結局（数学）

数学の分野である数論や解析学では、無限列または関数が最終的に特定の特性を持つとは、その順序付けられたインスタンスのすべてにわたって前述の特性を持たないが、いくつかのインスタンスが経過した後にその特性を持つようになる場合を言う。「最終的に」という用語は、「十分に大きな数に対して」と言い換えられることが多く、^[1]任意の順序付けられた集合の要素（ の列や部分集合など）に適用される特性のクラスにも拡張できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

最終的に（または十分に大きい）というフレーズが見つかる 一般的な形式は次のとおりです。

${\displaystyle P}$は最終的にに対して真である（は十分に大きいに対して真である）、${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$

ここで、 およびは、全称量指定子および存在量指定子であり、これは実際には次の省略形です。 ${\displaystyle \forall}$${\displaystyle \exists }$

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$真である${\displaystyle P}$${\displaystyle \forall x\geq a}$

またはもう少し正式には:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}$

これは、 の特定の値が既知であることを必ずしも意味するのではなく、そのような が存在するということだけを意味します。「十分に大きい」という語句を、「任意に大きい」または「無限に大きい」という語句と混同しないでください。詳細については、「任意に大きい」と「十分に大きい」と「無限に大きい」を参照してください。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

無限シーケンスの場合、シーケンスの初期段階で示される動作よりも、シーケンスの長期的な動作に興味があることがよくあります。その場合、この概念を形式的に捉える1つの方法は、シーケンスが最終的に特定のプロパティを持つ、または同等に、プロパティが何らかの に対してそのサブシーケンス の1つによって満たされると言うことです。^[2]${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

たとえば、ある極限に収束する実数列 の定義は次のようになります。 ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$

それぞれの正の数に対して、すべての に対して となる自然数 が存在します。${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

「最終的に」という用語が「すべての に対して となる自然数が存在する」の省略形として使用される場合、収束の定義は次のようにより簡単に言い換えることができます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$

それぞれの正の数に対して、最終的には.${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

ここで、この特性を満たさない自然数の集合は有限集合であることに注目してください。つまり、集合は空であるか、最大要素を持ちます。結果として、この場合の「最終的に」の使用は、「有限数の項を除くすべての項について」という表現と同義です。これは、「ほとんどすべての項について」という表現の特殊なケースです(ただし、「ほとんどすべて」は、無限に多くの例外を許容するためにも使用できます)。

基本的なレベルでは、シーケンスは自然数をその定義域とする関数として考えることができ、"最終的に" の概念はより一般的な集合上の関数にも適用されます。特に、最大元を持たない順序付けを持つ関数に適用されます。

より具体的には、 がそのような集合であり、により大きいすべての元に対して関数が定義されるような元がある場合、 がであるときはいつでも が前述の特性を持つような元が存在するとき、は結局何らかの特性を持つと言われます。この概念は、例えば、ハーディ体の研究で使用されます。ハーディ体は、それぞれが結局特定の特性を持つ実関数で構成される体です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x>x_{0}}$${\displaystyle f(x)}$

• 「 2 より大きい素数はすべて奇数である」は、「結局、すべての素数は奇数である」と書くことができます。
• 最終的に、すべての素数は6 を法として ±1 と一致します。
• 素数の平方は、最終的には 1 mod 24 に一致します (具体的には、これは 3 より大きいすべての素数に当てはまります)。
• 自然数の階乗は最終的に数字 0 で終わります (具体的には、これは 4 より大きいすべての自然数に当てはまります)。

• 3 次元多様体は、適切に埋め込まれた 2 辺の非圧縮面を含む場合、十分に大きいと呼ばれます。この特性は、3 次元多様体がハーケン多様体と呼ばれるための主な要件です。
• 時相論理では、次のように解釈できるステートメントを表現するために使用できる演算子が導入されています。特定のプロパティは、最終的には将来の時点で保持されます。

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