超対称WKB近似

物理学において、超対称WKB（SWKB）近似^[1]は、超対称量子力学の原理を用いて量子力学系のエネルギー固有値を推定するWKB近似の 拡張である。超対称法を用いると、超ポテンシャル、 で表現できるポテンシャルがあり、${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle V(x)=W^{2}(x)-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W'(x)}$

SWKB近似は、WKB近似からのボルン・ゾンマーフェルトの量子化条件を次のように記述します。 ${\displaystyle W(x)}$

破れていない超対称性に対するSWKB近似は、次のように与えられる。 ${\displaystyle \hbar}$

${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{b}^{a}dx\,{\sqrt {2m(E_{n}-W^{2}(x))}}=n\pi }$

ここで、は - 番目の励起状態のエネルギーの推定値であり、およびは古典的な転換点であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle W^{2}(a)=W^{2}(b)=E_{n}}$

超対称法の追加により、この方法にはいくつかの魅力的な特性がもたらされます。まず、構造上、基底状態のエネルギーが正確に推定されることがわかっています。これは、低エネルギーで弱点を持つことが多い標準の WKB 近似よりも改善されています。もう 1 つの特性は、形状不変ポテンシャルと呼ばれるポテンシャルのクラスでは、この第 1 次条件によってエネルギー スペクトルが正確に推定されることです。

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