複数の実変数の関数

数学的解析とその応用において、複数の実変数の関数または実多変数関数とは、複数の引数を持ち、すべての引数が実変数である関数のことです。この概念は、実変数の関数の考え方を複数の変数に拡張したものです。「入力」変数は実数値を取り、「出力」は「関数の値」とも呼ばれ、実数値または複素数値になります。ただし、複素数値関数の研究は、複素関数の実部と虚部を考慮することで、簡単に実数値関数の研究に還元できます。したがって、明示的に指定されない限り、この記事では実数値関数のみを検討します。

$n$ 変数の関数の定義域は、その関数が定義されている⁠ ⁠のサブセットです。通常どおり、複数の実変数の関数の定義域には、 ⁠ ⁠の空でない開集合が含まれると想定されます。 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

一般的な定義

n

変数の関数

f (x 1, x 2, \dots, x n)

を、空間

R

n

+ 1

にグラフとしてプロットします。ドメインは赤色の

n

次元領域で、イメージは紫色の

n

次元曲線です。

$n 個$ の実変数の実数値関数は、 $n$ 個の実数（一般に変数 $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、\dots、$ $x$ $n$ で表される）を入力として受け取り、別の実数（一般に $f$ $($ $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、\dots、$ $x$ $n$ $)$ と表記される関数の値）を生成する関数です。簡単にするために、この記事では、複数の実変数の実数値関数を単に関数と呼びます。あいまいさを避けるため、発生する可能性のある他のタイプの関数は明示的に指定します。

いくつかの関数は変数のすべての実数値に対して定義されます（どこでも定義されていると言われています）。しかし、他のいくつかの関数は、変数の値が関数の定義域である $R$ $n$ の部分集合 $Xに含まれる場合にのみ定義されます。この部分集合には、常に$ $R$ $n$ の開集合が含まれていると想定されています。言い換えると、 $n 個$ の実変数の実数値関数は関数です。

f:X\to \mathbb {R}

その定義域 $X は$ 空でない開集合を含む $R n$ の部分集合である。

$X$ の要素はn 組 $($ x $1$ $,$ $x$ $2$ $,$ $\dots$ $,$ $x$ $n$ $)$ (通常は括弧で区切られる)であり、関数を表す一般的な表記法は $f$ $(($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $))$ です。集合間の関数の一般的な定義よりずっと古い一般的な用法では、二重括弧を使わず、単に $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ と書きます。

また、 $n$ 組 $(x 1 、 x 2 、\dots、 x n)$ を、太字の $x$ 、下線付きの $x$ 、上矢印の $x$ $\to$ などのベクトルの表記法に似た表記法で省略することもよくあります。この記事では太字を使用します。

2 つの変数を持つ関数の簡単な例は次のようになります。

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

これは、底面積が $A$ で高さが $h$ の円錐の体積 $V を$ 底から垂直に測ったものです。長さと面積は必ず正の値になるので、定義域ではすべての変数が正の値になるよう制限されます。

2 つの変数を持つ関数の例:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

ここで、 $a$ と $b は$ 実数でゼロでない定数です。3次元直交座標系（xy平面がドメイン $R 2$ 、z 軸が共ドメイン $R ）$ を使用すると、正の x 方向に $a$ の傾き、正の y 方向に $b$ の傾きを持つ 2 次元平面として画像を視覚化できます。関数は、 $R$ $2$ のすべてのポイント $($ $x$ $、$ $y$ $)$ で明確に定義されます。前の例は、高次元に簡単に拡張できます。

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

$p 個の$ 非ゼロ実定数 $a 1 、 a 2 、\dots、 a p$ に対して、 $p$ 次元超平面を記述します。

ユークリッドノルム:

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

はn個の変数の関数であり、どこでも定義されるが、

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

$はx \neq(0, 0, \dots, 0)$ の場合にのみ定義されます。

2 つの変数を持つ非線形の例関数の場合:

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

これは、平面 $R$ $2$ の原点 $($ $x$ $,$ $y$ $) = (0, 0)$ で「穴が開けられた」半径 $\sqrt$ $8$ の円板 $X$ 内のすべての点を取り込み、 $R$ 内の点を返します。この関数には原点 $($ $x$ $,$ $y$ $) = (0, 0)$ は含まれません。含まれていると、その点で $f が$ 定義できなくなります。 xy平面をドメイン $R$ $2$ とし、 z 軸を共ドメイン $R$ とする 3D 直交座標系を使用すると、画像を曲面として視覚化できます。

$この関数は、$ $X$ の点 $(x, y)=(2, \sqrt3)$ で評価できる。

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

しかし、この関数は、例えば

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

$x$ と $y$ のこれらの値はドメインのルールを満たしていないためです。

画像

関数 $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ の像は、 $n$ 組 $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)が$ $f$ の定義域全体で実行されるときの $f$ のすべての値の集合です。連結された定義域を持つ連続 (定義については下記を参照) 実数値関数の場合、像は区間または単一の値のいずれかです。後者の場合、関数は定数関数です。

与えられた実数 $c$ の逆像はレベルセットと呼ばれます。これは方程式 $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $) =$ $c$ の解の集合です。

ドメイン

複数の実変数を持つ関数の定義域は $R n$ のサブセットであり、明示的に定義されることもありますが、常にそうであるとは限りません。実際、関数 $fの定義域$ $X$ をサブセット $Y$ $\subset$ $X$ に制限すると、形式的には別の関数、つまり $fの$ $Y$ への制限が得られ、これはと表記されます。実際には、 $f$ とを同一視し、制限子 $|$ $Y を$ 省略しても害がない場合がよくあります (常にそうであるとは限りません) 。 $f|_{Y}$ $f|_{Y}$

逆に、連続性や解析接続などによって、与えられた関数の定義域を自然に拡大できる場合もあります。

さらに、多くの関数は、定義域を明示的に指定することが難しいような方法で定義されています。たとえば、関数 $f$ が与えられた場合、関数の定義域を指定することが難しい場合があります。 $f が$ 多変数多項式（定義域としてを持つ）である場合、 $g$ の定義域もであるかどうかをテストすることさえ困難です。これは、多項式が常に正であるかどうかをテストすることと同等であり、活発な研究分野の対象です（正の多項式を参照）。 $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

代数構造

実数に対する通常の算術演算は、次のようにして複数の実変数の実数値関数に拡張できます。

あらゆる実数 $r$ に対して、定数関数はどこでも定義されます。 $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$
すべての実数 $r$ とすべての関数 $f$ に対して、関数: は $f$ と同じ定義域を持ちます(または $r$ $= 0$ の場合はどこでも定義されます)。 $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$
$f$ と $g がそれぞれ$ $X$ と $Y の$ 領域を持つ 2 つの関数で、 $X \cap Yが$ $R n$ の空でない開集合を含む場合、およびは $X$ $\cap$ $Y$ を含む領域を持つ関数です。 $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

$したがって、どこでも定義されているn$ 変数の関数と、特定の点の近傍で定義されている $n$ 変数の関数は、どちらも実数 ( $R$ 代数) 上の可換代数を形成します。これは関数空間の典型的な例です。

同様に定義すると

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

$これは、 f$ $(x 1, \dots, x n)$ $\neq 0$ となるような $f$ の定義域内の点 $($ $x$ $1$ $, \dots,$ $x$ $n$ $) の集合がR$ $n$ の開集合を含む場合にのみ関数となる。この制約は、上記の 2 つの代数が体ではないことを意味する。

多変数関数に関連付けられた単変数関数

1つの実変数を除くすべての変数に定数を与えることで、1つの実変数の関数を簡単に得ることができます。たとえば、 $(a 1 、\dots、 a n)$ が関数 $f$ の定義域の内部の点である場合、 $x$ $2$ $、\dots、$ $x$ $n$ の値をそれぞれ $a$ $2$ $、\dots、$ $a$ $n$ に固定すると、単変数関数が得られます。

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

$その定義域にはa 1$ を中心とする区間が含まれます。この関数は、関数 $fを、$ $i$ $= 2, \dots,$ $n$ に対して $x i = a i$ という方程式で定義される直線に制限したものと見ることもできます。

$他の単変数関数は、 fを$ $(a 1, \dots, a n)$ を通る任意の直線に制限することで定義できます。これらは関数です。

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

ここで、 $c i は$ すべてがゼロではない実数です。

次のセクションでは、多変数関数が連続的である場合、これらすべての単変数関数も連続的であるが、その逆は必ずしも真ではないことを示します。

継続と限界

19 世紀後半まで、数学者は連続関数のみを検討していました。当時、位相空間と位相空間間の連続写像の正式な定義よりかなり前に、1 つまたは複数の実変数の関数に対して連続性の概念が詳しく説明されていました。複数の実変数の連続関数は数学のいたるところにあるため、位相空間間の連続写像の一般的な概念を参照せずにこの概念を定義することは価値があります。

$連続性を定義するには、 2$ $n 個の$ 実変数のどこでも定義される関数である $R$ $n$ の距離関数を考慮すると便利です。

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

関数 $f が$ その定義域の内部にある点 $a$ $= ($ $a$ $1$ $, \dots,$ $a$ $n$ $)で$ 連続であるとは、すべての正の実数 $εに対して、$ $d$ $($ $x$ $a$ $) <$ $φ$ となるすべての $x$ $に対して|$ $f$ $($ $x$ $) -$ $f$ $($ $a$ $)| <$ $ε$ となる正の実数 $φ$ が存在する場合である。言い換えると、 $φ は、$ $a$ を中心とする半径 $φ$ の球の $fによる像が、$ $f$ $($ $a$ $)$ を中心とする長さ $2$ $ε$ の区間に含まれるように十分小さく選ばれる。関数が連続であるとは、定義域のすべての点で連続する場合である。

関数が $f (a)$ で連続している場合、 1 つの変数を除くすべての変数 $x i を$ 値 $a i$ $に固定することによって得られるすべての単変数関数は、 f (a)$ で連続しています。逆は偽です。つまり、これらのすべての単変数関数は、 $f (a)で連続していない関数に対して連続である可能性があります。例として、$ $f$ $(0, 0) = 0$ となる関数 $f を$ 考えます。それ以外の場合は次のように定義されます。

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

関数 $x \mapsto f (x, 0)$ と $y \mapsto f (0, y)$ はどちらも定数でゼロに等しいため連続です。関数 $f は$ $(0, 0)$ で連続ではありません。なぜなら、 $ε < 1/2$ かつ $y = x 2 \neq 0$ の場合、 $|$ $x$ $|$ が非常に小さい場合でも $f (x, y) = 1/2となるからです。連続ではありませんが、この関数には、$ $(0, 0)$ を通る直線に制限することによって得られるすべての一変数関数も連続であるというさらなる特性があります。実際、

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

$λ \neq0の$ 場合。

複数の実変数を持つ実数値関数の点における極限は次のように定義される。[ 1 ^] $a = (a 1, a 2, \dots, a n)$ を関数 $f$ の定義域 $X$ の位相閉包内の点とする。関数 $fは、$ $x が$ $a$ に向かうときに極限 $L を$ 持ち、これは次のように表される。

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

次の条件が満たされる場合: 任意の正の実数 $ε > 0$ に対して、正の実数 $δ > 0$ が存在し、

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

定義域内のすべての $x$ に対して、

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

極限が存在する場合、それは一意です。 $a が$ ドメインの内部にある場合、関数が $a$ で連続である場合にのみ極限が存在します。この場合、

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

$a$ $がf$ の定義域の境界内にあり、f が a で極限を持つ場合 $、$ $後者$ の式により $fの定義域を$ $a$ まで「連続的に拡張」することができます。

対称

対称関数とは、2 つの変数 $x$ $i$ と $x$ $j$ を交換しても変化しない関数 $f$ です。

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

ここで、 $i$ と $j は$ $それぞれ1、2、\dots、 n$ のいずれかです。例:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

$はx 、 y 、 z$ に関して対称です。これは、 $x 、 y 、 z$ の任意のペアを入れ替えても $f は$ 変化しないからです。しかし、 $t を$ $x$ または $y$ または $z$ と入れ替えると異なる関数になるので、 $x 、 y 、 z 、 t$ のすべてに関して対称ではありません。

関数合成

関数が

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

またはより簡潔に言えば $ξ = ξ (x)$ はすべてドメイン $X$ 上で定義されます。n $組$ x $= (x 1, x 2, \dots, x n)が$ $R$ $n$ のサブセットである $X$ 内で変化するのと同様に、 $m$ 組 $ξ$ $= ($ $ξ$ $1$ $,$ $ξ$ $2$ $, \dots,$ $ξ$ $m$ $)は別の領域 Ξ、$ $つまり$ $R$ $m$ のサブセット内で変化します。これを言い換えると、

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

$次に、 Ξ$ 上で定義された関数 $ξ$ $($ $x$ $)$ のうちの関数 $ζ は$ 、

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}

$はX$ 上で定義された関数合成であり、^[2]言い換えれば写像

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

$m$ と $n$ の数値は必ずしも等しくなくてもよいことに注意してください。

例えば、関数

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

$R 2$ 上のどこでも定義されるは、

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

これは $R 3$ のどこでも定義されており、

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

関数合成は関数を簡略化するために使用することができ、多重積分を実行したり偏微分方程式を解いたりするのに役立ちます。

微積分

初等微積分学は、1 つの実変数の実数値関数の微積分学であり、そのような関数の微分と積分の主要な考え方は、複数の実変数の関数に拡張できます。この拡張が多変数微積分学です。

偏微分

偏微分は各変数に関して定義できます。

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

偏微分自体は関数であり、それぞれが $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、\dots、$ $x$ $n$ 軸のいずれかに平行な $f$ の変化率を、定義域内のすべての点で表します (微分が存在し、連続している場合。以下も参照)。 1 次微分は、関数が関連する軸の方向に沿って増加する場合は正、減少する場合は負、増加も減少もない場合は 0 です。定義域内の特定の点で偏微分を評価すると、特定の軸に平行な方向のその点での関数の変化率 (実数) が得られます。

実変数の実数値関数 $y = f (x)$ の場合、その常微分 $dy / dx は、幾何学的には、領域内のすべての点における曲線$ $y = f (x)$ の接線の勾配です。偏微分は、この考え方を曲線の接超平面に拡張します。

2 次偏導関数は、変数のペアごとに計算できます。

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

幾何学的には、これらはドメイン内のすべての点における関数の像の局所曲率に関連しています。関数が明確に定義されている任意の点では、関数はいくつかの軸に沿って増加したり、他の軸に沿って減少したり、他の軸に沿ってまったく増加または減少しなかったりする可能性があります。

これにより、さまざまな定常点（大域的または局所的最大値、大域的または局所的最小値、および鞍点（ 1 つの実変数の実関数の変曲点の多次元類似体））が考えられます。ヘッセ行列は、すべての 2 次偏導関数の行列であり、関数の定常点を調査するために使用されます。これは、数学的最適化にとって重要です。

一般に、高次の $p$ の偏微分は次の形式になります。

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

ここで、 $p 1 、 p 2 、\dots、 p n は$ $それぞれ0$ から $p$ までの整数で、 $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ となります。0次偏微分の定義を恒等演算子として使用します。

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

可能な偏微分数は $p$ とともに増加しますが、 2 次偏微分は対称性があるため、一部の混合偏微分（複数の変数に関するもの）は不要です。これにより、いくつかの $p$ に対して計算する偏微分数が削減されます。

多変数微分可能性

関数 $f (x)$ $が点$ $a$ の近傍で微分可能であるとは、一般に $aに依存するn組の数A(a)=(A1$ $($ a $)$ $,$ $A2$ $($ $a$ $)$ $,$ $\dots$ $,$ $An$ $($ $a$ $)$ $)$ $が$ $存在$ $する$ $とき$ であり、次のようになる。^[3]

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

ここでです。これは、 $f が$ 点 $a$ で微分可能であれば、 $f は$ $x$ $=$ $a$ で連続であることを意味します。ただし、その逆は真ではありません。つまり、領域で連続であることは、領域で微分可能であることを意味しません。 $fが$ $a$ で微分可能である場合、 $a$ で 1 次偏導関数が存在し、次のようになります。 $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

$i = 1, 2, \dots, n$ の場合、これは個々の偏微分の定義からわかるので、 $f$ の偏微分は存在します。

直交座標系の $n$ 次元類似体を想定すると、これらの偏導関数を使用して、この座標系で勾配(「ナブラ」または「デル」とも呼ばれる)と呼ばれるベクトル線形微分演算子を形成できます。

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

ベクトル計算では、他の微分演算子を構築したり、ベクトル計算の定理を簡潔に定式化したりするのに便利なため、広く使用されています。

次に、勾配 $\nabla f$ ( $x = a で評価)$ を少し並べ替えて代入すると、次のようになります。

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

ここで、 $\cdot は$ ドット積を表します。この式は、 $a$ の近傍内のすべての点 $x$ $における関数f$ の最良の線形近似を表します。x $\to$ $a$ $の$ ときの $f$ と $x$ の微小変化については、次のようになります。

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

$これは、 a$ における $f$ の全微分、または単に微分として定義されます。この式は、すべての $x$ $i$ $方向におけるf$ のすべての微小変化を加算することにより、 $f$ の全微小変化に対応します。また、 $df は$ 、各方向の微小 $dx$ $i を$ 基底ベクトルとし、 $f$ の偏微分を成分とする共ベクトルとして解釈できます。

幾何学的には、 $\nabla f は$ $f$ の準位集合に垂直であり、 $f (x) = c$ で与えられ、これはある定数 $c$ $に対して(n - 1)$ 次元の超曲面を記述する。定数の微分はゼロである。

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

ここで $d x は$ 超曲面 $f$ $($ $x$ $) =$ $cにおける$ $x$ の微小変化であり、 $\nabla$ $f$ と $d$ $x$ のドット積はゼロなので、 $\nabla$ $f は$ $d$ $x$ に垂直であることを意味します。

$n$ 次元の任意の曲線座標系では、勾配の明示的な表現はそれほど単純ではありません。その座標系の計量テンソルに関するスケール係数が存在することになります。この記事で使用されている上記のケースでは、計量はクロネッカーデルタのみであり、スケール係数はすべて 1 です。

微分可能性クラス

領域内の点 $a$ で評価されるすべての 1 次偏微分の場合:

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

が存在し、定義域内のすべての $a$ に対して連続である場合、 $f は$ 微分可能性クラス $C 1$ を持ちます。一般に、すべての $p$ 次偏微分を点 $a$ で評価すると、

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

存在し連続であり、 $p 1 、 p 2 、\dots、 p n$ 、 $p$ が上記の通りで、領域内のすべての $a$ に対して、 $f は領域全体で$ $p の$ 位数まで微分可能であり、微分可能性クラス $C p を$ 持ちます。

$f が$ 微分可能性クラス $C \infty$ である場合、 $f は$ すべての次数の連続偏導関数を持ち、滑らかであると呼ばれます。 $f が$ 解析関数であり、領域内の任意の点についてのテイラー級数に等しい場合、表記 $C ω は$ この微分可能性クラスを表します。

複数の統合

定積分は、次の表記法を使用して、複数の実変数に対する多重積分に拡張できます。

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

ここで、各領域 $R 1 、 R 2 、\dots、 R n は$ 実数直線のサブセットまたは全体です。

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

そしてそれらの直積は、単一の集合として積分する領域を与える。

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

n $次元$ の超体積。評価すると、積分が積分領域 $R$ に収束する場合、定積分は実数になります(定積分の結果は、特定の領域で無限大に発散することがあり、そのような場合、積分は不明確なままになります)。変数は、積分プロセスで数値に置き換えられる「ダミー」または「境界」変数として扱われます。

実数値関数 $y = f (x)の$ $x$ に関する積分は、曲線 $y = f ( x ) と x 軸で囲まれた領域として幾何学的に解釈されます。多重積分はこの概念の次元を拡張します。直交座標系の n 次元類似体を想定すると、上記の定積分は、 f (x)$ と $x$ 1 、 $x$ 2 $、$ $\dots$ $、$ $x$ n $軸$ $で$ $囲ま$ $れ$ $た$ $n$ $次元$ $の$ 超体積 $として$ 幾何学的に解釈されます。これらの軸は、積分される関数 (積分が収束する場合) に応じて、正、負、またはゼロになることがあります。

有界超体積は有用な洞察ですが、定積分のより重要な概念は、定積分が空間内の総量を表すという点です。これは応用数学と物理学において重要です。 $f$ が何らかのスカラー密度場であり、 $x が$ 位置ベクトル座標、つまり単位n次元超体積あたりの何らかのスカラー量である場合、領域 $R上で積分すると、$ $R$ 内の総量が得られます。超体積のより正式な概念は、測度論の主題です。上記ではルベーグ測度を使用しましたが、このトピックの詳細については、ルベーグ積分を参照してください。

定理

多重積分と偏微分の定義により、複数の実変数における微積分の基本定理（すなわちストークスの定理）、複数の実変数における部分積分、高次偏微分の対称性、多変数関数のテイラーの定理を含む重要な定理を定式化できます。積分と偏微分が混在したものを評価するには、積分記号の下での定理の微分を使用します。

ベクトル計算

複数の実変数それぞれに対応する関数をいくつか集めることができる。例えば、

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

$m$ タプルに、または列ベクトルまたは行ベクトルとしてそれぞれ変換されます。

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

$これらすべてはm$ 成分のベクトル場と同じ土俵で扱われ、都合のよい形式が使われます。上記の表記はすべて、 $y = f (x)$ という共通の簡潔な表記を持ちます。このようなベクトル場の計算はベクトル計算です。多変数関数の行ベクトルと列ベクトルの扱い方については、行列計算を参照してください。

暗黙的な関数

複数の実変数の実数値暗黙関数は、「 $y = f (\dots)$ 」という形式では記述されません。代わりに、空間 $R n + 1から$ $R$ のゼロ元(通常のゼロ 0) へのマッピングが行われます。

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}

はすべての変数の方程式です。暗黙関数は関数を表現するより一般的な方法です。

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

すると、常に次のように定義できます。

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

しかし、その逆は常に可能であるとは限らず、つまり、すべての暗黙的な関数が明示的な形式を持つわけではありません。

例えば、区間表記法を使うと、

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

3 次元 (3D) 直交座標系を選択すると、この関数は、原点 ( x 、 y 、 z ) = (0、0、0) を中心とし、それぞれ正の x 、 y 、 z 軸に沿った一定の半長径a、 $b 、 c を持つ 3D 楕円$ 体の表面を記述します $。$ $a$ $=$ $b$ $=$ c $=$ $r$ $の$ $場合$ $、$ $原点$ $を$ 中心とする半径 $r$ の球体になります。同様に記述できる他の円錐断面の例には、双曲面と放物面があり、より一般的には、3D ユークリッド空間の任意の 2D 表面も同様に記述できます。上記の例は、 $x$ 、 $y$ 、または $z$ について解くことができますが、暗黙の形式で記述する方がはるかに簡潔です。

より洗練された例:

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

非ゼロの実定数 $A 、 B 、 C 、 ω$ $の場合、この関数はすべての(t 、 x 、 y 、 z)$ に対して明確に定義されますが、これらの変数に対して明示的に解くことはできず、「 $t =$ 」、「 $x =$ 」などと表記されます。

2つ以上の実変数の暗黙関数定理は、関数の連続性と微分可能性を次のように扱います。 ^[4] $ϕ (x 1, x 2, \dots, x n)$ を連続的な1次偏微分を持つ連続関数とし、点 $($ $a$ $,$ $b$ $) = ($ $a$ $1$ $,$ $a$ $2$ $, \dots,$ $a$ $n$ $,$ $b$ $)で評価した$ ϕ をゼロとします。

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

$そして、 ($ $a$ $,$ $b$ $)$ における $ϕの$ $y$ に関する第1偏微分がゼロでないとします。

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

$すると、 b$ を含む区間 $[y 1, y 2]と$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ を含む領域 $Rが存在し、$ $R$ のすべての $x$ に対して、 $ϕ$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0 を$ 満たす $[$ $y$ $1$ $,$ $y$ $2$ $]$ の $y$ の値が 1 つだけ存在し、 $y は$ $x$ の連続関数であるため $ϕ$ $($ $x$ $,$ $y$ $($ $x$ $)) = 0$ となります。関数の全微分は次のようになります。

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

$dyを$ 後者の微分に代入し、微分係数を等しくすると、元の関数の微分に関して $yの$ $x i$ に関する1次偏微分が得られ、それぞれ線形方程式の解として表される。

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

$i = 1, 2, \dots, n の$ 場合。

複数の実変数の複素数値関数

実数値関数の定義において、実数へのコドメインの制限を緩和し、複素数値を許可することによって、複数の実変数の複素数値関数を定義できます。

$f (x 1, \dots, x n)$ がそのような複素数値関数である場合、次のように分解できる。

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

ここで、 $g$ と $h は$ 実数値関数です。言い換えれば、複素数値関数の研究は、実数値関数のペアの研究に簡単に帰着します。

この簡約は一般的な特性には有効です。ただし、明示的に与えられた次のような関数の場合:

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

実数部と虚数部の計算は難しいかもしれません。

アプリケーション

実変数の多変数関数は、観測可能な物理量が実数（関連する単位と次元を持つ）であり、どの物理量も一般に他の多くの量に依存するため、工学や物理学では必然的に生じます。

複数の実変数を持つ実数値関数の例

連続体力学の例には、質量分布の局所質量密度 $ρ 、空間位置座標（ここでは例として直交座標）、$ $r$ $= ($ $x$ $、$ $y$ $、$ $z$ $)$ 、および時間 $t$ に依存するスカラー場が含まれます。

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

電荷を帯びた物体の電荷密度や、その他多数のスカラーポテンシャル場についても同様です。

もう 1 つの例は、ベクトル場である速度場です。速度場には、同様に空間座標と時間の多変数関数である速度 $v$ $= ($ $v$ $x$ $、$ $v$ $y$ $、$ $v$ $z$ $)$ の成分があります。

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

電場や磁場、ベクトルポテンシャル場などの他の物理的なベクトル場についても同様です。

もう一つの重要な例は、熱力学における状態方程式です。これは、流体の圧力 $P$ 、温度 $T$ 、および体積 $V を$ 関連付ける方程式で、一般に次の暗黙的な形式を持ちます。

f(P,V,T)=0

最も単純な例は理想気体の法則です。

f(P,V,T)=PV-nRT=0

ここで、 $n$ はモル数（物質の量が一定であれば一定）、 $R は$ 気体定数です。より複雑な状態方程式が経験的に導かれていますが、それらはすべて上記の暗黙的な形式を持ちます。

複数の実変数の実数値関数は、経済学に広く登場する。消費者理論の基礎では、効用は消費される様々な財の量の関数として表現され、各量は効用関数の引数となる。効用を最大化すると、一連の需要関数が得られる。各関数は、特定の財の需要量を、様々な財の価格と所得または富の関数として表す。生産者理論では、企業は通常、生産される様々な財の量と使用される様々な生産要素の量の関数として利益を最大化するものと想定される。最適化の結果は、様々な生産要素に対する一連の需要関数と、様々な製品に対する一連の供給関数であり、これらの関数はそれぞれ、財の価格と生産要素の価格を引数として持つ。

複数の実変数を持つ複素数値関数の例

いくつかの「物理量」は、実際には複素数値である場合があります。たとえば、複素インピーダンス、複素誘電率、複素透磁率、複素屈折率などです。これらは、周波数や時間、温度などの実変数の関数でもあります。

2次元流体力学、特に2次元の流体運動を記述するために使用されるポテンシャル流の理論では、複素ポテンシャル

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

$は、2 つの空間座標x$ と $y$ 、およびシステムに関連付けられたその他の実変数の複素数値関数です。実部は速度ポテンシャルで、虚部は流れ関数です。

球面調和関数は、物理学や工学において、ラプラス方程式の解として、また実数値の球面極角の複素数値関数であるz成分角運動量演算子の固有関数として現れます。

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

量子力学では、波動関数は必然的に複素数値であるが、実空間座標（または運動量成分）と時間 $t$ の関数である。

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

ここで、それぞれはフーリエ変換によって関連付けられます。

参照

参考文献

^ R. クーラント。微分積分学。第2巻。ワイリークラシックスライブラリー。pp. 46–47。ISBN 0-471-60840-8。
^ R. クーラント。微分積分学。第2巻。ワイリークラシックスライブラリー。p. 70。ISBN 0-471-60840-8。
^ W. Fulks (1978).上級微積分学. John Wiley & Sons. pp. 300–302. ISBN 0-471-02195-4。
^ R. クーラント。微分積分学。第2巻。ワイリークラシックスライブラリー。pp. 117–118。ISBN 0-471-60840-8。

F. エアーズ、E. メンデルソン (2009)。微積分学。シャウムのアウトラインシリーズ (第 5 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-150861-2。
R. Wrede、MR Spiegel (2010)。上級微積分学。Schaum のアウトラインシリーズ (第 3 版)。McGraw Hill。ISBN 978-0-07-162366-7。
WF Hughes、JA Brighton (1999)。流体力学。Schaum のアウトラインシリーズ (第 3 版)。McGraw Hill。p. 160。ISBN 978-0-07-031118-3。
R. ペンローズ (2005)。『現実への道』。ヴィンテージ本。ISBN 978-00994-40680。
S. Dineen ( 2001)。多変量微積分と幾何学。Springer 学部数学シリーズ (第 2 版)。Springer。ISBN 185-233-472-X。
N. ブルバキ (2004)。実変数の関数: 初等理論。シュプリンガー。ISBN 354-065-340-6。
MA Moskowitz、F. Paliogiannis (2011)。複数の実変数の関数。World Scientific。ISBN 978-981-429-927-5。
W. フレミング ( 1977 )。多変数関数。学部生向け数学テキスト(第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-902-066。

[1] R. クーラント。微分積分学。第2巻。ワイリークラシックスライブラリー。pp. 46–47。ISBN 0-471-60840-8。

[2] R. クーラント。微分積分学。第2巻。ワイリークラシックスライブラリー。p. 70。ISBN 0-471-60840-8。

[3] W. Fulks (1978).上級微積分学. John Wiley & Sons. pp. 300–302. ISBN 0-471-02195-4。

[4] R. クーラント。微分積分学。第2巻。ワイリークラシックスライブラリー。pp. 117–118。ISBN 0-471-60840-8。