レプリカトリック

スピン グラスや、急冷された無秩序性を持つその他のシステムの統計物理学において、レプリカ トリックは、次の式の適用に基づく数学的手法です。 または: ここで、 は 、最も一般的には、分配関数、または類似の熱力学関数です。 $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{Z^{n}-1 \over n}}$$$${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\frac {\partial Z^{n}}{\partial n}}}$$${\displaystyle Z}$

これは通常、 の期待値である の計算を簡略化するために使用され、が整数であると仮定した不規則性平均を計算する問題に簡略化されます。これは物理的にはシステムのコピーまたはレプリカを平均することと同等であるため、この名前が付けられています。 ${\displaystyle {\overline {\ln Z}}}$${\displaystyle \lnZ}$${\displaystyle {\overline {Z^{n}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

レプリカトリックの核心は、無秩序平均化は整数であると仮定して行われるが、無秩序平均化された対数を復元するには、連続的にゼロに送らなければならないという点です。レプリカトリックの核心にあるこの明らかな矛盾は正式に解決されたことはありませんが、レプリカ法を他の正確な解と比較できるすべてのケースで、これらの方法は同じ結果を導きます。(レプリカトリックが機能することを自然かつ十分に厳密に証明するには、カールソンの定理の仮定が成り立つこと、特に比率がπ未満の指数型であることを確認することです。) ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (Z^{n}-1)/n}$

エルゴード性の破れに関連する物理的な結果を得るために、レプリカ対称性の破れ(RSB)という追加の特性が必要になる場合があります。

これは通常、解析関数（べき級数展開可能） を含む計算に使用されます。

のべき級数: を使用してを のべき乗、つまり の複製に展開し 、のべき乗を使用してに対して実行されるのと同じ計算を実行します。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z}$

物理学で非常に有用な特定のケースは、熱力学的自由エネルギーを平均化する場合である。

${\displaystyle F=-k_{\rm {B}}T\ln Z[J_{ij}],}$

特定の確率分布（通常はガウス分布）に従って値を分布する。 ^[1]${\displaystyle J_{ij}}$

分割関数は次のように表される。

${\displaystyle Z[J_{ij}]\sim e^{-\beta J_{ij}}.}$

平均したい対数ではなく、 単に（またはより一般的には の任意の累乗）を計算していた場合、結果の積分（ガウス分布を仮定）は、${\displaystyle Z[J_{ij}]}$${\displaystyle J_{ij}}$

${\displaystyle \int dJ_{ij}\,e^{-\beta J-\alpha J^{2}},}$

簡単に計算できる標準的なガウス積分（例えば平方完成）。

自由エネルギーを計算するために、レプリカトリックを使用します。これは、対数を平均するという複雑な作業を、整数であれば比較的単純なガウス積分を解くことに簡略化します。^[2] レプリカトリックは、がすべての正の整数に対して計算できる場合、これが としての極限挙動を計算するのに十分であると仮定しています。 $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle Z^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\to 0}$

明らかに、このような議論は多くの数学的な疑問を提起し、その結果生じる極限を実行するための形式論は典型的には多くの微妙な問題をもたらします。^[3]${\displaystyle n\to 0}$

平均場理論を使用して計算を実行する場合、この制限を取るには、多くの場合、追加の秩序パラメータを導入する必要があります。これは、「レプリカ対称性の破れ」と呼ばれる特性であり、エルゴード性の破れや無秩序システム内の遅いダイナミクスに密接に関連しています。

レプリカトリックは、平均場近似において、統計力学システムの基底状態を決定する際に使用されます。通常、基底状態の決定が容易なシステムでは、基底状態付近の変動を解析できます。そうでない場合は、レプリカ法を使用します。^{[スピングラスに関する論文 1]} 一例として、スピン間に異なるタイプの磁気リンクを持つスピングラスのようなシステムにおけるクエンチされた無秩序の場合が挙げられます。これにより、同じエネルギーを持つさまざまなスピン構成が生じます。

クエンチされた無秩序性を持つシステムの統計物理学では、無秩序性の同じ実現（またはスピングラスの場合は、強磁性結合と反強磁性結合の同じ分布）を持つ任意の 2 つの状態は、互いのレプリカと呼ばれます。^{[スピングラスに関する論文 2]}クエンチされた無秩序性を持つシステムの場合、通常、マクロな量は自己平均化することが予想され、それによって、無秩序性の特定の実現に対するマクロな量は、無秩序性の可能なすべての実現について平均して計算された同じ量と区別がつかなくなります。レプリカを導入すると、異なる無秩序性の実現に対してこの平均を実行できます。

スピン グラスの場合、熱力学的限界におけるスピンあたりの自由エネルギー (または任意の自己平均量) は、格子全体の個々のサイト間の強磁性および反強磁性結合の特定の値とは無関係であると予想されます。したがって、自由エネルギーを無秩序パラメーター (この場合は、強磁性および反強磁性結合の分布のパラメーター) の関数として明示的に求め、無秩序のすべての実現 (分布関数によって与えられる、対応する確率を持つサイト間の結合のすべての値) にわたって自由エネルギーを平均します。自由エネルギーは次の形式になります。

${\displaystyle F={\overline {F[J_{ij}]}}=-k_{B}T\,{\overline {\ln Z[J]}}}$

ここで、は無秩序性を表します (スピン グラスの場合、 は個々のサイトと のそれぞれの間の磁気相互作用の性質を表します)。また、 で説明されている結合のすべての値の平均を、指定された分布で重み付けして取得します。対数関数の平均化を実行するには、対数を上記の極限形式に置き換えるレプリカ トリックが便利です。この場合、量は同一システムの結合分割関数を表します。 ${\displaystyle J_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle J}$${\displaystyle Z^{n}}$${\displaystyle n}$

ランダムエネルギーモデル(REM) は、無秩序システムの統計力学の最も単純なモデルの 1 つであり、レプリカ対称性の破れのレベル 1 に対するレプリカトリックの意味と威力を示す最も単純なモデルです。このモデルは、異なる手順による正確な結果がわかっており、結果のクロスチェックによってレプリカトリックが機能することが証明できるため、この導入に特に適しています。

キャビティ法は、無秩序な平均場の問題を研究するための代替法であり、レプリカ法よりも簡単に使用できることが多い。この方法は、局所的にツリー状のグラフ上のモデルを扱うために考案された。

もう一つの代替法は超対称法です。超対称法の使用はレプリカトリックの厳密な数学的代替法を提供しますが、非相互作用系に限られます。たとえば、次の書籍を参照してください: ^{[その他のアプローチ 1]}

また、ケルディッシュ形式論はレプリカアプローチの実行可能な代替手段を提供する ことが実証されています^{[他のアプローチ2] 。}

上記の恒等式の最初のものはテイラー展開によって簡単に理解できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {e^{n\ln Z}-1}{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {n\ln Z+{1 \over 2!}(n\ln Z)^{2}+\cdots }{n}}\\&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

2番目の恒等式については、単に微分の定義を使用する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial Z^{n}}{\partial n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial e^{n\ln Z}}{\partial n}}\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}Z^{n}\ln Z\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}(1+n\ln Z+\cdots )\ln Z\\[5pt]&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

• S Edwards (1971)、「ゴムの統計力学」。ポリマーネットワーク: 構造と機械的特性(AJ Chompff および S. Newman 編)。ニューヨーク: Plenum Press、ISBN 978-1-4757-6210-5。
• メザール、マーク; パリシ、ジョルジオ; ヴィラソロ、ミゲル・アンヘル (1987)。スピングラス理論とその先: レプリカ法とその応用の紹介。ワールドサイエンティフィック物理学講義ノート。ティーネック、ニュージャージー州、米国: ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-9971-5-0116-7。
• Charbonneau, Patrick (2022-11-03). 「レプリカトリックからレプリカ対称性破壊技術へ」. arXiv : 2211.01802 [physics.hist-ph].