スーパーグループ（物理学）

スーパーグループの概念は、グループの概念を一般化したものです。言い換えれば、すべてのスーパーグループは自然なグループ構造を持ちますが、特定のグループをスーパーグループとして構造化する方法には複数の方法があります。スーパーグループは、その上に定義された滑らかな関数の概念が明確に定義されているという点でリー群に似ています。ただし、関数には偶数部と奇数部がある場合があります。さらに、スーパーグループにはスーパーリー代数があり、これはリー群のリー代数と同様の役割を果たし、表現論の大部分を決定し、分類の出発点となります。

より正式には、リー超群は、乗法射、反転射、および単位射を伴う超多様体 Gであり、 G は超多様体のカテゴリのグループオブジェクトになります。これは、可換図として定式化されると、グループの通常の結合公理と反転公理が引き続き保持されることを意味します。すべての多様体は超多様体であるため、リー超群はリー群の概念を一般化します。 ${\displaystyle \mu :G\times G\rightarrow G}$${\displaystyle i:G\rightarrow G}$${\displaystyle e:1\rightarrow G}$

超群は数多く考えられます。理論物理学で最も興味深いのは、ポアンカレ群や共形群を拡張する群です。特に興味深いのは、オルトシンプレクティック群Osp( M | N ) ^[1]と超ユニタリー群SU( M | N )です。

同等の代数的アプローチは、超多様体はその超可換な滑らかな関数の環によって決定され、超多様体の射は、それらの関数間の逆方向の代数準同型と 1 対 1 に対応する、つまり、超多様体のカテゴリは滑らかな次数付き可換関数の代数のカテゴリと反対であるという観察から始まります。リー超群を定義する可換図のすべての矢印を反転すると、超群上の関数がZ ₂次数ホップ代数の構造を持つことがわかります。同様に、このホップ代数の表現はZ ₂次数コモジュールであることがわかります。このホップ代数は、超群のグローバル プロパティを与えます。

関連するホップ代数がもう 1 つあり、これは前のホップ代数の双対です。これは原点における次数付き微分作用素のホップ代数と同一視できます。これは対称性の局所的特性のみを与えます。つまり、無限小の超対称性変換に関する情報のみを与えます。このホップ代数の表現はモジュールです。次数なしの場合と同様に、このホップ代数は、リー超代数の普遍包絡代数として純粋に代数的に記述できます。

同様に、アフィン代数超群を超代数アフィン多様体のカテゴリのグループ オブジェクトとして定義できます。アフィン代数超群は、超多項式のホップ代数と 1 対 1 の関係にあります。幾何学的観点と代数的観点を組み合わせたスキームの言語を使用すると、超アーベル多様体を含む代数超群スキームを定義できます。

超ポアンカレ群は、超空間（特に、超電荷を持つミンコフスキー超空間、ここで はしばしば1 とされる）の等長変換の群である。これはほとんどの場合代数レベルで扱われ、超ポアンカレ代数によって生成される。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

超共形群は、超共形代数によって生成される超空間の共形対称性の群です。

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