超対称性非繰り込み定理

理論物理学において、非繰り込み定理は、量子場の理論の古典的な記述における特定の量が、完全な量子理論における繰り込みによってどのように修正されるかについての制限です。繰り込み定理は、十分な量の超対称性、通常は少なくとも 4 つの超電荷を持つ理論でよく見られます。

おそらく最初の非繰り込み定理は、Marcus T. Grisaru、Martin Rocek、Warren Siegelが1979 年の論文「スーパーグラフの改良法」で導入しました。

超対称性理論における非繰り込み定理は、特定の対象が量子場と結合定数に対して正則依存性を持つ必要があるという事実の結果であることが多い。この場合、非繰り込み理論は正則性の結果であると言われる。

理論の超対称性が大きいほど、より多くの繰り込み定理が適用されます。したがって、超対称性を持つ理論に有効な繰り込み定理は、超対称性よりも多くの超対称性を持つ理論にも適用されます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

4 次元では、この数は4 成分の超電荷のマヨラナスピノルの数を表します。4 次元の超対称理論における非繰り込み定理の例をいくつか挙げます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

カイラル超場のみを含む4D SUSY 理論では、超ポテンシャルは繰り込みの影響を受けません。任意の場の内容では、摂動論では繰り込みの影響を受けませんが、インスタントンなどの非摂動効果によって繰り込まれる可能性があります。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

4D SUSY 理論では、ヒッグス枝と呼ばれる超多重項のモジュライ空間は超ケーラー計量を持ち、繰り込まれません。論文「N=2 超重力 - 物質システムのラグランジアン」では、この計量はベクトル多重項のスカラーに依存しないことがさらに示されました。また、ベクトル多重項のスカラーによってパラメータ化された剛体特殊ケーラー多様体であるクーロン枝の計量は、超多重項のスカラーに依存しないことも証明されました。したがって、真空多様体は局所的にはクーロン枝とヒッグス枝の積です。これらのステートメントの導出は、「N=2 SUSY QCD のモジュライ空間」および「N=1 SUSY QCD の双対性」に記載されています。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

4D SUSY 理論では、超ポテンシャルは理論の物質内容によって完全に決定されます。また、1983 年にシルベスター ジェームズゲイツ、マーカス グリサル、マーティン ロチェク、ウォーレン シーゲルによる論文「超空間または超対称性の千と一の教訓」で示されているように、1 ループを超える β 関数に対する摂動補正はありません。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

超ヤン＝ミルズでは、β関数はすべての結合に対してゼロであり、理論が共形であることを意味します。これは、1981年の論文「N=4超対称ヤン＝ミルズ理論における共形不変性」で、理論に対する特定の対称性の仮定の下でマーティン・ソーニウスとピーター・ウェストによって摂動的に実証され、その後、 1983年の論文「光円錐超空間とN=4モデルの紫外線有限性」でスタンレー・マンデルスタムによって仮定なしで実証されました。ネイサン・セイバーグによる完全な非摂動的証明は、1988年の論文「超対称性と非摂動的ベータ関数」に掲載されました。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

3 次元では、この数はスーパーチャージの 2 成分マヨラナスピノルの数を数えます。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

正則性がなく、正確な結果がほとんど知られていない 場合。${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

超ポテンシャルが線形多重項に依存できず、特に Fayet-Iliopoulos 項 (FI) とマヨラナ質量項に依存しない場合。一方、中心電荷はカイラル多重項に依存しないため、FI とマヨラナ質量項の線形結合も独立しています。これら 2 つの定理は、「3 次元における N=2 超対称ゲージ理論の側面」で述べられ、証明されました。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

のとき、 とは異なり、R 対称性は非可換群SU(2)であるため、各場の表現は繰り込まれません。超共形場理論では、カイラル多重項の共形次元はR 電荷によって完全に決定されるため、これらの共形次元は繰り込まれません。したがって、3 次元可換ゲージ理論におけるミラー対称性についてで示したように、超共形場理論では物質場は波動関数の繰り込みを持ちません。これらの理論は、ベクトル多重項と超多重項で構成されます。超多重項計量はハイパーケーラーであり、量子補正によって持ち上げることはできませんが、その計量は変更できます。チャーン –サイモンズ項を除いて、ハイパーおよび可換ベクトル多重項間の繰り込み可能な相互作用は不可能です。${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$

のとき、超多重項計量とは異なり、量子補正によって変更できなくなる可能性があります。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$

^{[説明が必要]}線形シグマモデル(カイラル超多重項内の物質を含む超繰り込み可能なアーベルゲージ理論)において、エドワード・ウィッテンは「2 次元における N=2 理論の位相」で、唯一の発散する量子補正はFI 項に対する 対数1 ループ補正であると主張しました。${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$

超対称理論と非超対称理論では、ディラックの量子化条件に従う量の非繰り込みは、可能な繰り込みが量子化条件と矛盾するという事実の結果であることが多い。たとえば、チャーン-サイモンズ理論のレベルの量子化は、1 ループでのみ繰り込み可能であることを意味する。1994 年の論文「2+1D でのゲージ結合の非繰り込み定理」で、著者らはレベルの繰り込みはエネルギー スケールに依存しない有限のシフトのみになり得ることを発見し、この結果を、グルーオンの運動項を含む位相的に質量のある理論に拡張した。次に、「超共形チャーン-サイモンズ物質理論に関する注記」で、著者らは、このシフトは 1 ループで発生する必要があることを示した。これは、より高いループで繰り込みを行うと、レベルの逆べき乗が導入され、それが非整数であるため量子化条件と矛盾するためである。

• N. セイバーグ (1993)「自然性と超対称性非繰り込み定理」

• 超対称性における非繰り込み定理