最終的には（数学）

数論や解析学の数学分野では、無限数列や関数が、その順序付けられたすべてのインスタンスにおいてその性質を持たないが、いくつかのインスタンスが経過した後にその性質を持つようになる場合、その性質を「最終的に持つ」と言われます。「最終的に」という用語の使用は、「十分に大きな数に対して」と言い換えられることが多く、^{[ 1 ]}また、任意の順序付き集合の要素（数列や部分集合など）に適用される性質のクラスにも拡張できます。${\displaystyle \mathbb {R} }$)

「最終的に（または十分に大きい）」というフレーズが見られる一般的な形式は次のとおりです。

${\displaystyle P}$最終的には${\displaystyle x}$（${\displaystyle P}$十分に大きい場合、真である${\displaystyle x}$)

どこ${\displaystyle \forall }$そして${\displaystyle \exists }$は全称量化子と存在量化子であり、実際には以下の略記法です。

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$そのため${\displaystyle P}$本当です${\displaystyle \forall x\geq a}$

あるいは、もう少しフォーマルに言うと：

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R}$ :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}

これは必ずしも特定の値が${\displaystyle a}$知られているが、そのような${\displaystyle a}$存在します。「十分に大きい」という表現は、「任意に大きい」または「無限に大きい」という表現と混同しないでください。詳しくは、 「任意に大きい」 #「任意に大きい vs. 十分に大きい vs. 無限に大きい」を参照してください。

無限数列の場合、初期段階の振る舞いよりも、長期的な振る舞いに関心を持つことが多い。このような場合、この概念を形式的に表現する一つの方法は、数列が最終的にある特定の性質を持つ、あるいは同等に、その性質が数列のいずれかの部分列によって満たされる、と言うことである。${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$一部の人にとって${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$[ ^{2 ]​}

例えば、実数列の定義${\displaystyle (a_{n})}$ある極限値に収束する${\displaystyle a}$は：

各正の数に対して${\displaystyle \varepsilon }$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての${\displaystyle n>N}$、$\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$。

「最終的に」という用語が「自然数が存在する」の略語として使われる場合${\displaystyle N}$すべての${\displaystyle n>N}$収束の定義は、より簡潔に次のように言い換えることができる。

各正の数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$、 最終的に$\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$。

ここで注目すべきは、この性質を満たさない自然数の集合は有限集合であるということです。つまり、その集合は空集合であるか、最大要素を持つ集合です。したがって、この場合の「いずれ」という表現は、「有限個の項を除くすべての項」という表現と同義であり、「ほとんどすべての項」という表現の特殊なケースと言えます（ただし、「ほとんどすべての項」という表現は、無限に多くの例外を許容する場合にも使用できます）。

基本的なレベルでは、数列は自然数を定義域とする関数と考えることができ、「最終的に」という概念は、より一般的な集合上の関数、特に最大要素を持たない順序を持つ関数にも適用されます。

より具体的に言うと、${\displaystyle S}$そのような集合があり、要素があります${\displaystyle s}$で${\displaystyle S}$関数${\displaystyle f}$は、より大きいすべての要素に対して定義されます。${\displaystyle s}$、 それから${\displaystyle f}$要素が存在する場合、最終的には何らかの特性を持つと言われます${\displaystyle x_{0}}$いつでも${\displaystyle x>x_{0}}$、${\displaystyle f(x)}$前述の性質を持つ。この概念は、例えば、ハーディ体の研究において用いられる。ハーディ体とは、実関数から構成される体であり、それぞれの関数は最終的に特定の性質を持つ。

• 「2より大きい素数はすべて奇数である」は、「最終的には、すべての素数は奇数である」ことを意味する。
• 最終的に、すべての素数は6を法として±1と合同になります。
• 素数の平方は最終的に24を法として1と合同になります（具体的には、これは3より大きいすべての素数について当てはまります）。
• 自然数の階乗は最終的に数字の0で終わります（具体的には、これは4より大きいすべての自然数に当てはまります）。

• 3次元多様体は、適切に埋め込まれた2面非圧縮性曲面を含む場合、十分に大きいと呼ばれます。この性質は、3次元多様体がハーケン多様体と呼ばれるための主要な要件です。
• 時間論理では、次のような解釈が可能な文を表現するために使用できる演算子が導入されています。「ある性質は、将来のある時点で最終的に成り立つだろう。」

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