抽象的なナンセンス

数学において、抽象的ナンセンス、一般抽象的ナンセンス、一般化抽象的ナンセンス、一般ナンセンスは、読者が熟知していると思われる証明の長い理論的な部分を説明するために数学者が使う非軽蔑的な用語である。 ^{[1]これらの用語は主に}圏論やホモロジー代数に関連する抽象的な手法に使われる。より一般的には、「抽象的ナンセンス」は圏論的手法に依拠する証明、さらには圏論の研究そのものを指すこともある。

大まかに言えば、圏論とは、数学理論の一般形式、つまりその内容に関わらずその圏を研究するものである。その結果、圏論的アイデアに依拠する数学的証明は、しばしば文脈から外れ、いくぶん非論理的なものに似ているように思われる。著者は、読者にその抽象的性質を警告する軽いやり方として、これらの証明を「抽象的なナンセンス」と呼ぶことがある。議論を「抽象的なナンセンス」とラベル付けすることは、通常、軽蔑的な意図ではなく、 ^{[2] [1]}冗談めかして、^[3]自虐的に、^[4]愛情を込めて、^[5]あるいは議論の一般性に対する賛辞として使用される。アレクサンダー・グロタンディークはこの概念に批判的で、次のように述べた。

0という暗号や群の概念の導入もまったくナンセンスであり、そのような幼稚な措置を講じる人がいなかったため、数学は数千年にわたって停滞していた... ^[6]

数学における特定のアイデアや構成は、多くの領域にわたって統一性を共有しており、圏論によって統一されている。典型的な方法には、分類空間と普遍的性質の使用、米田の補題の使用、関数間の自然変換、ダイアグラム追跡などがある。^[7]

聴衆がそのような議論の一般的な形式に精通していると想定できる場合、数学者は、個々の詳細な説明を提供するのではなく、「抽象的なナンセンスにより、これこれのことは真実である」という表現を使用します。^[1]たとえば、「抽象的なナンセンスにより、積は、存在する場合、同型性を除いて一意である」と言うことができ、これらの同型性が積を定義する普遍的な性質からどのように導き出されるかについて議論する代わりに、そうすることができます。これにより、些細なことやあまり洞察を与えないと考えられる証明の詳細をスキップし、代わりにより大きな証明の真に革新的な部分に焦点を当てることができます。

この用語は、カテゴリー理論が学問として確立される以前から使われてきた。1942年に「カテゴリー」という概念を導入したサミュエル・アイレンバーグとの共同論文に言及して、サンダース・マクレーンは、この学問は「当時は『一般抽象ナンセンス』と呼ばれていた」と書いている。[ 3 ]この用語^は、カテゴリー理論とその手法を抽象度の低い領域に適用することを説明するときによく使われる。^{[8] [9]}

この用語は数学者ノーマン・スティーンロッド^{[10] [4] [5]}によって造られたと考えられており、彼自身もカテゴリカルな観点の開発者の一人である。

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