ピンクノイズ

ピンク ノイズ、1 ⁄ fノイズ、フラクショナル ノイズ、またはフラクタル ノイズは、パワー スペクトル密度(周波数間隔あたりのパワー) が信号の周波数に反比例するような周波数スペクトルを持つ信号またはプロセスです。ピンク ノイズでは、各オクターブ間隔 (周波数が半分または 2 倍になる間隔) に等しい量のノイズ エネルギーが含まれます。

ピンクノイズは滝のような音です。^[2]プロのオーディオではスピーカーシステムの調整によく使用されます。^[3]ピンクノイズは生物系で最も一般的に観察される信号の1つです。^[4]

この名前は、このパワースペクトルを持つ可視光がピンク色に見えることから付けられました。^{[5]これは、周波数間隔ごとに等しい強度を持つ}ホワイトノイズとは対照的です。

ピンクノイズ

10秒間のピンクノイズ、-1 dBFSピーク振幅に正規化

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科学文献では、1/fノイズという用語は、次のようなパワースペクトル密度を持つノイズを指すために緩く使用されることがある。

$${\displaystyle S(f)\propto {\frac {1}{f^{\alpha }}},}$$

ここでfは周波数であり、0 < α < 2で、指数αは通常1に近くなります。α = 1の1次元信号は通常ピンクノイズと呼ばれます。^[6]

次の関数は、長さ1次元のピンクノイズ信号（つまり、適切にフィルタリングされた平均0、標準偏差 のガウス白色ノイズ信号）を、異なる周波数の正弦波の和として表します。正弦波の振幅は周波数の平方根に反比例して減少し（したがって、振幅の2乗であるパワーは周波数に反比例して減少します）、位相はランダムです。^[7]${\displaystyle N}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle u}$

$${\displaystyle h(x)=\sigma {\sqrt {\frac {N}{2}}}\sum _{u}{\frac {\chi _{u}}{u}}\sin({\ frac {2\pi ux}{N}}+\phi _{u}),\quad \chi _{u}\sim \chi (2),\quad \phi _{u}\sim U(0, 2\pi )。}$$

${\displaystyle \chi_{u}}$はiid カイ二乗分布に従う変数であり、一様ランダムです。 ${\displaystyle \phi_{u}}$

2次元のピンクノイズ信号では、どの方向でも振幅は周波数に反比例して減少する。長さの2乗のピンクノイズは 次のように表される。^[7]${\displaystyle N}$ $${\displaystyle h(x,y)={\frac {\sigma N}{\sqrt {2}}}\sum _{u,v}{\frac {\chi _{uv}}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}\sin \left({\frac {2\pi }{N}}(ux+vy)+\phi _{uv}\right),\quad \chi _{uv}\sim \chi (2),\quad \phi _{uv}\sim U(0,2\pi ).}$$

一般的な1/ f  ^αのようなノイズは自然界に広く存在し、多くの分野で大きな関心を集めています。αが1に近いノイズは、一般的に、以下で説明するように、準平衡状態の凝縮系から発生します。 ^{[8] αの範囲が広いノイズは、一般的に、}非平衡駆動の動的システムの広い範囲に対応します。

ピンクノイズの発生源には、電子機器のフリッカーノイズなどがあります。マンデルブロとヴァンネスは、分数ブラウン運動の研究において、^[9] 指数αが偶数ではない1/ f αノイズ、 ^{[10]または}ブラウン運動（1/ f  ² ）ノイズの分数導関数である1/ f  ^αノイズを表すために、分数ノイズ（以降フラクタルノイズと呼ばれることもあります）という名前を提案しました。

ピンクノイズでは、周波数のオクターブごとに等しいエネルギーがあります。ただし、ピンクノイズの各周波数レベルでのエネルギーは、オクターブあたり約3 dB減少します 。これは、すべての周波数レベルで等しいエネルギーを持つホワイトノイズとは対照的です。^[11]

人間の聴覚システムは、周波数をバークスケールで近似したほぼ対数形式で処理しますが、異なる周波数を同等の感度で認識するわけではありません。1～4 kHz 付近の信号は、一定の強度に対して最も大きく聞こえます。しかし、人間は依然としてホワイトノイズとピンクノイズを容易に区別できます。

グラフィック イコライザーも信号を対数的に帯域に分割し、オクターブごとにパワーを報告します。オーディオ エンジニアはピンク ノイズをシステムに通して、対象のスペクトルでフラットな周波数応答があるかどうかをテストします。フラットな応答がないシステムは、グラフィック イコライザーを使用して逆フィルターを作成することでイコライズできます。ピンク ノイズは自然物理システムで発生する傾向があるため、オーディオ制作で役立つことがよくあります。ピンク ノイズは処理、フィルター処理、および/またはエフェクトの追加によって、希望のサウンドを作成できます。ピンク ノイズ ジェネレーターは市販されています。

ノイズの 1 つのパラメータであるピーク対平均エネルギー量、つまり波高係数は、信号電力が波高係数の直接関数であるため、オーディオ パワー アンプやスピーカーの機能などのテストに重要です。ピンク ノイズのさまざまな波高係数は、音楽信号のさまざまなレベルのダイナミック レンジ圧縮のシミュレーションに使用できます。一部のデジタル ピンク ノイズ ジェネレータでは、波高係数を指定できます。

ピンクノイズは、まずホワイトノイズ信号を生成し、それをフーリエ変換し、次に異なる周波数成分の振幅を周波数の平方根（1次元の場合）または周波数（2次元の場合）などで割ることでコンピュータで生成できます。^[7]これは、ホワイトノイズ信号をホワイト-ピンクフィルタで空間的にフィルタリング（畳み込み）することと同じです。1次元の長さ信号の場合、フィルタは次の形式になります。^[7]${\displaystyle N}$

$${\displaystyle a(x)={\frac {1}{N}}\left[1+{\frac {1}{\sqrt {N/2}}}\cos \pi (x-1)+2\sum _{k=1}^{N/2-1}{\frac {1}{\sqrt {k}}}\cos {{\frac {2\pi k}{N}}(x-1)}\right].}$$

Matlab プログラムを使用すると、1 次元または任意の数の次元でピンクやその他のべき乗法則カラーノイズを生成できます。

ピンクノイズのパワースペクトルは、1 次元信号にのみ適用されます。2 次元信号 (画像など) の場合、任意の方向での平均パワースペクトルは に、次元では に低下します。いずれの場合も、各オクターブには等しい量のノイズパワーが含まれます。 ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$${\displaystyle {\frac {1}{f^{2}}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\frac {1}{f^{d}}}}$

ピンクノイズ信号の平均振幅とパワーは、任意の方向 で、またすべての方向にわたる合計パワーは、周波数のべき乗として減少します。次の表は、異なる次元におけるピンクノイズ信号と、パワーを持つ一般的なべき乗法則カラーノイズ（例：ブラウンノイズは）のこれらのべき乗法則周波数依存性を示しています。^[7]${\displaystyle a_{\theta}}$${\displaystyle p_{\theta}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha =2}$

平均と標準偏差を持つガウス白色ノイズ信号を生成し、そのスペクトルをフィルターで乗算することによって生成される任意の次元のピンクノイズを考えてみましょう（フィルターで空間フィルタリングすることと同等）。ピンクノイズ信号の点値も平均と標準偏差を持つ正規分布になります。^[7]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {a}}\rVert \sigma }$

信号全体に相関関係がないホワイト ノイズとは異なり、ピンク ノイズ信号は次のようにそれ自体と相関関係があります。

1次元ピンクノイズ信号（離散周波数 で構成）と、配置（空間または時間）領域内の距離にわたるそれ自体とのピアソンの相関係数は、次の式で表されます。 ^[7] 離散周波数の代わりに、ピンクノイズが から までの連続周波数の重ね合わせで構成されている場合、自己相関係数は次の式で表されます。^[7] ここで、 はコサイン積分関数です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$ $${\displaystyle r(d)={\frac {\sum _{k}{\frac {\cos {\frac {2\pi kd}{N}}}{k}}}{\sum _{k}{\frac {1}{k}}}}.}$$${\displaystyle k_{\textrm {分}}}$${\displaystyle k_{\textrm {max}}}$ $${\displaystyle r(d)={\frac {{\textrm {Ci}}({\frac {2\pi k_{\textrm {max}}d}{N}})-{\textrm {Ci}}({\frac {2\pi k_{\textrm {min}}d}{N}})}{\log {\frac {k_{\textrm {max}}}{k_{\textrm {min}}}}}},}$$${\displaystyle {\textrm {Ci}}(x)}$

離散周波数からなる2次元ピンクノイズ信号のピアソンの自己相関係数は理論的には次のように近似される: ^[7] ここで、は第一種ベッセル関数である。 $${\displaystyle r(d)={\frac {\sum _{k}{\frac {J_{0}({\frac {2\pi kd}{N}})}{k}}}{\sum _{k}{\frac {1}{k}}}},}$$${\displaystyle J_{0}}$

ピンクノイズは、非常に多様な物理・生物システムの統計的変動の中に発見されています（Press, 1978; ^[12] Handel & Chung, 1993、^[13]およびその中の参考文献を参照）。その発生例としては、潮汐や川の高さの変動、クエーサーの発光、心拍、単一ニューロンの発火、固体電子機器の抵抗、およびフリッカーノイズの原因となる単一分子伝導信号^[14]などがあります。ピンクノイズは、多くの自然画像の統計的構造を表します。^[1]

一般的な1/ fαノイズは多く ^の物理、生物、経済システムで発生し、一部の研究者はこれを遍在するものと説明しています。^{[15]物理システムでは、一部の}気象データシリーズや一部の天体の電磁放射出力に存在します。生物システムでは、たとえば心拍リズム、神経活動、DNA配列の統計などに一般化されたパターンとして存在します。 ^[16]

ピンクノイズの重要性について分かりやすく紹介されているのは、マーティン・ガードナー(1978)がScientific American のコラム「数学ゲーム」で紹介したものです。^[17]このコラムで、ガードナーは音楽が自然を模倣する意味について問いました。自然界の音は、反復的すぎる (鳥の鳴き声、虫の鳴き声) か、混沌としすぎる (海の波の音、木々の風など) 傾向があるため、音楽的ではありません。この質問に対する答えは、統計的な意味で Voss と Clarke (1975、1978) によって与えられ、会話や音楽のピッチと音量の変動がピンクノイズであることを示しました。^{[18] [19]}つまり、音楽は、潮の音の点でではなく、潮の高さがどのように変化するかという点で、潮の満ち引き​​に似ています。

普遍的な1/fノイズは、高精度の計時において「ノイズフロア」となる。^[12]導出は^{[20]に基づいている。}

時計装置（水晶振動子、原子時計、砂時計^[21]など何でも構いません）があるとします。その表示は実際の時間 に応じて変化する実数 とします。具体的には、水晶振動子を考えてみましょう。水晶振動子では、は振動数、 は振動率です。振動率には定数成分と変動成分があるため、 となります。 の単位を適切に選択すると となり、平均して実際の時間 1 秒ごとに時計の時間が 1 秒経過することになり ます。${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$${\displaystyle {\dot {x}}_{0}}$${\displaystyle {\dot {x}}_{f}}$${\textstyle {\dot {x}}(t)={\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{f}(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dot {x}}_{0}=1}$

クロックの安定性は、一定間隔で何回「ティック」するかで測定されます。ティックの数が安定しているほど、クロックの安定性は高くなります。したがって、間隔内の平均クロック周波数を次のように定義します。 は単位がないことに注意してください。これは、物理クロックのティックと理想的なクロックのティックの間の数値比率です^{[注 1]}。 ${\displaystyle [k\tau ,(k+1)\tau ]}$$${\displaystyle y_{k}={\frac {1}{\tau }}\int _{k\tau }^{(k+1)\tau }{\dot {x}}(t)dt={\frac {x((k+1)\tau )-x(k\tau )}{\tau }}}$$${\displaystyle y_{k}}$

クロック周波数のアラン分散は、平均クロック周波数の変化の二乗平均の半分です。ここで、は平均化が一定の値に収束するのに十分な大きさの整数です。たとえば、2013年の原子時計^[22]はを達成しました。これは、時計を使用して7時間間隔を繰り返し測定した場合、実際に測定された時間の標準偏差は約40フェムト秒になることを意味します。 $${\displaystyle \sigma ^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}{\overline {(y_{k}-y_{k-1})^{2}}}={\frac {1}{K}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{2}}(y_{k}-y_{k-1})^{2}}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sigma (25000{\text{ seconds}})=1.6\times 10^{-18}}$

ここで、は高さ、波長の方形波の 1 つのパケットです。が高さ 1、波長 の方形波のパケットであるとすると、 となり、そのフーリエ変換は を満たします。 $${\displaystyle y_{k}-y_{k-1}=\int _{\mathbb {R} }g(k\tau -t){\dot {x}}_{f}(t)dt=(g\ast {\dot {x}}_{f})(k\tau )}$$${\displaystyle g(t)={\frac {-1_{[0,\tau ]}(t)+1_{[-\tau ,0]}(t)}{\tau }}}$${\displaystyle 1/\tau }$${\displaystyle 2\tau }$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle g(t)=h(t/\tau )/\tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}[g](\omega )={\mathcal {F}}[h](\tau \omega )}$

アラン分散は であり、離散平均は連続平均によって近似できます。これは信号の全パワー、またはそのパワースペクトルの積分です。 ${\displaystyle \sigma ^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}{\overline {(y_{k}-y_{k-1})^{2}}}={\frac {1}{2}}{\overline {(g\ast {\dot {x}}_{f})(k\tau )^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{2}}(y_{k}-y_{k-1})^{2}\approx {\frac {1}{K\tau }}\int _{0}^{K\tau }{\frac {1}{2}}(g\ast {\dot {x}}_{f})(t)^{2}dt}$${\displaystyle (g\ast {\dot {x}}_{f})}$

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\tau )\approx \int _{0}^{\infty }S[g\ast {\dot {x}}_{f}](\omega )d\omega =\int _{0}^{\infty }S[g](\omega )\cdot S[{\dot {x}}_{f}](\omega )d\omega =\int _{0}^{\infty }S[h](\tau \omega )\cdot S[{\dot {x}}_{f}](\omega )d\omega }$$言い換えると、アラン分散は、帯域幅 でのバンドパスフィルタリング後の変動のパワーにほぼ相当します。 ${\displaystyle \omega \sim 1/\tau }$${\displaystyle \Delta \omega \sim 1/\tau }$

変動 については、ある定数 に対してとなるので となる。特に、変動成分が 1/f ノイズである場合、 は平均化時間 に依存しない。つまり、クロック周波数は単に平均化時間を長くしても安定しないということである。これは、ホワイトノイズ変動の場合 となることと対照的である。ホワイトノイズ変動の場合は となるため、平均化時間を 2 倍にすると周波数の安定性が 向上する。^[12]${\displaystyle 1/f^{\alpha }}$${\displaystyle S[{\dot {x}}_{f}](\omega )=C/\omega ^{\alpha }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \sigma ^{2}(\tau )\approx \tau ^{\alpha -1}\sigma ^{2}(1)\propto \tau ^{\alpha -1}}$${\displaystyle {\dot {x}}_{f}}$${\displaystyle \sigma ^{2}(\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma ^{2}(\tau )\propto \tau ^{-1}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ノイズフロアの原因は、多くの場合、発振器フィードバック内の特定の電子部品（トランジスタ、抵抗器、コンデンサなど）に起因します。^[23]

脳では、ピンクノイズは、イオンチャネルゲーティングからヒトのEEG、MEG、LFP記録まで、多くの時間的および物理的スケールで広く観察されています。 ^[24]臨床EEGでは、この1/fピンクノイズからの逸脱を使用して、発作がない場合や発作間欠期であっても、てんかんを特定できます。 ^[25]古典的なEEGジェネレータモデルでは、灰白質の樹状突起入力がEEG / MEG信号で観察される1/fパワースペクトルの生成に主に関与していると示唆されていました。しかし、ケーブル理論を使用した最近の計算モデルでは、脳の白質神経路に沿った活動電位変換も1/fスペクトル密度を生成することが示されています。したがって、白質シグナル伝達は、頭皮EEG記録で測定されるピンクノイズにも寄与している可能性があり、^[26] 特にエファプティックカップリングの影響を考慮に入れると^[27]。

また、心理学における精神状態のモデル化にもうまく応用されており、^[28]異なる文化や歴史的時代の音楽のスタイルの違いを説明するために使用されています。^[29]リチャード・F・ヴォスとJ・クラークは、ほぼすべての音楽のメロディーについて、各連続音を音高のスケールにプロットすると、ピンクノイズのスペクトルに向かう傾向があると主張しています。^{[30]同様に、}コーネル大学の研究者ジェームズ・E・カッティングは、1935年から2005年までに公​​開された150本の人気映画を研究した結果、映画のショットの長さに一般的にピンク色の分布パターンが見られることを観察しました。 ^[31]

ピンクノイズは人間の反応にも特有のものであることがわかっています。ギルデンら (1995) は、時間的および空間的な間隔を繰り返し生成して形成された時系列で、このノイズの極めて純粋な例を発見しました。^{[32]その後、ギルデン (1997) とギルデン (2001) は、}反応時間の測定と、2つの選択肢から強制的に選択を繰り返すことで形成された時系列でもピンクノイズが発生することを発見しました。^{[33] [34]}

電子デバイスにおけるピンクノイズの主な発生源は、ほぼ例外なく、デバイスの凝縮物質の特性の緩やかな変動です。多くの場合、変動の具体的な発生源はわかっています。これらには、金属の欠陥の変動構成、半導体のトラップの変動占有率、磁性材料の変動ドメイン構造が含まれます。^{[8] [35]}ほぼピンク色のスペクトル形式の説明は比較的自明で、通常は変動プロセスの運動活性化エネルギーの分布から生じます。^[36]典型的なノイズ実験の周波数範囲 (例: 1 Hz - 1 kHz) は、典型的な微視的な「試行周波数」(例: 10 ^{14 Hz) と比較して低いため、レートの}アレニウス方程式 の指数係数は大きくなります。これらの指数に現れる活性化エネルギーの比較的小さな広がりは、特性レートの大きな広がりをもたらします。最も単純なおもちゃの場合、活性化エネルギーの平坦な分布はまさにピンク色のスペクトルを与える。なぜなら${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{df}}\ln f={\frac {1}{f}}.}$

電子機器におけるバックグラウンドのピンクノイズの下限値はわかっていません。10 ⁻⁶  Hz までの測定（数週間かかりました）では、ピンクノイズの挙動が止まることはありませんでした。^[37] (Kleinpenning、de Kuijper、1988) ^{[38] は、}ノイズの多いカーボンシート抵抗器の抵抗を測定し、 9.5 桁の範囲である の範囲 で 1/f ノイズの挙動を発見しました。${\displaystyle [10^{-5.5}\mathrm {Hz} ,10^{4}\mathrm {Hz} ]}$

この分野の先駆的な研究者は、アルダート ファン デル ツィールです。^[39]

フリッカーノイズは、電子機器の信頼性評価によく使用されます。^{[40]また、専用の測定セットアップにより、化学抵抗性センサー[41]}でのガス検出にも使用されます。^[42]

αが1に近い1/ f  ^{αノイズは}、重力波天文学の要因である。非常に低い周波数でのノイズ曲線は、パルサータイミングアレイ、欧州パルサータイミングアレイ（EPTA）および将来の国際パルサータイミングアレイ（IPTA）に影響を与える。低周波数では、宇宙搭載型検出器、以前提案されたレーザー干渉計宇宙アンテナ（LISA）および現在提案されている進化型レーザー干渉計宇宙アンテナ（eLISA）、高周波数では地上型検出器、初期のレーザー干渉計重力波観測所（LIGO）およびその先進構成（aLIGO）が影響を与える。潜在的な天体物理学的ソースの特性歪みも示されている。信号が検出可能となるには、その特性歪みがノイズ曲線より上にある必要がある。^[43]

気候代理データでは数十年単位のピンクノイズが発見されており、これは気候システムにおけるプロセスの増幅と結合を示している可能性がある。^{[44] [45]}

多くの時間依存確率過程は、αが0から2の間の1/ f  ^αノイズを示すことが知られています。特にブラウン運動は、 4 D / f  ²に等しいパワースペクトル密度を持ちます^[46]。ここで、Dは拡散係数です。このタイプのスペクトルは、ブラウン運動ノイズと呼ばれることもあります。興味深いことに、個々のブラウン運動の軌跡の解析でも、ランダムな振幅ではありますが、1/ f  ²スペクトルが示されます。^[47]ハースト指数Hを持つ分数ブラウン運動も、1/ f  ^αパワースペクトル密度を示し、サブ拡散過程（ H <0.5）ではα=2 H +1 、超拡散過程（0.5< H <1）ではα=2です。^[48]

ピンクノイズの起源については多くの説があります。普遍性を追求した説もあれば、半導体など特定の種類の材料にのみ適用される説もあります。ピンクノイズの普遍的な説は、現在も研究の対象となっています。

統計学の中心極限定理に関連する数学的な収束定理に基づいてピンクノイズの発生を説明する仮説（トゥイーディー仮説と呼ばれる）が提案されている。 ^[49]トゥイーディー収束定理^{[50] は、特定の統計プロセスが}トゥイーディー分布と呼ばれる統計モデル群に収束することを記述している。これらの分布は、分散対平均べき乗則によって特徴付けられ、生態学の文献ではテイラーの法則^[51]、物理学の文献では変動スケーリング^[52]など様々に特定されている。この分散対平均べき乗則が列挙ビンの拡張法によって実証された場合、これはピンクノイズの存在を意味し、逆もまた同様である。^[49]これらの効果は両方とも、特定の種類のデータが中心極限定理の下でどのように正規分布に収束するかなど、数学的な収束の結果であることが示され得る。この仮説はまた、自己組織化臨界性に起因するべき乗則の発現を説明するための代替パラダイムを提供する。^[53]

ピンクノイズを生成するための様々な数学モデルがある。自己組織化臨界性は砂山モデルでピンクノイズを再現することができているが、これらはガウス分布や他の期待される統計的性質を持っていない。 ^{[54] [55]}ピンクノイズは、例えば、ホワイトノイズをフィルタリングしたり、^{[56] [57] [58]} 逆フーリエ変換、^[59]標準的なホワイトノイズ生成のマルチレートバリアントによってコンピュータ上で生成することができる。^{[19] [17]}

確率微分方程式の近似フリー理論である確率の超対称性理論^[60]では、1/ fノイズは位相超対称性の自発的破れの現れの一つである。この超対称性はすべての確率微分方程式の本質的な性質であり、その意味は連続時間ダイナミクスによって位相空間の連続性が保存されるということである。この超対称性の自発的破れは、決定論的カオスの概念の確率論的一般化である^[61]。一方、関連する長期動的記憶または秩序、すなわち1/ fとパチパチというノイズ、バタフライ効果などの出現は、自発的に破れた位相超対称性への応用におけるゴールドストーン定理の結果である。

ピンクノイズは、音響強化システムのスピーカーをテストするためによく使用され、その結果得られた音は、リスニングスペースのテストマイクをスペクトルアナライザー^[3]またはSmaartなどのリアルタイム高速フーリエ変換(FFT) アナライザープログラムを実行しているコンピューターに接続して測定されます。音響システムがピンクノイズを再生している間、オーディオエンジニアはオーディオイコライザーを調整して、目的の結果を得ます。ピンクノイズは予測可能で再現性がありますが、コンサートの観客にとっては耳障りです。1990年代後半以降、FFTベースの分析により、エンジニアは事前に録音された音楽をテスト信号として使用したり、演奏者からリアルタイムで流れる音楽を使用して調整できるようになりました。^{[62]ピンクノイズは、オーディオシステム請負業者[63]}や、自動イコライゼーション機能を組み込んだコンピューター化された音響システムで今でも使用されています。^[64]

製造業では、ピンクノイズはオーディオアンプやその他のコンポーネントのバーンイン信号としてよく使用され、コンポーネントが継続的な使用中にパフォーマンスの整合性を維持できるかどうかを判断します。^[65]エンドユーザーがヘッドフォンをピンクノイズでバーンインしてより高い忠実度を実現するプロセスは、オーディオマニアの「神話」と呼ばれています。 ^[66]

• Bak, P.; Tang, C.; Wiesenfeld, K. (1987). 「自己組織化臨界性: 1/ ƒノイズの説明」. Physical Review Letters . 59 (4): 381–384. Bibcode :1987PhRvL..59..381B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID  10035754. S2CID  7674321.
• Dutta, P.; Horn, PM (1981). 「固体の低周波変動: 1/ ƒノイズ」.現代物理学レビュー. 53 (3): 497–516. Bibcode :1981RvMP...53..497D. doi :10.1103/RevModPhys.53.497.
• Field, DJ (1987). 「自然画像の統計と皮質細胞の応答プロファイルの関係」(PDF) . Journal of the Optical Society of America A . 4 (12): 2379–2394. Bibcode :1987JOSAA...4.2379F. CiteSeerX  10.1.1.136.1345 . doi :10.1364/JOSAA.4.002379. PMID  3430225.
• Gisiger, T. (2001). 「生物学におけるスケール不変性：偶然か、それとも普遍的なメカニズムの痕跡か？」生物学レビュー. 76 (2): 161–209. CiteSeerX  10.1.1.24.4883 . doi :10.1017/S1464793101005607. PMID  11396846. S2CID  14973015.
• ジョンソン、JB (1925)。 「低周波回路におけるショットキー効果」。Physical Review。26 (1): 71–85。Bibcode : 1925PhRv...26...71J。doi :10.1103/PhysRev.26.71。
• コーガン、シュリム（1996年）。固体における電子ノイズと変動。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-46034-7。
• Press, WH (1978). 「天文学とその他の分野におけるフリッカーノイズ」(PDF) .天体物理学に関するコメント. 7 (4): 103–119.書誌コード:1978ComAp...7..103P. 2007-09-27 にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。
• ショットキー、W. (1918)。 「VERSCHIEDENEN Elektrizitätsleitern における Über spontane Stromschwankungen」。アンナレン・デア・フィジーク。362 (23): 541–567。ビブコード:1918AnP...362..541S。土井：10.1002/andp.19183622304。
• ショットキー、W. (1922)。 「Zur Berechnung und Beurtailung des Schrotefektes」。アンナレン・デア・フィジーク。373 (10): 157–176。ビブコード:1922AnP...373..157S。土井：10.1002/andp.19223731007。
• Keshner, MS (1982). 「1/ ƒノイズ」. Proceedings of the IEEE . 70 (3): 212–218. doi :10.1109/PROC.1982.12282. S2CID  921772.
• Chorti, A.; Brookes, M. (2007). 「発振器の 1/ f位相ノイズによる近キャリアスペクトル無限大の解決」2007 IEEE 国際音響、音声、信号処理会議 - ICASSP '07 。第 3 巻。pp . III–1005–III–1008。doi : 10.1109 /ICASSP.2007.366852。ISBN 978-1-4244-0727-9.S2CID 14339595  。