると正確な値に収束するように見える。しかし、ある次数 $n$ $~ 1/$ $α を$ 超えると、級数は発散するため（漸近級数）、結果はますます悪化する。それらを収束級数に変換する方法があり、変分法によって最も効率的に大きな展開パラメータについて評価できる。実際には、収束摂動展開はゆっくりと収束することが多いが、発散摂動展開は低次の値で正確な解と比較して良い結果をもたらすことがある。^[1]

電子と光子の相互作用を摂動的に扱う量子電磁力学（QED）の理論では、電子の磁気モーメントの計算結果は小数点以下11桁まで実験結果と一致することが分かっている。^[2] QEDやその他の量子場理論では、ファインマン図と呼ばれる特殊な計算手法を使用して、冪級数の項を体系的に合計する。

制限事項

大きな摂動

状況によっては、摂動論は無効なアプローチです。これは、記述したいシステムが、単純なシステムに課せられた小さな摂動では記述できない場合に起こります。たとえば、量子色力学では、結合定数(展開パラメータ) が大きくなりすぎて、補正が小さくなければならないという要件に違反するため、低エネルギーではクォークとグルーオン場の相互作用を摂動論的に扱うことができません。

非断熱状態

摂動論では、「自由モデル」から断熱的に生成されない状態、つまり束縛状態やソリトンなどのさまざまな集団現象も記述できない。^[要出典]たとえば、引力相互作用が導入された自由（相互作用しない）粒子のシステムがあると想像してください。相互作用の形式によっては、互いに束縛された粒子のグループに対応するまったく新しい一連の固有状態が生成される場合があります。この現象の例は、従来の超伝導に見られます。この超伝導では、伝導電子間のフォノン媒介引力により、クーパー対と呼ばれる相関電子対が形成されます。このようなシステムに直面した場合、通常は変分法やWKB 近似などの他の近似スキームに頼ります。これは、摂動を受けないモデルには束縛粒子の類似物がなく、ソリトンのエネルギーが通常、展開パラメータの逆数となるためです。しかし、ソリトン現象を「積分」すると、この場合の非摂動補正はごくわずかになります。摂動パラメータ $gの$ $exp(-1/$ $g$ $)$ または $exp(-1/$ $g$ $2$ $)$ のオーダーです。摂動理論では、摂動展開が無効となる他の解が存在する場合でも、摂動のない解に「近い」解しか検出できません。^[^{引用が必要}^]

難しい計算

非摂動論的システムの問題は、現代のコンピュータの出現によっていくらか緩和されました。密度汎関数理論などの方法を使用して、特定の問題に対する数値的な非摂動論的解を得ることが実用的になりました。これらの進歩は、量子化学の分野に特に利益をもたらしました。^[3]コンピュータはまた、摂動論の計算を非常に高い精度で実行するために使用されており、これは実験と比較できる理論的結果を生成するために素粒子物理学で重要であることが証明されています。

時間に依存しない摂動論

時間独立摂動論は摂動論の2つのカテゴリーのうちの1つであり、もう1つは時間依存摂動論（次のセクションを参照）である。時間独立摂動論では、摂動ハミルトニアンは静的である（つまり、時間依存性を持たない）。時間独立摂動論は、エルヴィン・シュレーディンガーが波動力学の理論を発表した直後の1926年の論文^[4]で発表された。この論文でシュレーディンガーは、小さな不均一性によって摂動を受けた弦の調和振動を調査したレイリー卿^{[5]の以前の研究に言及した。このため、この摂動論は}レイリー・シュレーディンガー摂動論と呼ばれることが多い。^[6]

一次補正

このプロセスは、時間依存性がないと仮定された非摂動ハミルトニアン $H 0$ ^{から始まる。 [7]}時間に依存しないシュレーディンガー方程式から生じる既知のエネルギー準位と固有状態を持つ。

$H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots$

簡単にするために、エネルギーは離散的であると仮定します。上付き文字 $(0)は、これらの量が摂動を受けていないシステムに関連付けられていることを示します。$ ブラケット表記の使用に注意してください。

次に、ハミルトニアンに摂動が導入されます。V $は$ 、外部場によって生成される位置エネルギーなどの弱い物理的摂動を表すハミルトニアンとします。したがって、 $V は$ 形式的にはエルミート演算子です。λ は、0 (摂動なし) から 1 (完全な摂動) まで連続的に変化する値を取ることができる無次元パラメータとします $。$ 摂動されたハミルトニアンは次のようになります。

$H=H_{0}+\lambda V$

摂動を受けたハミルトニアンのエネルギー準位と固有状態は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式によって再び与えられる。 $\left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

目的は、 $E n$ とを古いハミルトニアンのエネルギー準位と固有状態によって表現することです。摂動が十分に弱い場合、それらは $λ$ の（マクローリン）べき級数として表すことができます。ここで $|n\rangle$ ${\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\[1ex]|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}$ ${\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}{\bigg |}_{\lambda =0}\\[1ex]\left|n^{(k)}\right\rangle &=\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}\right|_{\lambda =0.}\end{aligned}}$

$k = 0$ のとき、これらは各級数の最初の項である摂動されていない値に減少します。摂動が弱いため、エネルギーレベルと固有状態は摂動されていない値から大きく逸脱することはなく、次数が増加するにつれて項は急速に小さくなるはずです。

シュレーディンガー方程式にべき級数展開を代入すると次の式が得られます。

$\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right).$

$この式を展開し、 λ$ の各べき乗の係数を比較すると、連立方程式の無限級数が得られる。ゼロ次方程式は、単に摂動を受けない系のシュレーディンガー方程式である。 $H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle .$

一次方程式は $H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle .$

をによって操作すると、左側の最初の項が右側の最初の項を打ち消します。(非摂動ハミルトニアンはエルミートであることを思い出してください)。これにより、1 次エネルギーシフトが発生します。これは、システムが非摂動固有状態にあるときの摂動ハミルトニアンの期待値にすぎません。 $\langle n^{(0)}|$ $E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$

この結果は、次のように解釈できます。摂動が適用され、システムが量子状態に保持されていると仮定します。これは、エネルギー固有状態ではなくなりましたが、有効な量子状態です。摂動により、この状態の平均エネルギーは増加します。ただし、摂動された固有状態はとまったく同じではないため、真のエネルギーシフトはわずかに異なります。これらのさらなるシフトは、エネルギーに対する 2 次およびより高次の補正によって与えられます。 $|n^{(0)}\rangle$ $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ $|n^{(0)}\rangle$

エネルギー固有状態に対する補正を計算する前に、正規化の問題に対処する必要があります。と仮定しますが、摂動論ではも仮定します。 $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =1,$ $\langle n|n\rangle =1$

$すると、 λ$ の 1 次では、次のことが成り立つはずです。 $\left(\left\langle n^{(0)}\right|+\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle \right)=1$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +{\cancel {\lambda ^{2}\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle }}=1$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =0.$

量子力学では全体の位相は決定されないため、一般性を失うことなく、時間独立理論では純粋に実数であると仮定することができる。したがって、 $\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =-\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle ,$ $\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.$

エネルギー固有状態に対する一次補正を得るには、一次エネルギー補正の式を上記の結果に挿入し、 $λの一次係数を等しくします。次に、$ 恒等式の分解を使用して、次の式を得ます。ここで、はの直交補数、つまり他の固有ベクトルにあります。 ${\begin{aligned}V\left|n^{(0)}\right\rangle &=\left(\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle +\left(\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\end{aligned}}$ $|k^{(0)}\rangle$ $|n^{(0)}\rangle$

したがって、一次方程式は次のように表される。 $\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$

ゼロ次のエネルギーレベルが縮退していない、つまりエネルギーの直交補集合に $H 0$ の固有状態が存在しないと仮定する。上記の和ダミーインデックスをと改名した後、任意のを選択し、までの 1 次方程式にを掛けると次の式が得られる。 $|n^{(0)}\rangle$ $E_{n}^{(0)}$ $k'$ $k\neq n$ $\langle k^{(0)}|$ $\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left\langle k^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .$

上記は、に沿った一次補正の成分も与えます。 $\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle$ $|k^{(0)}\rangle$

したがって、全体として、結果は次のようになります。 $\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\left|k^{(0)}\right\rangle .$

$n$ 番目のエネルギー固有ケットの 1 次変化には、各エネルギー固有状態 $k \neq n$ からの寄与があります。各項は行列要素に比例します。これは、摂動によって固有状態 $nが固有状態$ $k$ と混合される度合いの尺度です。また、固有状態 $k$ と $n$ のエネルギー差に反比例します。つまり、近くのエネルギーに固有状態が複数ある場合、摂動によって固有状態が大きく変形されます。これらの状態のいずれかが状態 $n$ と同じエネルギーを持つ場合、式は特異であり、これが、縮退がないと仮定された理由です。摂動を受けた固有状態に関する上記の式は、摂動の行列要素の絶対値が、摂動を受けていないエネルギーレベルの対応する差と比較して小さい場合にのみ、摂動理論を正当に使用できることも意味します。つまり、 $\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ $|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.$

2次および高次の補正

同様の手順で高次の偏差を求めることもできるが、現在の定式化では計算がかなり面倒になる。正規化の処方では、

$2\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.$

2 次までのエネルギーと (正規化された) 固有状態の表現は次のとおりです。

$E_{n}(\lambda )=E_{n}^{(0)}+\lambda \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {\left|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})$

${\begin{aligned}|n(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\[1ex]&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}$ 中間の正規化が行われる場合（つまり、を要求する場合）、最後の項を除いて、波動関数の2次補正に対して同じ式が得られます。 $\langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1$

この過程をさらに拡張すると、3次のエネルギー補正は次のように示される^[8]。

$E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}}.$

コンパクト表記における第5次（エネルギー）と第4次（状態）の修正

表記法を導入すると、

$V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle ,$ $E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)},$

すると、5次のエネルギー補正は次のように書ける。

${\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=V_{nn}\\E_{n}^{(2)}&={\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\E_{n}^{(3)}&={\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}-V_{nn}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}\\E_{n}^{(4)}&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}-2V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\E_{n}^{(5)}&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad -V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\&\quad +V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{3}}}-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\\&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-2E_{n}^{(2)}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad +V_{nn}\left(-2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}+{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}\right)\\&\quad +V_{nn}^{2}\left(2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}\right)-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\end{aligned}}$ そして4次の状態は次のように書ける。 ${\begin{aligned}|n^{(1)}\rangle &={\frac {V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}}}|k_{1}^{(0)}\rangle \\|n^{(2)}\rangle &=\left({\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}^{2}}}\right)|k_{1}^{(0)}\rangle -{\frac {1}{2}}{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{2}}}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(3)}\rangle &={\Bigg [}-{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{E_{nk_{2}}}}\right)-{\frac {|V_{nn}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{1}}}}+{\frac {1}{2E_{nk_{2}}}}\right){\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle \\&\quad +{\Bigg [}-{\frac {V_{nk_{2}}V_{k_{2}k_{1}}V_{k_{1}n}+V_{k_{2}n}V_{k_{1}k_{2}}V_{nk_{1}}}{2E_{nk_{2}}^{2}E_{nk_{1}}}}+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}V_{nn}}{E_{nk_{1}}^{3}}}{\Bigg ]}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(4)}\rangle &={\Bigg [}{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}+V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{2}k_{4}}}{2E_{k_{1}n}E_{k_{2}k_{3}}^{2}E_{k_{2}k_{4}}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{4}}V_{k_{4}n}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}E_{k_{2}n}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {|V_{k_{2}k_{3}}|^{2}V_{k_{2}k_{2}}}{E_{k_{2}k_{3}}^{3}}}-{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}V_{k_{2}n}}{E_{k_{3}n}^{2}E_{k_{2}n}}}\right)\\&\quad +{\frac {V_{nn}V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{3}n}V_{k_{2}k_{3}}}{E_{k_{1}n}E_{nk_{3}}E_{k_{2}n}}}\left({\frac {1}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {1}{E_{k_{2}n}}}+{\frac {1}{E_{k_{1}n}}}\right)+{\frac {|V_{k_{2}n}|^{2}V_{k_{1}k_{3}}}{E_{nk_{2}}E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{3}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{3}}}}-{\frac {V_{k_{3}k_{1}}}{E_{k_{3}k_{1}}^{2}}}\right)-{\frac {V_{nn}\left(V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{1}k_{3}}V_{k_{2}k_{1}}+V_{k_{3}k_{1}}V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{1}k_{2}}\right)}{2E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{3}}^{2}E_{k_{1}k_{2}}}}\\&\quad +{\frac {|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}}}\left({\frac {V_{k_{1}n}V_{nn}}{E_{k_{1}n}^{3}}}+{\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{k_{2}n}^{3}}}\right)-{\frac {|V_{k_{1}k_{2}}|^{2}V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}E_{k_{1}k_{2}}^{3}}}{\Bigg ]}|k_{1}^{(0)}\rangle +{\frac {1}{2}}\left[{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}k_{2}}}{E_{nk_{1}}E_{k_{2}n}^{2}}}\left({\frac {V_{k_{2}n}V_{nn}}{E_{k_{2}n}}}-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}}}\right)\right.\\&\quad \left.-{\frac {V_{k_{1}n}V_{k_{2}k_{1}}}{E_{k_{1}n}^{2}E_{nk_{2}}}}\left({\frac {V_{k_{3}k_{2}}V_{nk_{3}}}{E_{nk_{3}}}}+{\frac {V_{nn}V_{nk_{2}}}{E_{nk_{2}}}}\right)+{\frac {|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\left({\frac {3|V_{nk_{2}}|^{2}}{4E_{k_{2}n}^{2}}}-{\frac {2|V_{nn}|^{2}}{E_{k_{1}n}^{2}}}\right)-{\frac {V_{k_{2}k_{3}}V_{k_{3}k_{1}}|V_{nk_{1}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}\right]|n^{(0)}\rangle \end{aligned}}$

$k j$ に関係するすべての項は、分母が消えないように $k j$ にわたって合計する必要があります。

エネルギー $E$ $n$ のk次補正を、状態における摂動 $Vの$ $k$ 点接続相関関数に関連付けることが可能です。については、 2 点相関子の逆ラプラス変換を考慮する必要があります。ここで、は相互作用図における摂動演算子 $Vであり、ユークリッド時間で発展します。$ $|n^{(0)}\rangle$ $k=2$ $\rho _{n,2}(s)$ $\langle n^{(0)}|V(\tau )V(0)|n^{(0)}\rangle -\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle ^{2}=\mathrel {\mathop {:} } \int _{\mathbb {R} }\!ds\;\rho _{n,2}(s)\,e^{-(s-E_{n}^{(0)})\tau }$ $V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }$ $E_{n}^{(2)}=-\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {ds}{s-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,2}(s).$

摂動論のあらゆる順序に同様の式が存在し、連結相関関数の逆ラプラス変換で表現することができる。 $E_{n}^{(k)}$ $\rho _{n,k}$ $\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle -{\text{subtractions}}.$

正確には、 $k$ 次のエネルギーシフトは^[9]で与えられる。 $\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}ds_{i}\,e^{-(s_{i}-E_{n}^{(0)})\tau _{i}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1})\,$

$E_{n}^{(k)}=(-1)^{k-1}\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}{\frac {ds_{i}}{s_{i}-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1}).$

退化の影響

摂動を受けていないハミルトニアンの 2 つ以上のエネルギー固有状態が縮退していると仮定します。摂動を受けていないシステムの固有状態の基底を選択する唯一の方法がないため、一次エネルギーシフトは明確に定義されていません。特定のエネルギーに対するさまざまな固有状態は、異なるエネルギーで摂動するか、または摂動の連続したファミリーをまったく持たない可能性があります。

これは、演算子に明確に定義された逆演算子がないという事実を介して、摂動された固有状態の計算に現れます。 $E_{n}^{(0)}-H_{0}$

$D は$ これらの退化した固有状態が張る部分空間を表します。摂動がどんなに小さくても、退化した部分空間 $Dでは$ $H$ の固有状態間のエネルギー差はゼロではないため、これらの状態の少なくともいくつかが完全に混合されることが保証されます。通常、固有値は分割され、固有空間は単純 (1 次元) になるか、少なくともDよりも小さい次元になります。

うまく摂動が行われたとしても、 Dの基底が適切に選択されていない場合、摂動は「小さい」とは言えません。その代わり、新しい固有状態が部分空間 $Dに近い場合に摂動は「小さい」とみなします。新しいハミルトニアンは$ $D$ で対角化されるか、いわばDのわずかな変形でなければなりません。 $D$ の摂動された固有状態は摂動展開の基底となります。 $|n\rangle =\sum _{k\in D}\alpha _{nk}|k^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle .$

一次摂動については、すべての退化した固有状態について、退化した部分空間 $Dに制限された摂動ハミルトニアンを同時に解く必要がある。ここで、は退化したエネルギーレベルに対する一次補正であり、「小さい」は$ Dに直交するのベクトルである。これは、行列を対角化するのに相当する。 $V|k^{(0)}\rangle =\epsilon _{k}|k^{(0)}\rangle +{\text{small}}\qquad \forall |k^{(0)}\rangle \in D,$ $\epsilon _{k}$ $O(\lambda )$ $\langle k^{(0)}|V|l^{(0)}\rangle =V_{kl}\qquad \forall \;|k^{(0)}\rangle ,|l^{(0)}\rangle \in D.$

$この手順は近似値です。なぜなら、 D$ サブスペースの外側の状態 (「小さい」)を無視したからです。縮退したエネルギーの分裂は一般的に観察されます。分裂はシステムで見つかるエネルギーの範囲と比較すると小さいかもしれませんが、電子スピン共鳴実験のスペクトル線など、特定の詳細を理解する上で重要です。 $\epsilon _{k}$ $O(\lambda )$

$D$ の外側の他の固有状態による高次の補正は、非退化の場合と同じ方法で求めることができる。 $\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}\left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \right)|k^{(0)}\rangle .$

左側の演算子は、 $D の$ 外側の固有状態に適用された場合、特異ではないため、と書くことができますが、縮退状態への影響はです。 $|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle ,$ $O(\lambda )$

元のハミルトニアン分裂が近似縮退サブスペースの摂動より大きくない場合、近似縮退状態も同様に扱われるべきである。この応用は、近似縮退が適切に扱われると、小さな摂動に対してもエネルギーギャップが生じる、近似自由電子モデルに見られる。他の固有状態は、すべての近似縮退状態の絶対エネルギーを同時にシフトするだけである。

縮退が一次にまで解消される

縮退したエネルギー固有状態と、縮退を補正の第一段階まで完全に上げる摂動について考えてみましょう。

摂動ハミルトニアンはと表されます。ここでは摂動されていないハミルトニアン、は摂動演算子、は摂動のパラメータです。 ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}\,,$ ${\hat {H}}_{0}$ ${\hat {V}}$ $0<\lambda <1$

第 - 番目の摂動されていないエネルギーの退化に注目しましょう。この退化した部分空間の摂動されていない状態を、その他の摂動されていない状態をと表します。ここでは退化した部分空間の摂動されていない状態のインデックスであり、はとは異なるエネルギーを持つその他すべてのエネルギー固有状態を表します。を持つ他の状態間の最終的な退化によって議論が変わることはありません。のさまざまな値を持つすべての状態は、摂動がない場合、つまりの場合、同じエネルギーを共有します。を持つ他の状態のエネルギーはすべてと異なりますが、必ずしも一意であるとは限りません。つまり、それらの状態間で常に異なるとは限りません。 $n$ $E_{n}^{(0)}$ $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ $k$ $m\neq n$ $E_{n}^{(0)}$ $\forall m\neq n$ $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $k$ $E_{n}^{(0)}$ $\lambda =0$ $E_{m}^{(0)}$ $\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle$ $m\neq n$ $E_{n}^{(0)}$

およびによって、摂動されていない固有状態の基底における摂動演算子の行列要素を表す。縮退した部分空間の基底ベクトルは、行列要素が対角になるように選択されると仮定する。また、縮退が完全に1次まで持ち上げられていると仮定すると、つまりの場合、における2次へのエネルギー補正とにおける1次への状態補正について次の式が得られる。 $V_{nl,nk}$ $V_{m,nk}$ ${\hat {V}}$ $\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle$ $E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}$ $l\neq k$ $\lambda$ $E_{nk}=E_{n}^{0}+\lambda V_{nk,nk}+\lambda ^{2}\sum \limits _{m\neq n}{\frac {\left|V_{m,nk}\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}+{\mathcal {O}}(\lambda ^{3})\,,$ $\lambda$ $\left|\psi _{nk}\right\rangle =\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle +\lambda \sum \limits _{m\neq n}{\frac {V_{m,nk}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}}\left(-\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle +\sum \limits _{l\neq k}{\frac {V_{nl,m}}{E_{nl}^{(1)}-E_{nk}^{(1)}}}\left|\psi _{nl}^{(0)}\right\rangle \right)+{\mathcal {O}}(\lambda ^{2})\,.$

ここで、状態に対する一次補正は非摂動状態に対して直交していることに注意する。 $\left\langle \psi _{nk}^{(0)}|\psi _{nk}^{(1)}\right\rangle =0\,.$

複数パラメータの場合への一般化

λ の代わりに複数の小さなパラメータがある場合の時間に依存しない摂動論の一般化は、微分幾何学の言語を使用してより体系的に定式化できます。微分幾何学は基本的に量子状態の導関数を定義し、摂動を受けていない点で繰り返し導関数を取ることで摂動補正を計算します。 $x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )$

ハミルトニアンと力の演算子

微分幾何学の観点から、パラメータ化されたハミルトニアンは、パラメータ多様体上で定義され、各パラメータセットをヒルベルト空間に作用するエルミート演算子 $H$ $($ $x$ $μ$ $)にマッピングする関数であると考えられます。ここでのパラメータは、外部場、相互作用の強さ、または$ 量子相転移における駆動パラメータです。 $E$ $n$ $($ $x$ $μ$ $)$ およびを、それぞれ $H$ $($ $x$ $μ$ $)の$ $n$ 番目の固有エネルギーと固有状態とします。微分幾何学の言語では、状態はパラメータ多様体上のベクトル束を形成し、そのベクトル束上でこれらの状態の導関数を定義できます。摂動論は、次の質問に答えることです。摂動を受けていない基準点でのおよびが与えられた場合、その基準点に近い $x$ $μ$ での $E$ $n$ $($ $x$ $μ$ $)$ およびをどのように推定するか。 $(x^{1},x^{2},\cdots )$ $|n(x^{\mu })\rangle$ $|n(x^{\mu })\rangle$ $E_{n}(x_{0}^{\mu })$ $|n(x_{0}^{\mu })\rangle$ $x_{0}^{\mu }$ $|n(x^{\mu })\rangle$

一般性を失うことなく、座標系をシフトして、基準点を原点に設定することができます。次の線形パラメータ化されたハミルトニアンがよく使用されます。 $x_{0}^{\mu }=0$ $H(x^{\mu })=H(0)+x^{\mu }F_{\mu }.$

パラメータ $x μ$ を一般化座標と見なす場合、 $F μ は$ それらの座標に関連する一般化力演算子として識別される必要があります。異なるインデックス $μ は、$ パラメータ多様体内の異なる方向に沿った異なる力を表します。たとえば、 $x μ が$ $μ$ 方向の外部磁場を表す場合、 $F μ は$ 同じ方向の磁化になります。

摂動論としての冪級数展開

摂動論の妥当性は断熱仮定に基づいており、これはハミルトニアンの固有エネルギーと固有状態がパラメータの滑らかな関数であり、近傍領域での値はパラメータのべき級数（テイラー展開のように）で計算できるという仮定に基づいています。

${\begin{aligned}E_{n}(x^{\mu })&=E_{n}+x^{\mu }\partial _{\mu }E_{n}+{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}+\cdots \\[1ex]\left|n(x^{\mu })\right\rangle &=\left|n\right\rangle +x^{\mu }\left|\partial _{\mu }n\right\rangle +{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\left|\partial _{\mu }\partial _{\nu }n\right\rangle +\cdots \end{aligned}}$

ここで、 $\partial μ は$ $x μ$ に関する微分を表します。状態に適用する場合、ベクトル束に非ゼロ接続が備わっている場合は、共変微分として理解する必要があります。級数の右側の項はすべて $x$ $μ$ $= 0$ で評価されます(例: $E$ $n$ $\equiv$ $E$ $n$ $(0)$ および)。このサブセクション全体では、パラメータ依存性が明示的に示されていないすべての関数は原点で評価されると仮定するというこの規則が採用されます。エネルギーレベルが互いに近い場合、冪級数はゆっくりと収束するか、収束しないこともあります。エネルギーレベルの縮退がある場合、断熱仮定は破綻するため、その場合は摂動論は適用できません。 $|\partial _{\mu }n\rangle$ $|n\rangle \equiv |n(0)\rangle$

ヘルマン・ファインマン定理

上記のべき級数展開は、任意の次数の導関数を計算する体系的な方法があれば、簡単に評価できます。連鎖律を使用すると、導関数はエネルギーまたは状態の1つの導関数に分解できます。ヘルマン・ファインマン定理は、これらの1つの導関数を計算するために使用されます。最初のヘルマン・ファインマン定理は、エネルギーの導関数を与えます。 $\partial _{\mu }E_{n}=\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle$

$第二ヘルマン・ファインマン定理は、（ m \neq n$ の完全基底で解いた）状態の微分を与える。 $\langle m|\partial _{\mu }n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}},\qquad \langle \partial _{\mu }m|n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{n}}}.$

線形パラメータ化されたハミルトニアンの場合、 $\partial μ H は$ 単に一般化された力演算子 $F μ$ を表します。

これらの定理は、シュレーディンガー方程式の両辺に微分演算子 $\partial μを$ 適用することで簡単に導出できる。 $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$

$\partial _{\mu }H|n\rangle +H|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}|n\rangle +E_{n}|\partial _{\mu }n\rangle .$

次に左からの状態を重ねて、再びシュレーディンガー方程式を利用します。 $\langle m|$ $\langle m|H=\langle m|E_{m}$

$\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle +E_{m}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}\langle m|n\rangle +E_{n}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle .$

ハミルトニアンの固有状態は常に正規直交基底を形成するので、 $m$ $=$ $n$ と $m$ $\neq$ $n$ の場合を別々に議論することができます。最初の場合は最初の定理につながり、2 番目の場合は 2 番目の定理につながります。これらは項を並べ替えることですぐに示せます。ヘルマン - ファインマン定理によって与えられた微分規則を使用すると、エネルギーと状態に対する摂動補正を体系的に計算できます。 $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$

エネルギーと状態の修正

2次のエネルギー補正は次のように表される。

$E_{n}(x^{\mu })=\langle n|H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+\Re \sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}x^{\mu }x^{\nu }+\cdots ,$ ここで、は実部関数を表す。1階微分 $\partial$ $μ$ $E$ $n は$ 、第1ヘルマン・ファインマン定理によって直接与えられる。2階微分 $\partial$ $μ$ $\partial$ $ν$ $E$ $n$ を得るには、微分演算子 $\partial$ $μ を$ 1階微分の結果に適用するだけで、次のように表される。 $\Re$ $\langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle$

$\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\langle \partial _{\mu }n|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|\partial _{\mu }n\rangle .$

線形パラメータ化されたハミルトニアンの場合、演算子レベルでは 2 次導関数 $\partial μ \partial ν H = 0$ は存在しないことに注意してください。基底の完全なセットを挿入して状態の導関数を解くと、ヘルマン・ファインマン定理を使用してすべての部分を計算できます。リー導関数に関しては、ベクトル束の接続の定義に従います。したがって、 $m$ $=$ $n$ の場合は合計から除外することができ、エネルギー分母の特異性を回避できます。同じ手順を高次の導関数に対して実行して、高次の補正を取得できます。 $\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\sum _{m}\left(\langle \partial _{\mu }n|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }n\rangle \right),$ $\langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0$

同じ計算スキームが状態の補正にも適用できる。2次の結果は以下の通りである。 ${\begin{aligned}\left|n\left(x^{\mu }\right)\right\rangle =|n\rangle &+\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle x^{\mu }\\&+\left(\sum _{m\neq n}\sum _{l\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{l})}}|m\rangle -\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|m\rangle -{\frac {1}{2}}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\mu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|n\rangle \right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .\end{aligned}}$

演繹にはエネルギー微分と状態微分の両方が関係します。状態微分に遭遇したときは、完全な基底セットを挿入してそれを解決します。その後、ヘルマン・ファインマン定理を適用できます。微分は体系的に計算できるため、摂動補正に対する級数展開アプローチは、Mathematicaなどの記号処理ソフトウェアを使用してコンピューターでコード化できます。

有効ハミルトニアン

$H (0)$ を低エネルギー部分空間または高エネルギー部分空間のいずれかに完全に制限されたハミルトニアンとし、 $H$ $(0)$ には低エネルギー部分空間と高エネルギー部分空間を接続する行列要素が存在しない、すなわちの場合とする。F μ = ∂ μ H を部分空間を接続する結合項とする $。$ $高$ $エネルギー$ $自由$ $度$ を積分すると、低エネルギー部分空間の有効ハミルトニアンは^{[10]となる。} ${\mathcal {H}}_{L}$ ${\mathcal {H}}_{H}$ $\langle m|H(0)|l\rangle =0$ $m\in {\mathcal {H}}_{L},l\in {\mathcal {H}}_{H}$

$H_{mn}^{\text{eff}}\left(x^{\mu }\right)=\langle m|H|n\rangle +\delta _{nm}\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+{\frac {1}{2!}}\sum _{l\in {\mathcal {H}}_{H}}\left({\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{l}}}+{\frac {\langle m|\partial _{\nu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{l}}}\right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .$

ここでは低エネルギー部分空間に制限されます。上記の結果はのべき級数展開によって導くことができます。 $m,n\in {\mathcal {H}}_{L}$ $\langle m|H(x^{\mu })|n\rangle$

形式的には、低エネルギー状態と波動関数を正確に与える有効ハミルトニアンを定義することが可能である。^[11]実際には、何らかの近似（摂動論）が一般的に必要となる。

時間依存摂動理論

定数の変化法

ポール・ディラックによって提唱され、ジョン・アーチボルド・ホイーラー、リチャード・ファインマン、フリーマン・ダイソンによってさらに発展した時間依存摂動論^[12]は、時間に依存しないハミルトニアン $H$ $0$ に適用された時間依存摂動 $V (t)$ の効果を研究する。^[13]これは、あらゆる物理システムの特性を計算するための非常に貴重なツールである。陽子-陽子散乱、物質の光電離、導体の格子欠陥による電子の散乱、原子核による中性子の散乱、物質の電気感受性、原子炉における中性子吸収断面積など、さまざまな現象の定量的記述に使用されている。^[12]

摂動を受けたハミルトニアンは時間に依存するため、そのエネルギーレベルと固有状態も時間に依存します。したがって、時間依存摂動理論の目標は、時間非依存摂動理論とは少し異なります。次の量に注目します。

与えられた初期状態に対する、ある観測可能量 $A$ の時間依存の期待値。
摂動を受けないシステムにおけるエネルギー固有ベクトルである基底状態の、時間依存の展開係数（与えられた時間依存状態に対して）。

最初の量は、摂動を受けたシステムのマクロ的な数のコピーに対して実行される $A測定の$ 古典的な結果をもたらすため重要です。たとえば、 $A を水素原子内の電子の$ $x$ 方向の変位とすると、期待値に適切な係数を掛けると、水素ガスの時間依存誘電分極が得られます。摂動を適切に選択すると (つまり、振動する電位)、ガスの AC 誘電率を計算できます。

2 番目の量は、各固有状態の占有の確率の時間依存を調べます。これは、時間依存の電場が適用されたときのガス内のさまざまな原子状態の集団に関心があるレーザー物理学で特に役立ちます。これらの確率は、スペクトル線の「量子広がり」 (線の広がりを参照) や、素粒子物理学および原子核物理学における粒子の崩壊を計算する場合にも役立ちます。

ディラックの時間依存摂動論の定式化の背後にある方法を簡単に調べます。摂動を受けていないシステムのエネルギー基底を選択します。(摂動を受けたシステムのエネルギーレベルと固有状態について話すことは役に立たないため、固有状態の (0) 上付き文字は省略します。) ${|n\rangle }$

摂動を受けない系が時刻 $t$ = 0で（ハミルトニアンの）固有状態である場合、その後の時刻におけるその状態は位相によってのみ変化する（シュレーディンガー描像では状態ベクトルは時間とともに変化し、演算子は一定である）。 $|j\rangle$ $|j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle ~.$

ここで、時間依存の摂動ハミルトニアン $V (t)$ を導入します。摂動を受けたシステムのハミルトニアンは、摂動を受けたシステムの時刻 $t$ における量子状態を表すものとします。これは、時間依存のシュレーディンガー方程式に従います。 $H=H_{0}+V(t)~.$ $|\psi (t)\rangle$ $H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.$

各瞬間の量子状態は、の完全な固有基底の線形結合として表現できます。 $|n\rangle$

ここで、 $c n (t)は$ $tの$ 複素関数として決定され、これを振幅と呼びます(厳密に言えば、ディラック図における振幅です)。

右側の指数位相係数を明示的に抽出しました。これは慣例に過ぎず、一般性を損なうことなく行うことができます。このような手間をかける理由は、システムが状態から開始し、摂動が存在しない場合、振幅は、すべてのt $に対して$ $c$ $j$ $($ $t$ $)$ = 1 であり、 $n \neq jの場合は$ $c$ $n$ $($ $t$ $)$ = 0という便利な特性を持つためです。 $\exp(-iE_{n}t/\hbar )$ $|j\rangle$

絶対振幅 $c n (t)$ の2乗は、システムが時刻 $t$ に状態 $n$ にある確率である。 $\left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}~.$

シュレーディンガー方程式に代入し、∂/∂ t が積則に従って作用するという事実を用いると、次式が得られる。 $\sum _{n}\left(i\hbar {\frac {dc_{n}}{dt}}-c_{n}(t)V(t)\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =0~.$

$V$ の前の恒等式を解き、左辺のブラを掛け合わせると、振幅に関する連立微分方程式に簡約できる。 $\langle n|$ ${\frac {dc_{n}}{dt}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\langle n|V(t)|k\rangle \,c_{k}(t)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t/\hbar }~.$

$ここで、第2項のn$ の和を評価するために式( 1 )を使用し、次にという事実を使用しました。 $\langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }$

$V$ の行列要素は、時間に依存しない摂動論の場合と同様の役割を果たし、状態間で振幅がシフトする速度に比例します。ただし、シフトの方向は指数位相係数によって変更されることに注意してください。エネルギー差 $E k - E n$ $よりもはるかに長い時間にわたって、位相は0$ の周りを数回回ります。V の時間依存性が十分に遅い場合、状態振幅が振動する可能性があります。(たとえば、このような振動は、レーザーの放射遷移を管理するのに役立ちます。 )

ここまでは近似を行っていないため、この微分方程式のセットは正確です。適切な初期値 $c n (t)を与えることで、原理的には正確な（つまり非摂動的な）解を見つけることができます。これは、エネルギーレベルが 2 つしかない場合（$ $n$ = 1、2）は簡単に実行でき、この解はアンモニア分子のようなシステムをモデル化するのに役立ちます。

しかし、エネルギーレベルが多数ある場合、正確な解を見つけるのは困難であり、代わりに摂動解が求められる。摂動解は、方程式を積分形式で表現することで得られる。 $c_{n}(t)=c_{n}(0)-{\frac {i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$

この式を右辺の $c n$ に繰り返し代入すると、反復解が得られる。例えば、1次の項は、同じ近似で、上記の式の合計は、摂動を受けていない状態では、次のように削除することができる。 $c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots$ $c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}^{(0)}\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$ $c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}$ $c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.$

ここから、量子状態間の遷移速度と特定のエネルギーにおける状態密度を関連付けるフェルミの黄金律や、反復法を時間発展演算子に適用することで得られるダイソン級数など、いくつかのさらなる結果が導かれます。これは、ファインマン図法の出発点の 1 つです。

ダイソンシリーズのメソッド

時間依存の摂動は、ダイソン級数の手法によって再構成できます。シュレーディンガー方程式には、形式的な解があります。ここで、 $T$ は時間順序付け演算子です。したがって、指数関数は次のダイソン級数を表します。2 番目の項では、1/2! 係数が時間順序付け演算子などによる二重の寄与を正確に打ち消すことに注意してください。 $H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$ $|\psi (t)\rangle =T\exp {\left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'H(t')\right]}|\psi (t_{0})\rangle ~,$ $TA(t_{1})A(t_{2})={\begin{cases}A(t_{1})A(t_{2})&t_{1}>t_{2}\\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}\end{cases}}~.$ $|\psi (t)\rangle =\left[1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}H(t_{1})-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}H(t_{1})H(t_{2})+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~.$

パラメータ $λ$ が小さく、問題が解決されていると仮定して、次の摂動問題を考えます。 $[H_{0}+\lambda V(t)]|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}~,$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$

相互作用図（またはディラック図）に次のユニタリ変換を実行すると、シュレーディンガー方程式はに簡略化され、上記のダイソン級数を通じて、小さな $λ$ を持つ摂動級数として解かれます。 $|\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle ~.$ $\lambda e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}V(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{I}(t)\rangle }{\partial t}}~,$ $|\psi _{I}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~,$

摂動のない問題の解と（単純化のため、純粋な離散スペクトルを仮定）を用いると、一次式で、 $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ $|\psi _{I}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{m}\sum _{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle m|V(t_{1})|n\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}|m\rangle \langle n|+\ldots \right]|\psi (t_{0})\rangle ~.$

したがって、最初は摂動を受けていない状態であったシステムは、摂動によって状態に移行することができます。対応する 1 次への遷移確率振幅は前のセクションで説明したとおりです。一方、対応する連続体への遷移確率はフェルミの黄金律によって与えられます。 $|\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle$ $|\beta \rangle$ $A_{\alpha \beta }=-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle \beta |V(t_{1})|\alpha \rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })(t_{1}-t_{0})}~,$

余談ですが、時間に依存しない摂動論も、この時間に依存する摂動論のダイソン級数の内側に構成されていることに注意してください。これを確認するには、上記のダイソン級数から得られるユニタリ進化演算子をと書き、摂動 $V が$ 時間に依存しないものとします。 $U(t)=1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\cdots$

純粋な離散スペクトルに対する恒等分解を用いて、次のように書く。 $\sum _{n}|n\rangle \langle n|=1$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ ${\begin{aligned}U(t)=1&-\left[{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\sum _{m}\sum _{n}\langle m|V|n\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}|m\rangle \langle n|\right]\\[5mu]&-\left[{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\sum _{m}\sum _{n}\sum _{q}e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{n}-E_{m})(t_{1}-t_{0})}\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{q}-E_{n})(t_{2}-t_{0})}|m\rangle \langle q|\right]+\cdots \end{aligned}}$

2 次では、すべての中間状態を合計する必要があることは明らかです。およびより大きな時間の漸近極限を仮定します。これは、摂動級数の寄与ごとに、任意の小さな $ε$ に対して積分関数に乗法係数を追加する必要があることを意味します。したがって、 $t$ $\to \infty$ の極限は、すべての振動項を除去し、永年項を維持することで、システムの最終状態を返します。積分はこのように計算可能であり、対角項を他の項から分離すると、次の式が得られます。ここで、時間の永年級数は、上で指定した摂動問題の固有値を再帰的に生成します。一方、残りの時間定数部分は、上で指定した定常固有関数 ( ) に対する補正を生成します。 $t_{0}=0$ $e^{-\epsilon t}$ ${\begin{aligned}U(t)=1&-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{n}\langle n|V|n\rangle t-{\frac {i\lambda ^{2}}{\hbar }}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}t-{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\sum _{m,n}\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle t^{2}+\cdots \\&+\lambda \sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle \langle n|+\lambda ^{2}\sum _{m\neq n}\sum _{q\neq n}\sum _{n}{\frac {\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{q}-E_{n})}}|m\rangle \langle q|+\cdots \end{aligned}}$ $|n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )$

ユニタリ進化演算子は、摂動を受けない問題の任意の固有状態に適用でき、この場合、短い時間に保持される永年級数を生成します。

強い摂動理論

小さな摂動の場合と同様に、強い摂動論を展開することが可能である。いつものようにシュレーディンガー方程式を考える。

$H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$

そして、摂動が大きくなる極限で適用される双対ダイソン級数が存在するかどうかという問題を考察する。この質問には肯定的な答えが得られる^[14]。そして、その級数はよく知られている断熱級数である^[15] 。このアプローチは非常に一般的であり、次のように示すことができる。摂動問題を考える。

$[H_{0}+\lambda V(t)]|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}$

$λ \to \infty$ である。我々の目的は、次の形の解を見つけることである。

$|\psi \rangle =|\psi _{0}\rangle +{\frac {1}{\lambda }}|\psi _{1}\rangle +{\frac {1}{\lambda ^{2}}}|\psi _{2}\rangle +\ldots$

しかし、上記の式に直接代入しても有用な結果は得られません。この状況は、時間変数を再スケーリングして次の意味のある式を生成することで調整できます。 $\tau =\lambda t$

${\begin{aligned}V(t)|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{0}\rangle }{\partial \tau }}\\[1ex]V(t)|\psi _{1}\rangle +H_{0}|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{1}\rangle }{\partial \tau }}\\[1ex]&\;\,\vdots \end{aligned}}$

これは、主次方程式の解がわかれば解くことができます。しかし、この場合は断熱近似を使用できることがわかっています。が時間に依存しない場合は、統計力学でよく使用されるウィグナー・カークウッド級数が得られます。実際、この場合はユニタリ変換を導入します。 $V(t)$

$|\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle$

これは相互作用項を消去しようとしているので自由画像を定義する。次に、小さな摂動に関して双対的にシュレーディンガー方程式を解く必要がある。

$e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{F}(t)\rangle }{\partial t}}$

そして、展開パラメータ $λは$ 指数関数にのみ現れることがわかり、したがって、対応するダイソン級数、すなわち双対ダイソン級数は $λ$ sが大きい場合に意味を持ち、

$|\psi _{F}(t)\rangle =\left[1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{2}-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t_{2}-t_{0})}+\cdots \right]|\psi (t_{0})\rangle .$

時間の再スケーリング後、これが確かに級数であることがわかります。このようにして、双対ダイソン級数という名前が正当化されます。その理由は、この級数は $H$ $0$ と $V を$ 単に交換するだけで得られ、この交換を適用することで一方から他方へ移動できるためです。これは摂動論では双対性原理と呼ばれます。すでに述べたように、この選択により、勾配展開であるウィグナー・カークウッド級数が得られます。ウィグナー・カークウッド級数は、WKB近似とまったく同じように与えられた固有値を持つ半古典的な級数です。^[16] $\tau =\lambda t$ $1/\lambda$ $H_{0}=p^{2}/2m$

例

一次摂動論の例 – 四次振動子の基底状態エネルギー

4次のポテンシャル摂動とハミルトニアンを持つ量子調和振動子を考える $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}+\lambda x^{4}.$

調和振動子の基底状態は（）であり、非摂動基底状態のエネルギーは $\psi _{0}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-\alpha x^{2}/2}$ $\alpha =m\omega /\hbar$ $E_{0}^{(0)}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega$

一次補正式を用いると、 $E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int e^{-\alpha x^{2}/2}x^{4}e^{-\alpha x^{2}/2}dx=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\int e^{-\alpha x^{2}}dx,$ $E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\left({\frac {\pi }{\alpha }}\right)^{\frac {1}{2}}=\lambda {\frac {3}{4}}{\frac {1}{\alpha ^{2}}}={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}\lambda }{m^{2}\omega ^{2}}}.$

1次および2次の摂動論の例 – 量子振り子

ポテンシャルエネルギーを摂動としてとったハミルトニアンを持つ量子数学の振り子を考えてみましょう。 $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}-\lambda \cos \phi$ $-\lambda \cos \phi$ $V=-\cos \phi .$

非摂動正規化量子波動関数は剛体回転子の波動関数であり、次のように表され、エネルギーは $\psi _{n}(\phi )={\frac {e^{in\phi }}{\sqrt {2\pi }}},$ $E_{n}^{(0)}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}}{2ma^{2}}}.$

位置エネルギーによる回転子への一次エネルギー補正は $E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2\pi }}\int e^{-in\phi }\cos \phi e^{in\phi }=-{\frac {1}{2\pi }}\int \cos \phi =0.$

2次補正の式を用いると、またはまたは $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\int e^{-ik\phi }\cos \phi e^{in\phi }\,d\phi \right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},$ $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\left(\delta _{n,1-k}+\delta _{n,-1-k}\right)\right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},$ $E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{2n-1}}+{\frac {1}{-2n-1}}\right)={\frac {ma^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}.$

摂動としての位置エネルギー

摂動を受けていない状態が運動エネルギーを持つ粒子の自由運動である場合、シュレーディンガー方程式の解は波数を持つ平面波に対応する。空間に弱い位置エネルギーが存在する場合、第 1 近似では、摂動を受けた状態は、特定の積分が^[17] である方程式によって記述される。2 次元の場合、解はであり、は第 1 種ハンケル関数である。1 次元の場合、解はであり、である。 $E$ $\nabla ^{2}\psi ^{(0)}+k^{2}\psi ^{(0)}=0$ ${\textstyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$ $U(x,y,z)$ $\nabla ^{2}\psi ^{(1)}+k^{2}\psi ^{(1)}={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\psi ^{(0)},$ $\psi ^{(1)}(x,y,z)=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y',z'){\frac {e^{ikr}}{r}}\,dx'dy'dz',$ $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}$ $\psi ^{(1)}(x,y)=-{\frac {im}{2\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y')H_{0}^{(1)}(kr)\,dx'dy',$ $r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}$ $H_{0}^{(1)}$ $\psi ^{(1)}(x)=-{\frac {im}{\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x'){\frac {e^{ikr}}{k}}\,dx',$ $r=|x-x'|$

アプリケーション

参考文献

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外部リンク

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量子物理学オンライン - 摂動論

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