岩沢分解

数学において、半単純リー群の岩沢分解（表現からKANとも呼ばれる）は、実正方行列を直交行列と上三角行列の積として表す方法を一般化したものである（QR分解、グラム・シュミット直交化の結果）。この方法を開発した日本の数学者岩沢健吉にちなんで名付けられました。^[1]

• Gは連結な半単純実リー群である。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$はGのリー代数である
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は の複素化 です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• θはカルタン反転である${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}}$対応するカルタン分解である
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$は、${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$
• Σ は の制限根の集合であり、に作用するの固有値に対応します。${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Σ ^{+ は}Σの正の根の選択である
• ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$^{は、Σ +}のルート空間の和として与えられるべき零リー代数である。
• K、A、Nは、およびによって生成されるGのリー部分群です。${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0}、{\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$

すると、の岩澤分解は ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus {\mathfrak {n}}_{ 0}}$

そしてGの岩澤分解は

${\displaystyle G=KAN}$

つまり、多様体 からリー群 への解析微分同相写像（群準同型ではない）が存在し、 が送られます。 ${\displaystyle K\times A\times N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (k,a,n)\mapsto kan}$

Aの次元（または同等の の次元）は、 Gの実数階数に等しい。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

岩澤分解は、いくつかの不連続な半単純群Gに対しても成り立ち、ここで、Gの中心が有限であれば、K は（不連続な）最大コンパクト部分群となる。

制限ルート空間分解は

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {m}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus _{\lambda \in \Sigma }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

ここで は の中心化であり、はルート空間です。この数は の重複度と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\forall H\in {\mathfrak {a}}_{0}\}}$${\displaystyle m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda}$

G = SL _n ( R )の場合、K を直交行列、A を行列式 1 を持つ正の対角行列、N を対角線上に 1 を持つ上三角行列からなる単零群とすることができます。

n = 2の場合、 G = SL (2, R )の岩沢分解は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL( 2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

シンプレクティック群 G = Sp (2 n , R )に対して、可能な岩澤分解は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {K} =Sp(2n,\mathbb {R} )\cap SO(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ A+iB\in U(n)\right\}\cong U(n),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ D{\text{ 正、対角}}\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}N&M\\0&N^{-T}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ N{\text{ 対角要素を持つ上三角行列 = 1}},\ NM^{T}=MN^{T}\right\}.}$

非アルキメデス体 に対する上記の岩澤分解に類似したものが存在する。この場合、群は上三角行列の部分群と（最大コンパクト）部分群の積として表すことができ、ここで はの整数環である。^[2]${\displaystyle F}$${\displaystyle GL_{n}(F)}$${\displaystyle GL_{n}(O_{F})}$${\displaystyle O_{F}}$${\displaystyle F}$

• リー群分解
• 半単純リー代数のルート系

• Fedenko, AS; Shtern, AI (2001) [1994]、「岩澤分解」、数学百科事典、EMS Press
• Knapp, AW (2002)。リー群入門（第2版）。ISBN 9780817642594。