リフト（数学）

数学の一分野である圏論では、射f : X → Yと射g : Z → Yが与えられたとき、fからZへの持ち上げは、射h : X → Zであって、 f = g ∘ hとなるものである。 f はh を介して因数分解されるという。

リフトはいたるところに存在します。たとえば、ファイブレーションの定義(ホモトピーリフト特性を参照) や、スキームの分離写像と固有写像の評価基準は、特定のリフトの存在と (最後のケースでは) 一意性に基づいて定式化されます。

代数的位相幾何学とホモロジー代数では、テンソル積とHom 関手は随伴であるが、必ずしも正確なシーケンスに収束するわけではない。これにより、 Tor 関手とExt 関手が定義される。

位相幾何学における基本的な例として、ある位相空間内のパスを被覆空間内のパスに持ち上げるというものがあります。^[1]たとえば、球面上の反対の点を同じ点に写像すること、つまり射影平面を覆う球面からの連続写像を考えてみましょう。射影平面内のパスは、単位区間[0,1]からの連続写像です。パス上の最初の点に写像する 2 つの球面点のうちの 1 つを選択し、連続性を維持することで、このようなパスを球面に持ち上げることができます。この場合、2 つの開始点はそれぞれ、球面上の一意のパス、つまり射影平面内のパスの持ち上げを強制します。したがって、連続写像を射影として持つ 位相空間のカテゴリでは、

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&[0,1]\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (projective plane path)}}\\g\colon \,&S^{2}\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (covering map)}}\\h\colon \,&[0,1]\to S^{2}&&\ {\text{ (sphere path)}}\end{aligned}}}$

第一階述語論理の表記法は、量指定子が二項関係の確立された領域と範囲に追いやられると合理化される。ギュンター・シュミットとマイケル・ウィンターは、彼らの著書『リレーショナル・トポロジー』で、位相幾何学の従来の論理表現を関係の計算に引き上げる方法を説明した。^[2] 彼らは、「概念をリレーショナルレベルに引き上げて、点や量指定子をなくし、第一階述語論理のスタイルから概念を解放し、代数的推論の明快さに近づける」ことを目指している。

たとえば、部分関数 M は、 Mの範囲での恒等関係を表す包含に対応します 。「量化の表記法は隠されており、関係演算 (ここでは転置と合成) の型付けとその規則に深く組み込まれています。」 ${\displaystyle M^{T};M\subseteq I}$${\displaystyle I}$

円の写像の場合、実数直線へのリフトの定義は若干異なります（一般的な応用は回転数の計算です）。円上の写像 が与えられた場合、のリフトは、となる射影（または被覆写像）が存在する実数直線 上の任意の写像 です。^[3]${\displaystyle T:{\text{S}}\rightarrow {\text{S}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F_{T}}$${\displaystyle F_{T}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi :\mathbb {R} \rightarrow {\text{S}}}$${\displaystyle \pi \circ F_{T}=T\circ \pi }$

• 射影モジュール
• 形式的に滑らかなマップは、無限小の持ち上げ特性を満たします。
• カテゴリー内のプロパティの持ち上げ
• モンスキー-ウォッシュニッツァーコホモロジーはp 進多様体を特性ゼロまで持ち上げます。
• SBI リングにより、冪等性を Jacobson 根号より上に持ち上げることができます。
• 池田リフト
• 宮脇シーゲル モジュラーフォームのリフト
• モジュラー形式の斎藤・黒川リフト
• 回転数は、円の同相写像を実数直線に持ち上げることにより実現されます。
• 数論幾何学：アンドリュー・ワイルズ（1995）モジュラリティ・リフティング
• ヘンゼルの補題
• モナド (関数型プログラミング) は、マップ関数を使用して単純な演算子をモナド形式に変換します。
• 接線束 § 揚力