任意に大きい

数学では、任意に大きい、任意に小さい、任意に長いという語句は、それぞれ、オブジェクトがほとんど制限や制約なく大きい、小さい、または長いという事実を明確にするための文で使用されます。「任意に」という語句は、実数（およびそのサブセット）の文脈でよく使用されますが、その意味は「十分に」や「無限に」とは異なる場合があります。

声明

「 は、任意の大きさに対して非負です。」${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

は次の略語です:

「すべての実数 に対して、より大きいの値があれば は非負になります。」${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

一般的な用語では、「任意に長い」という用語は、数列の文脈でよく使用されます。たとえば、「任意に長い素数の等差数列」があると言うことは、無限に長い素数の等差数列が存在する（存在しない）ことを意味するわけではなく、また、ある意味で「任意に長い」特定の素数の等差数列が存在することを意味するわけでもありません。むしろ、このフレーズは、数がどれだけ大きくても、少なくとも長さの素数の等差数列が存在するという事実を指すために使用されます。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

任意に大きい場合と同様に、「任意に小さい実数に対して成立する」というフレーズも次のように定義できます。 ^[2]${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R} :|x|<\epsilon \land P(x)}$

言い換えると：

どんなに小さな数であっても、それより小さい数が存在し、それが成り立ちます。${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x)}$

似ていますが、「任意に大きい」は「十分に大きい」と同じではありません。たとえば、素数は任意に大きくなる可能性があるのは事実ですが (ユークリッドの定理により素数は無限に存在するため)、十分に大きい数はすべて素数であるというのは事実ではありません。

別の例として、「 は、任意の大きさに対して非負である。」という文は、次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}x>n\land f(x)\geq 0}$

ただし、「十分に大きい」を使用すると、同じフレーズは次のようになります。

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0} となる。$

さらに、「任意に大きい」ということは、「無限に大きい」ということも意味しません。たとえば、素数は任意に大きくなる可能性がありますが、すべての素数 (および他のすべての整数) は有限であるため、無限に大きい素数は存在しません。

場合によっては、「命題は任意に大きな に対して真である」などのフレーズが、主に強調の目的で使用されます。たとえば、「がどんなに大きくても、はすべてに真である」などです。このような場合、「任意に大きな」というフレーズは、上記で示した意味（つまり、「数がどんなに大きくても、が依然として成り立つより大きな数が存在する」^[3]）を持ちません。代わりに、この場合の使用法は、実際には「すべて」と論理的に同義です。 ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x)}$

• 十分な大きさ
• 数学用語