チルンハウゼン立方体

代数幾何学において、チルンハウゼン三次曲線、またはチルンハウス三次曲線は、左開きの形で極方程式によって定義される平面曲線である。

r=a\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)

ここで、 $secは$ 正割関数です。

歴史

この曲線は、フォン・チルンハウス、ド・ロピタル、カタランによって研究されました。レイモンド・クレア・アーチボルドによる 1900 年の論文で、チルンハウゼン三次曲線という名前が付けられましたが、ド・ロピタルの三次曲線やカタランの三等分線と呼ばれることもあります。

と置きます。三重角の公式を適用すると、 $t=\tan(\theta /3)$

x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)

=a(1-3t^{2})

y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)

=at(3-t^{2})

曲線のパラメトリック形式を与える。パラメータtは簡単に除去でき、直交座標系で表すと次のようになる。

27ay^{2}=(ax)(8a+x)^{2}

。

曲線を水平方向に8a平行移動し、変数の符号を変えると、右開きの曲線の方程式は次のようになる。

x=3a(3-t^{2})

y=at(3-t^{2})

そして直交座標では

x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)

。

これにより、代替極形式が得られる。

r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)

。

チルンハウゼン三次曲線は、n = −1/3の正弦螺旋です。