非線形光学

非線形光学（NLO ）は、非線形媒体、つまり偏光密度Pが光の電場Eに非線形に応答する媒体における光の挙動を記述する光学の分野です。非線形性は通常、レーザーによって提供されるものなど、非常に高い光強度（光の電場が> 10 ⁸ V/mで、原子の電場の約10 ¹¹ V/mに匹敵する場合）でのみ観察されます。シュウィンガー限界を超えると、真空自体が非線形になると予想されます。非線形光学では、重ね合わせの原理はもはや成り立ちません。^{[1] [2] [3]}

最初に予測された非線形光学効果は、 1931年にマリア・ゲッパート・メイヤーが博士号取得のために提唱した2光子吸収であったが、1961年にベル研究所で2光子吸収がほぼ同時に観測され^、ミシガン大学のピーター・フランケンらが第二高調波発生 を発見する まで、理論的な好奇心は未開拓のままであった。どちらもセオドア・メイマンによる最初のレーザーの構築から間もなくのことであった。^[5]しかし、いくつかの非線形効果はレーザーの開発前に発見されていた。^{[6]多くの非線形プロセスの理論的基礎は、}ブルームバーゲンのモノグラフ「非線形光学」で初めて説明された。^[7]

非線形光学は、周波数、偏光、位相、入射光の経路などの特性の非線形応答を説明します。 ^[5]これらの非線形相互作用は、多くの光学現象を引き起こします。

• 第二高調波発生（SHG）、または周波数倍増は、2倍の周波数（波長の半分）の光の生成であり、2つの光子が破壊され、2倍の周波数の単一の光子が生成されます。
• 第三高調波発生(THG) は、3 倍の周波数 (波長の 3 分の 1) の光を発生させ、3 つの光子が破壊され、3 倍の周波数の単一の光子が生成されます。
• 高調波発生(HHG) は、元の周波数よりもはるかに高い周波数 (通常は 100 ～ 1000 倍) の光を生成します。
• 和周波発生(SFG) は、他の 2 つの周波数の和である周波数を持つ光の発生です (SHG はこれの特殊なケースです)。
• 差周波発生(DFG) は、他の 2 つの周波数の差である周波数を持つ光を生成します。
• 光パラメトリック増幅(OPA) は、高周波ポンプ波の存在下で信号入力を増幅し、同時にアイドラー波 (DFG と見なすことができます) を生成します。
• 光パラメトリック発振(OPO) は、共振器内のパラメトリック増幅器を使用して信号波とアイドラー波を生成します (信号入力なし)。
• 光パラメトリック生成(OPG) は、パラメトリック発振に似ていますが、共振器を使用せず、代わりに非常に高いゲインを使用します。
• 半高調波発生は、信号とアイドラーが単一の周波数で縮退するOPOまたはOPGの特殊なケースです。
• 自発的パラメトリックダウンコンバージョン(SPDC)、低ゲイン領域での真空変動の増幅。
• 光整流（OR）、準静電場の生成。
• 自由電子およびプラズマとの非線形光物質相互作用。^{[8] [9] [10] [11]}

• 光カー効果、強度依存屈折率（効果）。${\displaystyle \chi^{(3)}}$
• 自己収束は、強度の空間的変化によって屈折率の空間的変化が生じることで生じる光カー効果（およびおそらく高次非線形性）による効果です。
• Kerr レンズ モードロック(KLM) は、レーザーをモードロックするメカニズムとして自己焦点を使用するものです。
• 自己位相変調(SPM) は、強度の時間的変化によって屈折率の時間的変化が生じることで発生する光カー効果(およびおそらく高次非線形性)による効果です。
• 光ソリトンは、分散とカー効果のバランスにより伝播中に変化しない光パルス（時間ソリトン）または空間モード（空間ソリトン）の平衡解です（例：時間ソリトンの場合は自己位相変調、空間ソリトンの場合は自己収束）。
• 自己回折、位置エネルギー移動を伴う多波混合過程におけるビームの分割。^[12]
• 相互位相変調(XPM)。光カー効果により、ある光の波長が別の光の波長の位相に影響を与える可能性があります。
• 四光波混合(FWM) は、他の非線形性によっても発生する可能性があります。
• 交差偏波発生(XPW) は、入力偏波ベクトルに対して垂直な偏波ベクトルを持つ波が生成される効果です。${\displaystyle \chi^{(3)}}$
• 変調不安定性[ ^13]
• ラマン増幅^[14]
• 光位相共役。
• 誘導ブリルアン散乱、光子と音響フォノンの相互作用
• 多光子吸収とは、2 つ以上の光子を同時に吸収し、そのエネルギーを1 つの電子に移すことです。
• 多重光イオン化、つまり 1 つの光子による多数の結合電子のほぼ同時除去。
• 光学システムにおけるカオス。

これらのプロセスでは、媒体は光に対して線形応答しますが、媒体の特性は他の原因によって影響を受けます。

• ポッケルス効果、屈折率は静電場の影響を受ける。電気光学変調器に用いられる。
• 音響光学では、屈折率は音波（超音波）の影響を受けます。音響光学変調器で使用されます。
• ラマン散乱、光子と光学フォノンの相互作用。

非線形効果は、パラメトリック効果と非パラメトリック効果という質的に異なる 2 つのカテゴリに分類されます。パラメトリック非線形性は、非線形材料の量子状態が光場との相互作用によって変化しない相互作用です。この結果、プロセスは「瞬間的」です。エネルギーと運動量は光場内で保存されるため、位相整合が重要になり、偏光に依存します。^{[15] [16]}

パラメトリックで「瞬間的」（つまり、クラマース・クローニッヒの関係により、材料は損失や分散がない）な非線形光学現象は、光場が大きすぎない場合、時間tにおける誘電分極密度（単位体積あたりの電気双極子モーメント）P ( t ) を電界E ( t ) でテイラー級数展開することによって記述できます。

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}\mathbf {E} (t)+\chi ^{(2)}\mathbf {E } ^{2}(t)+\chi ^{(3)}\mathbf {E} ^{3}(t)+\ldots \right),}$

ここで、係数 χ ^{( n ) は}媒体のn次の感受率であり、このような項の存在は一般にn次の非線形性と呼ばれます。分極密度P ( t ) と電界E ( t ) は、簡単にするためにスカラーとして扱われることに注意してください。一般に、 χ ^{( n )}は、パラメトリック相互作用の分極依存の性質と非線形材料の対称性(または対称性の欠如)の両方を表す( n  + 1) 階のテンソルです。

電磁波の研究の中心となるのは波動方程式である。自由電荷を含まない等方性空間におけるマクスウェル方程式から始めると、次のことが示される。

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} +{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t ^{2}}}\mathbf {E} =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}},}$

ここで、P ^{NL は}偏光密度の非線形部分であり、n は屈折率であり、 Pの線形項から得られます。

通常、ベクトルの恒等式を使用できることに注意してください

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf { V} }$

ガウスの法則（自由電荷がないと仮定すると、） ${\displaystyle \rho _{\text{free}}=0}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =0,}$

より一般的な波動方程式を得るには

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{ 2}}}\mathbf {E} =\mathbf {0} .}$

非線形媒体の場合、ガウスの法則は、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$

は、等方性媒体であっても、一般的には真です。しかし、この項が0でない場合でも、無視できるほど小さい場合が多く、実際には無視されることが多く、標準的な非線形波動方程式が得られます。

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{ 2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}.}$

非線形波動方程式は非同次微分方程式です。一般解は常微分方程式の研究から得られ、グリーン関数を使用して得ることができます。物理的には、波動方程式の同次部分に対する通常の電磁波解が得られます。

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{ 2}}}\mathbf {E} =\mathbf {0} ,}$

そして不均質項

${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}}$

電磁波の駆動源/発生源として機能します。その結果の 1 つが非線形相互作用であり、異なる周波数間でエネルギーが混合または結合されます。これは「波の混合」と呼ばれることがよくあります。

一般に、n次の非線形性は( n +1)波混合を引き起こす 。例えば、2次の非線形性(3波混合)のみを考慮すると、偏光Pは次の形になる。

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\text{NL}}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t).}$

E ( t ) が周波数ω ₁と ω ₂の2つの成分から構成されていると仮定すると、 E ( t ) は次のように 表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {E} (t)=E_{1}\cos(\omega _{1}t)+E_{2}\cos(\omega _{2}t),}$

オイラーの公式を使って指数に変換すると、

${\displaystyle \mathbf {E} (t)={\frac {1}{2}}E_{1}e^{-i\omega _{1}t}+{\frac {1}{2}}E_{2}e^{-i\omega _{2}t}+{\text{c.c.}},}$

ここで「cc」は複素共役を表す。これをPの式に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} ^{\text{NL}}&=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t)\\[3pt]&={\frac {\varepsilon _{0}}{4}}\chi ^{(2)}\left[{E_{1}}^{2}e^{-i2\omega _{1}t}+{E_{2}}^{2}e^{-i2\omega _{2}t}+2E_{1}E_{2}e^{-i(\omega _{1}+\omega _{2})t}+2E_{1}{E_{2}}^{*}e^{-i(\omega _{1}-\omega _{2})t}+\left(\left|E_{1}\right|^{2}+\left|E_{2}\right|^{2}\right)e^{0}+{\text{c.c.}}\right],\end{aligned}}}$

2 ω ₁、2 ω ₂、ω ₁  +  ω ₂、ω ₁  −  ω _{2 、および 0 の周波数成分を持ちます。これらの3波混合プロセスは、それぞれ}第二高調波発生、和周波発生、差周波発生、および光整流として知られる非線形効果に対応します。

注: パラメトリック生成と増幅は差周波生成のバリエーションであり、2 つの生成フィールドのうちの 1 つの低い方の周波数が非常に弱くなる (パラメトリック増幅) か、完全になくなる (パラメトリック生成) ものです。後者の場合、電場における 基本的な量子力学的不確実性がプロセスを開始します。

上記は電界の位置依存性を無視している。典型的な状況では、電界は次のように記述される進行波である。

${\displaystyle E_{j}(\mathbf {x} ,t)=E_{j,0}e^{i(\mathbf {k} _{j}\cdot \mathbf {x} -\omega _{j}t)}+{\text{c.c.}}}$

位置、波数ベクトルで表されます。ここで は真空中の光の速度、 は角周波数 における媒体の屈折率です。したがって、角周波数 における2次偏光は ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {k} _{j}\|=\mathbf {n} (\omega _{j})\omega _{j}/c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {n} (\omega _{j})}$${\displaystyle \omega _{j}}$${\displaystyle \omega _{3}=\omega _{1}+\omega _{2}}$

${\displaystyle P^{(2)}(\mathbf {x} ,t)\propto E_{1}^{n_{1}}E_{2}^{n_{2}}e^{i[(\mathbf {k} _{1}+\mathbf {k} _{2})\cdot \mathbf {x} -\omega _{3}t]}+{\text{c.c.}}}$

非線形媒体内の各位置では、振動する2次偏光は角周波数と対応する波数ベクトルで放射されます。建設的な干渉、つまり高強度の場は、次の場合にのみ発生します。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \omega _{3}}$${\displaystyle \|\mathbf {k} _{3}\|=\mathbf {n} (\omega _{3})\omega _{3}/c}$${\displaystyle \omega _{3}}$

${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}_{3}={\vec {\mathbf {k} }}_{1}+{\vec {\mathbf {k} }}_{2}.}$

上記の式は位相整合条件として知られています。通常、3 波混合は複屈折結晶材料で行われ、屈折率は通過する光の偏光と方向に依存します。フィールドの偏光と結晶の方向は、位相整合条件が満たされるように選択されます。この位相整合技術は角度チューニングと呼ばれます。通常、結晶には 3 つの軸があり、そのうちの 1 つまたは 2 つは他の軸とは異なる屈折率を持ちます。たとえば、単軸結晶には、異常 (e) 軸と呼ばれる 1 つの優先軸があり、他の 2 つは常軸 (o) です (結晶光学を参照)。この結晶タイプの偏光を選択する方法はいくつかあります。信号とアイドラーが同じ偏光を持つ場合、それは「タイプ I 位相整合」と呼ばれ、それらの偏光が垂直である場合は「タイプ II 位相整合」と呼ばれます。ただし、結晶軸に対してどの周波数がどの偏光を持つかをさらに指定する他の規則も存在します。これらのタイプは、信号波長がアイドラー波長よりも短いという規則に従って、以下にリストされています。

最も一般的な非線形結晶は負の一軸性結晶です。つまり、e軸の屈折率はo軸の屈折率よりも小さいということです。これらの結晶では、通常、タイプ I とタイプ II の位相整合が最も適した方式です。正の一軸性結晶では、タイプ VII とタイプ VIII がより適しています。タイプ II とタイプ III は、シグナルの波長がアイドラーの波長よりも長い場合にシグナルとアイドラーの名前が入れ替わることを除いて、基本的に同等です。このため、これらは IIA と IIB と呼ばれることもあります。タイプ番号 V から VIII は、I と II およびその変種よりも一般的ではありません。

角度調整の望ましくない影響の 1 つは、関係する光周波数が互いに共線的に伝搬されないことです。これは、複屈折結晶を伝搬する異常波が伝搬ベクトルと平行でないポインティング ベクトルを持つという事実によるものです。これによりビーム ウォークオフが発生し、非線形光変換効率が制限されます。位相整合の他の 2 つの方法は、すべての周波数を結晶の光軸に対して 90° で伝搬するように強制することで、ビーム ウォークオフを回避します。これらの方法は、温度調整と擬似位相整合と呼ばれます。

温度調整は、ポンプ (レーザー) 周波数偏光が信号およびアイドラー周波数偏光と直交する場合に使用されます。一部の結晶、特にニオブ酸リチウムの複屈折は、温度に大きく依存します。結晶の温度は、位相整合条件を達成するために制御されます。

もう 1 つの方法は、擬似位相整合です。この方法では、関係する周波数が常に互いに位相が固定されているわけではなく、結晶軸が一定の間隔 Λ (通常は長さ 15 マイクロメートル) で反転されます。そのため、これらの結晶は周期分極反転と呼ばれます。これにより、非線形感受率が逆転することで、結晶の分極応答がポンプ ビームと位相が一致するようにシフトされます。これにより、ポンプから信号周波数とアイドラー周波数に正の正のエネルギーが流れます。この場合、結晶自体が追加の波数ベクトルk  = 2π/Λ (したがって運動量) を提供し、位相整合条件を満たします。擬似位相整合をチャープ グレーティングに拡張して、帯域幅を広げ、ダズラーで行われるのと同じように SHG パルスを成形できます。ポンプの SHG と信号の自己位相変調(2 次プロセスによってエミュレート) および光パラメトリック増幅器をモノリシックに統合できます。

上記はプロセスに当てはまります。これは、がゼロでないプロセスに拡張できます。これは、対称性の制限のない任意の媒体で一般的に当てはまります。特に、共鳴的に強化されたガス内の和周波または差周波混合は、極端または「真空」紫外線生成に頻繁に使用されます。^[19] 希薄ガス内の混合などの一般的なシナリオでは、非線形性が弱いため、光線が焦点を合わせられ、上記の平面波近似とは異なり、各光線に π 位相シフトが導入され、位相整合要件が複雑になります。^[19]便利なことに、との差周波混合により 、この焦点位相シフトがキャンセルされ、多くの場合、ほぼ自己キャンセルする全体的な位相整合条件があり、和周波生成と比較して、広い波長チューニングが比較的簡単になります。^[19]では、 2 つのプロセス を介した順次混合とは対照的に、4 つの周波数すべてが同時に混合されます。${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

カー効果は としても説明できます。ピークパワーが高い場合、カー効果により空気中の光のフィラメント化が発生する可能性があります。この場合、光は自己生成された導波路内を分散または発散することなく進みます。 ^{[20]低次の支配を導いた}テイラー級数は、 高強度であっても収束せず、代わりに時間ベースのモデルが使用されます。希ガス原子が、原子のクーロン場と同等の電界強度を持つ強力なレーザーパルスに当たると、最外殻の電子が原子からイオン化される可能性があります。解放されると、電子は光の電界によって加速され、最初はイオンから離れ、次に電界が方向を変えるにつれてイオンに戻ります。次に電子はイオンと再結合し、そのエネルギーを光子の形で放出します。光は、十分に強いレーザー光場のピークごとに放出され、一連のアト秒光フラッシュを生成します。このプロセスによって生成される光子エネルギーは、800 次高調波を超えて数 K eVまで拡張できます。これは高次高調波発生と呼ばれます。レーザーは直線偏光して、電子が親イオンの近くに戻るようにする必要があります。高次高調波発生は、希ガス ジェット、セル、ガス充填毛細管導波管で観測されています。 ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

最も一般的に使用される周波数混合プロセスの1つは、周波数倍増、または第二高調波発生です。この技術により、 Nd：YAGレーザーからの1064nm出力またはTi：サファイアレーザーからの800nm出力を、それぞれ532nm（緑）または400nm（紫）の波長の可視光に変換できます。^[21]

実際には、周波数倍増はレーザー光線に非線形媒体を配置することによって行われます。非線形媒体には多くの種類がありますが、最も一般的な媒体は結晶です。一般的に使用される結晶は、BBO ( β-ホウ酸バリウム)、KDP (リン酸二水素カリウム)、KTP (リン酸チタン酸カリウム)、およびニオブ酸リチウムです。これらの結晶は、強い複屈折性(位相整合を得るために必要、下記参照)、特定の結晶対称性、入射レーザー光と周波数倍増波長の両方に対して透明、および高損傷しきい値を持ち、高強度レーザー光に対して耐性があるという必要な特性を備えています。

非線形光学過程を利用すると、光線の伝播方向と位相変化を正確に逆転させることができる。逆転した光線は共役光線と呼ばれ、この技術は光位相共役^{[22] [23]}として知られている（時間反転、波面反転とも呼ばれ、逆反射とは大きく異なる）。

位相共役効果を生み出すデバイスは位相共役ミラー(PCM) として知られています。

光位相共役は、リアルタイムのホログラフィック プロセスに類似していると解釈できます。^[24] この場合、相互作用するビームは非線形光学材料内で同時に相互作用し、材料内に動的ホログラム (3 つの入力ビームのうち 2 つ)、またはリアルタイムの回折パターンを形成します。3 番目の入射ビームはこの動的ホログラムで回折し、その過程で位相共役波を読み取ります。実際には、3 つの入射ビームすべてが (基本的に) 同時に相互作用して複数のリアルタイム ホログラムを形成し、結果として「時間反転」ビームとして位相が上がる回折出力波のセットが生成されます。非線形光学の用語では、相互作用するビームは材料内で非線形偏光をもたらし、それがコヒーレントに放射して位相共役波を形成します。

波面の反転は、光子の線形運動量と角運動量の完全な反転を意味します。角運動量の反転は、偏光状態と軌道角運動量の両方の反転を意味します。^[25] 光渦の軌道角運動量の反転は、入射ビームと反射ビームのらせん位相プロファイルの完全な一致によるものです。光 位相共役は、誘導ブリルアン散乱、 ^[26] 4波混合、3波混合、静的線形ホログラム、およびその他のツールを 介して実装されます。

光位相共役を生成する最も一般的な方法は四光波混合技術を使用することですが、誘導ブリルアン散乱などのプロセスを使用することもできます。

4波混合技術では、電界を持つ4つのビーム（j = 1、2、3、4）を次のように記述できます。

${\displaystyle \Xi _{j}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}E_{j}(\mathbf {x} )e^{i\left(\omega _{j}t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} \right)}+{\text{c.c.}},}$

ここで、E _{j は}電界振幅です。Ξ ₁と Ξ _{2 は}2 つのポンプ波として知られており、Ξ ₃は信号波、Ξ _{4 は}生成された共役波です。

^{ポンプ波と信号波がχ (3)}がゼロでない媒体で重ね合わされると、非線形分極場が生成される。

${\displaystyle P_{\text{NL}}=\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}(\Xi _{1}+\Xi _{2}+\Xi _{3})^{3},}$

_{その結果、 ω = 3ω 1}、 3ω ₂、 3ω ₃の第三高調波発生波に加えて、 ω = ±ω ₁ ± ω ₂ ± ω ₃で与えられる周波数の波が発生します。

上で述べたように、位相整合条件によって、どの波が支配的であるかが決まります。ω = ω ₁ + ω ₂ − ω ₃およびk = k ₁ + k ₂ − k ₃となるような条件を選択すると、偏光場が得られます。

${\displaystyle P_{\omega }={\frac {1}{2}}\chi ^{(3)}\varepsilon _{0}E_{1}E_{2}E_{3}^{*}e^{i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}+{\text{c.c.}}}$

これは位相共役ビームΞ ₄を生成するフィールドです。その方向はk ₄ = k ₁ + k ₂ − k ₃で与えられ、したがって 2 つのポンプビームが反対方向に伝搬する場合 ( k ₁ = − k ₂ )、共役ビームと信号ビームは反対方向に伝搬します ( k ₄ = − k ₃ )。これにより、効果の再帰反射特性が生じます。

さらに、屈折率nとビーム相互作用長lの媒質の場合、共役ビームの電場振幅は次のように近似できること が示される。

${\displaystyle E_{4}={\frac {i\omega l}{2nc}}\chi ^{(3)}E_{1}E_{2}E_{3}^{*},}$

ここでcは光速である。ポンプビームE ₁とE ₂が平面波（反対方向に伝播する波）である場合、

${\displaystyle E_{4}(\mathbf {x} )\propto E_{3}^{*}(\mathbf {x} ),}$

つまり、生成されたビーム振幅は信号ビーム振幅の複素共役です。振幅の虚数部にはビームの位相が含まれているため、この効果の位相特性が反転します。

信号ビームと共役ビームの比例定数は 1 より大きくなる可能性があることに注意してください。これは実質的に、反射係数が 100% を超えるミラーであり、増幅された反射を生成します。このための電力は、プロセスによって消耗される 2 つのポンプ ビームから供給されます。

共役波の周波数は信号波の周波数と異なる場合があります。ポンプ波の周波数が ω ₁ = ω ₂ = ω で、信号波の周波数がそれよりも高く ω ₃ = ω + Δω の場合、共役波の周波数は ω _{4 = ω − Δω になります。これは}周波数反転として知られています。

古典的なマクスウェル電磁力学では、位相共役ミラーはポインティングベクトルの反転を実行します。

${\displaystyle \mathbf {S} _{\text{out}}(\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {S} _{\text{in}}(\mathbf {r} ,t),}$

（「in」は入射場、「out」は反射場を意味します）ここで

${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t),}$

これは電磁場の線形運動量密度である。^[25] 同様に位相共役波は 入射場に対して反対の角運動量密度ベクトルを持つ。^[26]${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{out}}(\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {L} _{\text{in}}(\mathbf {r} ,t).}$

上記の恒等式は、理想的な位相共役ミラーの場合、局所的に、つまり特定の瞬間の各空間点において有効です。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$

量子電気力学では、エネルギーを持つ光子は線形運動量と角運動量も持ち、その伝搬軸への射影は、ここで は光子の位相電荷、または巻き数、は伝搬軸です。伝搬軸への角運動量の射影は離散値 を持ちます。 ${\displaystyle \hbar \omega }$${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {k} }$${\displaystyle L_{\mathbf {z} }=\pm \hbar \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \pm \hbar \ell }$

量子電気力学では、位相共役の解釈は古典電気力学に比べてはるかに簡単です。位相共役ミラーから反射された光子（出力）は、入射光子（入力）に対して線形運動量と角運動量の方向が反対になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{\text{out}}&=-\hbar \mathbf {k} =-\mathbf {P} _{\text{in}}=\hbar \mathbf {k} ,\\{L_{\mathbf {z} }}_{\text{out}}&=-\hbar \ell =-{L_{\mathbf {z} }}_{\text{in}}=\hbar \ell .\end{aligned}}}$

非線形カー媒体を透過する光場も、非線形媒体が空間的および時間的ノイズを増幅するため、パターン形成を示すことがある。この効果は光変調不安定性と呼ばれる。^[13]これは、光屈折系^[28]、光子格子^[29] 、および光反応系[30]の両方で観察されている。^{[31] [ 32 ] [33]}後者の場合、光学的非線形性は、反応によって引き起こされる屈折率の増加によってもたらされる。^{[34]パターン形成の例としては、}非線形シュレーディンガー方程式の枠組みにおける空間ソリトンや渦格子がある。^{[35] [36]}

非線形光学と材料の初期の研究は、無機固体に焦点を当てていました。非線形光学の発展に伴い、分子の光学特性が研究され、分子非線形光学が形成されました。^[37]過去に非線形性を高めるために使用された従来のアプローチには、クロモフォアπシステムの拡張、結合長の交代調整、分子内電荷移動の誘発、2Dでの共役の拡張、および多極電荷分布の設計が含まれます。最近では、ねじれたクロモフォア、豊富な状態密度と結合交代の組み合わせ、2次非線形性の微視的カスケードなど、非線形性と光操作の強化のための多くの新しい方向性が提案されています。分子非線形光学は、その際立った利点により、バイオイメージング、^{[38] [39]}光線療法、^[40]バイオセンシング、^[41]などを 含むバイオフォトニクス分野で広く使用されています。

バルク特性とミクロ特性を結びつける

分子非線形光学は、バルク物質の光学特性をその微視的分子特性と関連付ける。分極率がテイラー級数展開で記述できるのと同様に、誘起双極子モーメントを電場のべき乗で展開することができる。ここで、μは分極率、αは第1超分極率、βは第2超分極率、などである。^[42]${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {\mu _{0}}}+\alpha \cdot {\boldsymbol {\mathrm {E} }}+{\frac {1}{2}}\beta :{\boldsymbol {\mathrm {E} }}{\boldsymbol {\mathrm {E} }}}$

新しい非線形メディア

特定の分子材料は、ミクロレベルおよびバルクレベルで光学非線形性を最適化する能力を持っています。π結合中の電子の非局在化により、電子は印加された光場に対してより容易に反応し、単結合（𝜎）の場合よりも大きな線形および非線形光学応答を生成する傾向があります。これらのシステムでは、線形応答は共役πシステムの長さに比例しますが、非線形応答はさらに急速に比例します。^[43]

分子非線形光学の多くの応用の1つは、非線形バイオイメージングへの応用である。多光子発色団のようなこれらの非線形材料は、2光子分光法のバイオマーカーとして使用され、入射光強度がサンプルを通過する際の減衰は と表される。^[42]${\displaystyle {-dI \over dx}={N\delta I^{2} \over \hbar \omega }}$

ここで、N は単位体積あたりの粒子数、I は光の強度、δ は 2 光子吸収断面積です。結果として得られる信号は、基底状態と最終状態の双極子モーメントの差に比例する断面積を持つローレンツ線形をとります。

強いドナー-アクセプター特性を持つ同様の高度共役発色団は、双極子モーメントの大きな差のために使用されており、現在、非線形光学特性を高めるためにπ共役系を拡張する取り組みが行われている。^[37]

ポンプ波長順に並べると：

• 800 nm: BBO
• 806 nm:ヨウ素酸リチウム(LiIO ₃ )
• 860 nm:ニオブ酸カリウム(KNbO ₃ )
• 980 nm: KNbO ₃
• 1064 nm:リン酸一カリウム(KH ₂ PO ₄、KDP)、三ホウ酸リチウム(LBO)、β-ホウ酸バリウム(BBO)
• 1300 nm:セレン化ガリウム(GaSe)
• 1319 nm: KNbO ₃、BBO、KDP、リン酸チタンカリウム(KTP)、ニオブ酸リチウム(LiNbO ₃ )、LiIO ₃、リン酸二水素アンモニウム(ADP)
• 1550 nm: リン酸チタン酸カリウム (KTP)、ニオブ酸リチウム (LiNbO ₃ )

• ボルン・インフェルトモデル
• フィラメントの伝播
• カテゴリー:非線形光学材料

• レーザー物理学と技術の百科事典 2009-06-03 にWayback Machineでアーカイブ化され、非線形光学に関する内容を含む、Rüdiger Paschotta 著
• 位相共役の直感的な説明 2007-11-08 にWayback Machineでアーカイブ
• SNLO - 非線形光学設計ソフトウェア 2011-07-07 にWayback Machineにアーカイブされました
• ロバート・ボイドの全体会議プレゼンテーション: 量子非線形光学: 非線形光学と量子の世界の出会い 2016-03-17 にWayback MachineでアーカイブSPIE ニュースルーム
• ボイド、RW (2020)。非線形光学（第4版）。アカデミー。ISBN 978-0-12-811003-4。