共役要素（場の理論）

数学、特に体論において、体拡大L / K上の代数元αの共役元または代数共役は、 K上のαの最小多項式p _{K , α} ( x )の根です。共役元は、あいまいでない場合には一般に共役と呼ばれます。通常、 α自体はαの共役の集合に含まれます 。  

同様に、 αの共役は、Kの元を固定したLの体自己同型によるαの像です。2 つの定義の同値性は、ガロア理論の出発点の 1 つです。

この概念は複素共役を一般化します。複素数の上の代数共役は、その数自体とその複素共役だからです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

数字1の 3 乗根は次のとおりです。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}$

後者の2つの根はQ [ i √ 3 ]の共役元であり 、最小多項式

${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.}$

K が代数的に閉じた体 C の内部で与えられた場合、共役はC の内部で取ることができます。そのようなCが指定されていない場合は、比較的小さな体Lで共役を取ることができます。 Lの最小の選択肢は、 αを含む p _K、αのK上の分割体を取ることです。L がαを含む Kの任意の正規拡大である場合、定義により、そのような分割体がすでに含まれています。

このとき、自己同型群Aut( L / K ) = Gを持ち、αを含むKの正規拡大L が与えられると、 Gのgに対する任意の元g ( α )はαの共役になります。これは、自己同型g がpの根をpの根に写すからです。逆に、 αの任意の共役β はこの形式になります。言い換えると、G は共役に対して推移的に作用します。これは、最小多項式の既約性によりK ( α ) がK ( β )にK同型であり、多項式pをp 'に写す体FおよびF 'の任意の同型は、それぞれpのF上の分解体およびp 'のF '上の分解体の同型に拡張できるためです。

要約すると、 αの共役元は、 K ( α )を含むKの任意の正規拡大Lにおいて、 Aut( L / K )のgに対する元g ( α )の集合として見つかる。各元のリストにおける繰り返し数は、分離次数[ L : K ( α )] _sepである。

クロネッカーの定理によれば、α が非ゼロの代数的整数で、αとその複素数における共役の絶対値が最大で 1 である場合、α は1 の累乗根である。この定理には定量的な形式があり、代数的整数が 1 の累乗根であることを示す共役の最大絶対値に対する境界 (次数による) をより正確に述べている。

• David S. Dummit、Richard M. Foote、「抽象代数」、第 3 版、Wiley、2004 年。

• Weisstein、Eric W.「共役要素」。MathWorld。