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約分とは、部分式が等しく反対の効果を持つため、この除去によって式の意味や値が変わらない場合に、数式から部分式を取り除くために使用される数学的プロセスです。 [ 1 ]例えば、分子と分母の共通因数を約分することで、分数を既約分数にします。[ 2 ]別の例として、a × b = a × cの場合、 a ≠ 0であれば乗法項a を約分でき、等価な式b = cになります。これはaで割ることと同じです。
部分式が同一でない場合でも、部分的に打ち消し合うことができる場合があります。たとえば、単純な方程式 3 + 2 y = 8 yでは、両辺に 2 yが含まれています(8 yは 2 y + 6 yと同じであるため)。したがって、両辺の 2 yを打ち消すことができ、3 = 6 y、つまりy = 0.5 となります。これは、両辺から2 yを引くことと同じです。
場合によっては、約分によって方程式にわずかな変化が生じたり、追加の解が得られたりすることがあります。たとえば、不等式ab ≥ 3 bが与えられた場合、両辺のbを約分してa ≥ 3 を解とすることができるように見えます。しかし、このように「素朴に」約分すると、不等式を満たすすべての解（( a, b ) の集合）が得られません。これは、 b が負の数の場合、負の数で割ると ≥ 関係が ≤ 関係に変わってしまうためです。たとえば、2 は 1 より大きいですが、-2 は-1より小さくなります。また、bがゼロの場合、ゼロに何を掛けてもゼロになるため、約分するとゼロで割ることになり、これはできません。したがって、実際には約分は機能しますが、正しく約分すると、私たちが考えていた 1 つの解だけでなく、 3 つの解の集合が得られます。また、私たちの「素朴に」解は、すべての場合ではなく、一部の場合にのみ解となることもわかります。
したがって、約分が正しく行われ、解が見落とされたり、誤っていたりしないように注意する必要があるかもしれません。この単純な不等式には、次の3 つの解があります。
私たちの「素朴な」解（a ≥ 3）も、場合によっては間違っていることがあります。例えば、b = –5 の場合、4 ≥ 3 であってもa = 4 は解ではありません。なぜなら、4 × (–5) は –20 であり、3 × (–5) は –15 であり、–20 は –15 以上ではないからです。
より高度な数学では、項の打ち消しは無限級数の文脈で用いられることがあり、その項を打ち消すことで有限和または収束級数を得ることができます。この場合、「テレスコープ法」という用語がよく使われます。このような級数の性質上、修正された方程式が有効であることを保証したり、有効となる範囲を定めたりするためには、細心の注意と誤りの防止が必要となることがよくあります。