独自性の定量化

数学と論理学において、「一意性」という用語は、ある条件を満たす唯一の対象であるという性質を指します。^{[ 1 ]}この種の量化は、一意性量化または一意存在量化として知られており、しばしば「 ∃ !」^{[ 2 ]}または「∃ ₌₁ 」という記号で表されます。これは、与えられた性質を持つ対象が存在し、この性質を持つすべての対象が等しいことを意味すると定義されます。

例えば、正式な声明

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

「自然数はちょうど1つ存在する」と読むことができる。${\displaystyle n}$そのため、${\displaystyle n-2=4}$⁠ "。

オブジェクトの一意な存在を証明する最も一般的な手法は、まず目的の条件を満たすエンティティの存在を証明し、次にそのようなエンティティの 2 つ (たとえば、${\displaystyle a}$そして​${\displaystyle b}$⁠ ) は互いに等しくなければならない (つまり⁠ ${\displaystyle a=b}$⁠ )

例えば、方程式が${\displaystyle x+2=5}$解がちょうど 1 つ存在する場合、まず少なくとも 1 つの解、すなわち 3 が存在することを証明することから始めます。この部分の証明は、以下の式が成り立つことを確認するだけです。

${\displaystyle 3+2=5.}$

解の一意性を確立するために、2 つの解が存在すると仮定して進めます。${\displaystyle a}$そして​${\displaystyle b}$満足のいく${\displaystyle x+2=5}$つまり、

${\displaystyle a+2=5{\text{ および }}b+2=5.}$

等号は推移的な関係であるため、

${\displaystyle a+2=b+2.}$

両辺から2を引くと、

${\displaystyle a=b,}$

これにより、3 が唯一の解であることが証明されます。${\displaystyle x+2=5}$。

一般に、ある条件を満たす対象がちょうど１つ存在すると結論づけるためには、存在（少なくとも１つの対象が存在する）と一意性（多くても１つの対象が存在する）の両方を証明する必要がある。

一意性を証明する別の方法は、オブジェクトが存在することを証明することです。${\displaystyle a}$条件を満たし、次に条件を満たすすべてのオブジェクトが と等しくなければならないことを証明する${\displaystyle a}$⁠ .

一意性の量化は、述語論理の存在量化子と全称量化子を用いて、次の式で表現することができる。${\displaystyle \exists !x(P(x))}$^{[ 3 ]}を意味する

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

これは論理的に同等である

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

存在と一意性の概念を2つの節に分けることで簡潔さを犠牲にする同等の定義は次のとおりである。

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

一意性定量化は、計数定量化（または数値定量化^{[ 4 ]} ）に一般化できます。これには、「ちょうどk個のオブジェクトが存在し、 ...」という形式の定量化と 、「無限個のオブジェクトが存在し、...」および 「有限個のオブジェクトのみが存在し、...」という形式の定量化の両方が含まれます。これらの形式のうち最初のものは通常の量化子を使用して表現できますが、後者の2つは通常の1階述語論理 では表現できません。^{[ 5 ]}

一意性は等価性の概念に依存する。これをより粗い同値関係に緩和すると、その同値性までの一意性の定量化が得られる（この枠組みでは、通常の一意性は「等価性までの一意性」である）。これは本質的に一意であると呼ばれる。例えば、圏論における多くの概念は、同型性までの一意性を持つように定義されている。

感嘆符${\displaystyle$ !} は 別の数量記号としても使用できます。${\displaystyle (\exists !xP(x))\leftrightarrow ((\exists xP(x))\land (!xP(x)))}$⁠、そこで⁠${\displaystyle (!xP(x)):=(\forall a\forall bP(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$⁠。例えば、置換公理では、代わりに${\displaystyle \exists$ !} 。

• 本質的にユニーク
• 定義による拡張
• ワンホット
• シングルトン（数学）
• 一意性定理

• クリーネ、スティーブン（1952）。メタ数学入門。イシプレスインターナショナル。p.  199。
• アンドリュース、ピーター・B. (2002).数学的論理と型理論入門：証明による真理への道（第2 版）. ドルドレヒト：クルーワー・アカデミック出版. p.  233. ISBN 1-4020-0763-9。