随伴関手

ある意味で、随伴関手は、定式的な方法によって、ある問題に対する最も効率的な解を与える手段である。例えば、環論における基本的な問題の一つに、乱数生成器（乗法単位元を持たない環のようなもの）を環に変換する方法がある。最も効率的な方法は、乱数生成器に要素「1」を付加し、環の公理を満たすために必要な要素（例えば、環内の各要素rに対してr +1 ）のみを付加し、新たに形成された環に公理によって強制されない関係を一切課さないことである。さらに、この構成は、あらゆる乱数生成器に対して本質的に同じように機能するという意味で、定式的である。

これはやや曖昧ではあるものの示唆に富む表現であり、圏論の言葉でより正確に表現することができる。すなわち、構成は普遍性を満たす場合に最も効率的であり、関数を定義する場合に定式的である。普遍性には、始特性と終特性の2種類がある。これらは双対概念であるため、どちらか一方のみを論じればよい。

初期特性を用いるという考え方は、問題を何らかの補助圏Eの観点から設定し、目の前の問題をEの初期対象を見つけることに対応させるというものである。この方法の利点は、最適化（つまり、プロセスが最も効率的な解を見つけるという意味）が、上限の達成のように、厳密かつ認識可能な何かを意味することである。また、この構成において圏Eは定式化されており、常に随伴を構築する関手の要素の圏となる。

元の例に戻りましょう。与えられた rng Rを取り、乗法単位元を持つ環 S に対して、rng 準同型 R → S を対象とする圏 E を作成します。EにおけるR → S 1とR → S 2の間の_射は、 ( R _→ S 1 , R → _S 2 , S 1 _→ S 2 ₎の形_の可換三角形です。ここでS ₁ → S ₂は環写像 (単位元を保存する) です。(これは、rng へのユニタリ環の包含に関するRのコンマ圏の定義と全く同じであることに注意してください。) R → S ₁とR → S ₂の間の射の存在は、 S ₁が少なくともS ₂と同等に効率的な問題解決手段であることを意味します。S _{2 は}、S 1_よりも多くの隣接要素や、公理によって課されない関係を持つことができます。したがって、対象R → R ^{∗ が}Eの始点である、つまり、そこからEの他の任意の要素への射が存在するという主張は、環R * が我々の問題に対する最も効率的な解決策であることを意味する。

乱数を環に変換するこの方法が最も効率的かつ定式的であるという2つの事実は、それが随伴関手を定義すると言うことで同時に表現できます。より具体的には、F を乱数に恒等関数を付加する上記のプロセスとすると、F ( R )= R ^∗となります。Gを環Sに恒等関数があるかどうかを「忘れて」、単に乱数として考えるプロセスとすると、本質的にG ( S )= Sとなります。すると、FはGの左随伴関手となります。

ただし、まだR ^{∗ を}実際に構築したわけではないことに注意してください。このような左随伴関手R → R ^∗が実際に存在するというのは、重要かつ決して自明ではない代数的事実です。

また、ファンクターFから始めて、次のような（漠然とした）質問をすることもできます。Fが最も効率的な解決策となる問題は存在するでしょうか？

FがGによって提起される問題に対する最も効率的な解決策であるという考えは、ある厳密な意味では、GがFが解決する最も困難な問題であるという考えと同等である。

これは、随伴関手がペアで現れるという事実の背後にある直感を与えてくれます。F が G の左随伴であれば、GはFの右随伴です。

随伴理論は「左」と「右」という概念を基礎としており、検討対象となる2つのカテゴリーCとDのいずれかに属する多くの要素が存在します。したがって、要素が「左」カテゴリーCに属するか「右」カテゴリーDに属するかに応じてアルファベット順に文字を選択し、可能な限りその順序で書き記すと便利です。

例えばこの記事では、文字X、F、f、ε は一貫して圏Cに属するものを表し、文字Y、G、g、η は一貫して圏Dに属するものを表します。そして、可能な限り、これらのものは左から右の順に参照されます (ファンクターF  : D → Cは、その出力がある場所、つまりCに「存在する」と考えることができます)。左随伴ファンクター F の矢印を描くと左を指し、右随伴ファンクター G の矢印を描くと右を指します。

定義により、ファンクター ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$各オブジェクトに対して、左随伴関手である。${\displaystyle X}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$ から普遍射が存在する${\displaystyle F}$に${\displaystyle X}$つまり、各オブジェクトについて${\displaystyle X}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$オブジェクトが存在する ${\displaystyle G(X)}$で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$そして射${\displaystyle \varepsilon _{X}:F(G(X))\to X}$すべてのオブジェクトに対して ${\displaystyle Y}$で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$そしてすべての射${\displaystyle f:F(Y)\to X}$一意の射が存在する ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$と$\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(g)=f}$。

後者の式は、次の可換図式で表されます。

この状況では、次のことを示すことができる。${\displaystyle G}$ファンクターに変換できる${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$独特な方法で ${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \varepsilon _{X'}}$ すべての射に対して${\displaystyle f:X'\to X}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$;${\displaystyle F}$は、左随伴と呼ばれます。${\displaystyle G}$。

同様に、右随伴関手を定義することもできます。関手${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$各オブジェクトに対して、右随伴関手である。${\displaystyle Y}$で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$から普遍射が存在する${\displaystyle Y}$に${\displaystyle G}$つまり、各オブジェクトについて${\displaystyle Y}$で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$オブジェクトが存在する${\displaystyle F(Y)}$で${\displaystyle C}$そして射${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$すべてのオブジェクトに対して${\displaystyle X}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$ そしてすべての射${\displaystyle g:Y\to G(X)}$一意の射が存在する${\displaystyle f:F(Y)\to X}$と${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$。

もう一度言いますが、これは${\displaystyle F}$独自の方法でファンクターに変換できます${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$そのため${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$のために${\displaystyle g:Y\to Y'}$射${\displaystyle {\mathcal {D}}}$;${\displaystyle G}$は、右随伴と呼ばれます。${\displaystyle F}$。

用語が示唆するように、それは事実である。${\displaystyle F}$左随伴${\displaystyle G}$かつその場合に限り${\displaystyle G}$は右に隣接しています${\displaystyle F}$。

普遍射によるこれらの定義は、要求事項が最小限であるため、与えられた関手が左随伴関手か右随伴関手かを判断する際にしばしば有用である。また、普遍射を見つけることは最適化問題を解くことに似ているため、直感的にも意味深い。

2つのカテゴリ間の随伴であるホムセットを使用する$\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {D}}}$2つのファンクターから構成されると定義できる${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$そして自然な同型性$${\displaystyle \Phi$$ :\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(F-,-)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(-,G-).} これは全単射の族を指定します $${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ すべてのオブジェクトについて${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}}.}$

この状況では、${\displaystyle F}$左随伴${\displaystyle G}$そして${\displaystyle G}$は右に隣接しています${\displaystyle F}$。

この定義は、普遍射の定義よりもその充足性を確立するのが難しく、共単位-単位の定義よりも直接的な意味合いが少ないという点で、論理的な妥協案と言える。しかし、その明白な対称性、そして他の定義間の橋渡しとなる役割から有用である。

解釈するために${\displaystyle \Phi }$自然同型写像として、${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(F-,-)}$そして${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(-,G-)}$ファンクターとして。実際、それらは両方とも双ファンクターです。${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}}$に${\displaystyle \mathbf {Set} }$（集合の圏）。詳細は、 hom-ファンクターに関する記事を参照してください。具体的には、自然性は${\displaystyle \Phi }$すべての射に対して${\displaystyle f:X\to X'}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして全ての射${\displaystyle g:Y'\to Y}$で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$以下の図は可換である。

この図の垂直方向の矢印（${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$そして${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f)}$) は、合成によって誘発されるものです。正式には、${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f):{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY',X')}$は${\displaystyle h\mapsto f\circ h\circ Fg}$各${\displaystyle h\in {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X).}$${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$同様である。

2つのカテゴリー間の随伴関係を定義する3つ目の方法${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {D}}}$2つのファンクタから構成される${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$そして2つの自然変化$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$$ それぞれ共単位および随伴の単位（普遍代数からの用語）と呼ばれ、合成は $${\displaystyle F\xrightarrow {\overset {}{\;F\eta \;}} FGF\xrightarrow {\overset {}{\;\varepsilon F\,}} F}$$$${\displaystyle G\xrightarrow {\overset {}{\;\eta G\;}} GFG\xrightarrow {\overset {}{\;G\varepsilon \,}} G}$$ 恒等射は${\displaystyle 1_{F}}$そして${\displaystyle 1_{G}}$それぞれFとGについて。

この状況では、 FはGの左随伴であり 、GはFの右随伴であると言い、この関係を次のように表すことができます。${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ または、単に${\displaystyle F\dashv G}$ 。

等式形式では、上記の条件は${\displaystyle (\varepsilon ,\eta )}$これらは共単位-単位方程式である。$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$$ これは、それぞれについて${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$そしてそれぞれ${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.\end{aligned}}}$$

ご了承ください${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$これは圏上の同一性関手を表す。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$、${\displaystyle 1_{F}}$は、関手Fからそれ自身への恒等自然変換を表し、${\displaystyle 1_{FY}}$オブジェクトの恒等射を表す${\displaystyle FY}$。

これらの式は、随伴関手に関する証明を代数的な操作に還元する際に役立ちます。対応するストリング図の見た目から、三角形恒等式、あるいはジグザグ方程式と呼ばれることもあります。これらを覚える方法の一つは、まず無意味な式を書き出すことです。${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$そして、FまたはGのいずれかを、構成要素を定義する2つの簡単な方法のいずれかで記入します。

注: ここで counit に接頭辞「co」を使用しているのは、極限と余極限の用語とは一致しません。なぜなら、余極限は初期特性を満たすのに対し、余極限射は終端特性を満たすからです。極限と単位についても同様のことが言えます。ここでいう単位という用語は、モナドの理論から借用したもので、モナドでは単位元1 をモノイドに挿入するように見えます。

自由群の構成は、よく知られた分かりやすい例である。

F  : Set → Grpを、各集合YにYの要素によって生成される自由群を割り当てるファンクターとし、G : Grp → Setを、各群Xにその基礎となる集合を割り当てる忘却ファンクターとする。このとき、FはGに左随伴である。 

初期射。

各集合Yに対して、集合GFY はYによって生成される自由群FYの基礎となる集合である。${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$を「生成元の包含」によって与えられる集合写像とする。これはYからGへの初期射である。なぜなら、 Yから何らかの群Wの基礎となる集合GWへの任意の集合写像は、${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$FYからWへの一意的な群準同型を介して。これはまさにY上の自由群の普遍的な性質である。

終端射。

各群Xに対して、群FGXは、 Xの要素であるGXによって自由に生成される自由群である。${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$FGXの生成元を対応するXの要素に送る群準同型写像を、自由群の普遍性によって存在するものとする。すると各${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$FからXへの終端射である。なぜなら、自由群FZからXへの任意の群準同型は、${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ZからGXへの一意な集合写像を介して。これは、( F , G )が随伴ペアであることを意味します。

ホームセット付加。

自由群FYから群Xへの群準同型写像は、集合Yから集合GXへの写像と正確に対応します。FY からXへの各準同型写像は、生成元への作用によって完全に決定され、これは自由群の普遍性の再述です。この対応関係が自然変換であることは直接検証でき、これはペア( F , G )の hom-set 随伴であることを意味します。

共単位と単位の付加関係。

εとηが自然数であることを直接検証することもできる。次に、それらが共単位-単位付加を形成することを直接検証する。${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$内容は以下のとおりです。

最初の共単位-単位方程式

${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$各集合Yに対して、構成は $${\displaystyle FY\xrightarrow {\overset {}{\;F(\eta _{Y})\;}} FGFY\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,} FY}$$ は恒等式であるべきです。中間群FGFYは、自由群FYの語句によって自由に生成される自由群です。（これらの語句は、独立した生成元であることを示すために括弧で囲まれていると考えてください。）矢印${\displaystyle F(\eta _{Y})}$これは、 FYからFGFYへの群準同型写像であり、FYの各生成元yを、 FGFYの対応する長さ1の単語( y )の生成元に送る。${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$これは、 FGFYからFYへの群準同型写像であり、各生成元を対応するFYの語に写像します(つまり、この写像は「括弧を外す」写像です)。これらの写像の合成は、確かにFY上の恒等写像です。

2番目の共単位-単位方程式

${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$各グループXの構成 は$${\displaystyle GX\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;} GFGX\xrightarrow {\overset {}{\;G(\varepsilon _{X})\,}} GX}$$ 恒等式であるべきです。中間集合GFGXは、 FGXの基底集合です。矢印${\displaystyle \eta _{GX}}$は、集合GXから集合GFGXへの「生成子の包含」集合マップです。矢印${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$はGFGXからGXへの集合写像であり、 FGXの各生成元を対応するXの要素に写す群準同型写像の基礎となるものです (括弧を省略)。これらの写像の合成は、 GX上の恒等写像となります。

自由対象はすべて、代数対象にその基礎となる集合を割り当てる忘却関手の左随伴関手の例である。これらの代数的自由関手は、一般的に、上記の自由群の状況に関する詳細な説明と同じ記述を持つ。

積、引き戻し、等化子、核はすべて、圏論における極限の概念の例です。任意の極限関手は、対応する対角関手に右随伴します（ただし、その圏が問題の極限の型を持つ場合に限ります）。また、随伴の余単位は、極限対象からの定義写像（つまり、関手圏における極限上の対角関手からの定義写像）を提供します。以下にいくつかの具体的な例を示します。

余積、押し出し、等化子、余核はすべて、圏論における余極限の概念の例です。任意の余極限関手は、対応する対角関手に左随伴します（ただし、その圏が問題の余極限の型を持つ場合に限ります）。また、随伴の単位元は、余極限対象への定義写像を提供します。以下にいくつかの具体的な例を示します。

• 余積。F : Ab ² → Ab がアーベル 群の任意のペア( X ₁ , X ₂ )にその直和を割り当て、G  : Ab → Ab ²がアーベル群Yの任意のペア( Y , Y )を割り当てる関手である場合、FはGの左随伴であり、これも直和の普遍性の結果です。この随伴ペアの単位は、X ₁とX ₂から直和への包含写像の定義ペアであり、余単位は( X , X )の直和からXに戻る加法写像(直和の要素( a , b )をXの要素a + bに送る) です。
  同様の例としては、ベクトル空間と加群の直和、群の自由積、集合の非交和などが挙げられる。

初期射の意味で右随伴関手G  : C → Dが与えられた場合、以下の手順を実行することで誘導ホム集合随伴を構築できます。

• ファンクターF  : D → Cと自然変換ηを構築します。
  • Dの各オブジェクトYに対して、 YからGへの初期射 ( F ( Y ), η _Y )を選択し、 η _Y : Y → G ( F ( Y ))とします。オブジェクト上のFの写像と射ηの族が得られます。 
  • 各f  : Y ₀ → Y ₁について、( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} )が初期射であるため、η _{Y 1} ∘ Fをη _{Y 0}で因数分解し、 F ( f )  : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ )を得ます。これは射上のFの写像です。
  • その因数分解の可換図は自然変換の可換図を意味するので、η  : 1 _D → G ∘ Fは自然変換である。
  • その因数分解の一意性とGが関手であるという事実は、射上のFの写像が合成と恒等写像を保存することを意味する。
• 自然な同型写像Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − )を構成する。
  • Cの各オブジェクトX 、 Dの各オブジェクトYについて、( F ( Y ), η _Y )が初期射である場合、Φ _{Y , X}は全単射であり、ここでΦ _{Y , X} ( f : F ( Y ) → X ) = G ( F ) ∘ η _Yである。 
  • ηは自然変換、Gはファンクターであり、Cの任意のオブジェクトX ₀、X ₁ 、 Dの任意のオブジェクトY ₀、Y _{1 、任意の}x : X ₀ → X ₁、任意のy : Y ₁ → Y ₀に対して、Φ _{Y 1、X 1} ( x ∘ f ∘ F ( y )) = G( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( f ( y )) ∘ η _{Y 1} = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η _{Y 0} ∘ y = G ( x ) ∘ Φ Y _{0、X 0 (} ∘ ) ∘ yとなり、Φ は両方の引数で自然です。   

同様の議論により、終端射から左随伴関手へのホム集合随伴を構成することができる。（右随伴から始める構成の方がやや一般的である。なぜなら、多くの随伴対における右随伴は、自明に定義された包含関手または忘却関手だからである。）

ファンクターF  : D → C、G  : C → D、およびコユニット-ユニット随伴(ε, η)  : F ⊣ Gが与えられた場合、以下の手順で自然変換Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − )を見つけることにより、hom-セット随伴を構築できます。

• 各f  : FY → Xおよび各g  : Y → GXに対して、以下を定義する。$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$η と ε が自然であるため、変換 Φ と Ψ は自然です。
• Fがファンクターであること、εが自然であること、およびコユニット-ユニット方程式1 _FY = ε _FY ∘ F (η _Y )を順に用いると、次の式が得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$$したがって、ΨΦは恒等変換である。
• 双対的に、Gが関手であること、η が自然であること、およびコユニット-ユニット方程式1 _GX = G (ε _X ) ∘ η _GXを用いると、次の式が得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$$したがって、ΦΨは恒等変換である。ゆえに、Φは逆写像Φ ⁻¹ = Ψを持つ自然な同型写像である。

ファンクターF  : D → C、G  : C → D、および hom-セット随伴Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − )が与えられた場合、コユニット-ユニット随伴を構築することができる。

$${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G,}$$

これは、以下の手順で始射と終射の族を定義します。

• させて${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$Cの各Xについて、${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$これは恒等射である。
• させて${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$Dの各Yについて、${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$これは恒等射である。
• Φの全単射性と自然性から、各( GX , ε _X )はCにおけるFからXへの終止射であり、各( FY , η _Y )はDにおけるYからGへの始始射であることがわかる。
• Φの自然性はεとηの自然性を意味し、2 つの式は$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$各f : FY → Xおよびg : Y → GXについて(これらはΦ を完全に決定します)。
• 2番目の式でXにFYを、gにηY = ΦY _{、 FY (} 1 _FY )を代入すると_、最初の共単位-単位方程式が得られる。$${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}),}$$そして、最初の式でYをGXに、 fをε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX )}} に置き換えると、2 番目の共単位-単位方程式が得られる。$${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.}$$

すべての関手G  : C → D が左随伴を持つとは限りません。C が完全圏である場合、左随伴を持つ関手はPeter J. Freydの随伴関手定理によって特徴付けられます。Gが左随伴を持つのは、それが連続であり、かつある小ささ条件が満たされる場合に限ります。Dのすべての対象Yに対して射の族が存在します。

ここで、添え字iは、真のクラスではなく集合Iから来ており、すべての射が

次のように書くことができます

h = G ( t )${\displaystyle \circ }$フィ_​

Iのあるiとある射について

同様の記述は、右随伴関数を持つ関数を特徴づける。

重要な特殊ケースは、局所的に表現可能なカテゴリの場合である。${\displaystyle F:C\to D}$は局所的に表現可能なカテゴリ間のファンクターである。

• Fが右随伴を持つのは、Fが小さな余極限を保存する場合かつその場合に限る。
• F が左随伴関数を持つのは、F が小さな極限を保存し、かつアクセス可能な関手である場合に限る。

関手F  : D → C が2 つの右随伴関手GとG ′を持つ場合、GとG ′は自然に同型である。左随伴関手についても同様である。

逆に、FがGに左随伴であり、GがG ′と自然に同型である場合、FもG ′に左随伴である。より一般的に、⟨ F , G , ε, η⟩が随伴 (共単位–単位( ε , η ) ) であり、{{block indent| σ  : F → F ′ {{block indent| τ  : G → G ′ が自然な同型である場合、⟨ F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ ⟩は随伴であり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$$ ここ${\displaystyle \circ }$自然変化の垂直構成を表し、${\displaystyle \ast }$水平構成を表す。

随伴は自然な方法で合成できます。具体的には、⟨ F , G , ε , η ⟩がCとDの間の随伴であり、⟨ F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ ⟩がDとEの間の随伴である場合、ファンクター は$${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$$ 左随伴 $${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$$より正確には、 FF ′とG′Gの間には、それぞれ以下の構成によって与えられる単位と共単位を持つ 随伴関係が存在する。$${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$$ この新しい随伴関係は、与えられた2つの随伴関係の合成と呼ばれる。

圏Cとそれ自身との間の恒等随伴を定義する自然な方法もあるため、対象がすべて小さな圏であり、射が随伴であるような圏を形成することができる。

随伴関数の最も重要な性質は連続性です。左随伴関数を持つすべての関手（したがって右随伴関数でもある）は連続です（つまり、圏論的な意味で極限と可換です）。右随伴関数を持つすべての関手（したがって左随伴関数でもある）は余連続です（つまり、余極限と可換です）。

数学における多くの一般的な構成は極限または余極限であるため、これは豊富な情報を提供します。例えば、次のようになります。

• 対象の積に右随伴関手を適用すると、像の積が得られる。
• 対象のコ積に左随伴関手を適用すると、像のコ積が得られる。
• 2 つのアーベル圏間のすべての右随伴関手は左完全である。
• 2 つのアーベル圏間のすべての左随伴関手は右完全である。

CとD が前加法圏であり、F  : D → Cが右随伴G : C → Dを持つ加法関手である場合、Gも加法関手であり、hom-集合全単射 

$${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ これらは実際にはアーベル群の同型写像である。双対的に、Gが左随伴群Fと加法的であるならば、Fもまた加法的である。

さらに、CとDの両方が加法圏（つまり、すべての双積が有限である前加法圏）である場合、それらの間の任意の随伴関手のペアは自動的に加法的になります。

前述のように、カテゴリーCとDの間の随伴は、 Cの各対象とDの各対象に対応する普遍射の族を生み出します。逆に、 Dのすべての対象から関手G : C → Dへの普遍射が存在する場合、G は左随伴を持ちます。 

しかし、普遍構成は随伴関手よりも一般的です。普遍構成は最適化問題のようなもので、この問題がDのすべての対象(あるいはCのすべての対象)に対して解を持つ場合に限り、随伴対を生成します。

関手F  : D → C が圏の同値性の半分である場合、それは圏の随伴同値性における左随伴関手、すなわち単位と余単位が同型である随伴関手である。

任意の随伴⟨ F , G , ε , η ⟩は、特定のサブカテゴリの同値性を拡張します。C 1 を、ε X が同型である C の対象 X からなる C の完全サブカテゴリと定義し、_D 1_を、 η Yが同型であるD の対象 Y からなる D の完全サブカテゴリと定義します。_すると、_FとGはD 1とC 1に制限することができ_、これらの_{サブカテゴリ}の逆同値性が得られます。

つまり、随伴関数はある意味で「一般化された」逆関数である。ただし、Fの右逆関数（すなわち、 FG が1Dと自然に同型となるような関手G ）は、 Fの右（または左）随伴関数である必要はないことに注意されたい_。随伴関数は、両側逆関数を一般化するものである。

すべての随伴⟨ F , G , ε , η ⟩は、圏Dにおいて関連するモナド⟨ T , η , μ ⟩を生み出す。関手 $${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$$T = GF で与えられる。モナドの単位 $${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$$これは、付加と乗算変換の 単位ηにすぎない。$${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$$μ = GεF で与えられる。双対的に、3つ組⟨ FG , ε , FηG ⟩はCのコモナドを定義する。

すべてのモナドは、上記のように、何らかの随伴関係（実際には、多くの場合、複数の随伴関係）から生じます。アイレンベルク・ムーア代数の圏とクライスリ圏と呼ばれる2つの構成法は、与えられたモナドを生み出す随伴関係を構成するという問題に対する2つの極端な解です。