ディラック測度

数学において、ディラック測度は、固定要素xが含まれているかどうかのみに基づいて、集合にサイズを割り当てます。これは、物理学やその他の技術分野で重要なツールである ディラックのデルタ関数の考え方を形式化する 1 つの方法です。

ディラック測度は、与えられたx∈Xと任意の（測定可能な）集合A⊆Xに対して定義さ れる集合X（Xの部分集合の任意のσ代数を含む）上の測度 δx_である。

${\displaystyle \delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}}$

ここで、1 _{A は}Aの指示関数です。

ディラック測度は確率測度であり、確率の観点からは標本空間Xにおけるほぼ確実な結果xを表します。測度はxにおける単一原子であると言うこともできますが、デルタ列の極限としてのディラックデルタの順次定義を考慮すると、ディラック測度を原子測度として扱うことは正しくありません^{[疑わしい-議論]}。ディラック測度は、X上の確率測度の凸集合の極点です。

この名前はディラックのデルタ関数からの逆形式である。例えば実数直線上のシュワルツ分布として考えると、特別な種類の分布として測ることができる。

${\displaystyle \int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),}$

これは、

${\displaystyle \int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),}$

は「デルタ関数」の定義の一部であるとよく考えられており、ルベーグ積分の定理として成立します。

δ _{x は}、ある測定可能な空間( X、 Σ)内のある固定点xを中心とするディラック測度を表すものとします。

• δ _{x は}確率測度であり、したがって有限測度です。

( X , T )が位相空間であり、ΣがX上のボレルσ代数 σ ( T )と少なくとも同じくらい細かいとします。

• δ _{x が}厳密に正の測度 となるのは、位相Tがx がすべての空でない開集合内に存在するような場合、つまり、自明な位相 {∅, X }の場合のみです。
• δ _{x は}確率測度なので、局所有限測度でもあります。
• X がボレルσ代数を持つハウスドルフ位相空間である場合、{ x }などのシングルトン集合は常にコンパクトであるため、δ _{x は}内部正則測度となる条件を満たします。したがって、δ _{x は}ラドン測度でもあります。
• トポロジーT が十分に細かく{ x }が閉じていると仮定すると (ほとんどのアプリケーションではそうである)、δ _xのサポートは{ x }です。 (そうでない場合、supp( δ _x )は( X , T )における{ x }の閉包です。) さらに、δ _{x は}サポートが{ x }である唯一の確率測度です。
• X が通常のσ代数とn次元ルベーグ測度λ ⁿを持つn次元ユークリッド空間 R ⁿである場合、δ _{x は}λ ⁿに関して特異測度です。つまり、R ^{n を}A = R ⁿ \ { x }、B = { x }として分解し、 δ _x ( A ) = λ ⁿ ( B ) = 0 であることがわかります。
• ディラック測度はシグマ有限測度です。

離散測度はディラック測度に似ていますが、単一の点ではなく可算な数の点に集中している点が異なります。より正式には、 実数直線 上の測度は、その台が最大で可算集合である場合に、離散測度と呼ばれます(ルベーグ測度に関して) 。

• 離散測定
• ディラックのデルタ関数

• ディウドネ、ジャン (1976)。「測定の例」。分析論、第 2 部。アカデミック プレス。p. 100。ISBN 0-12-215502-5。
• Benedetto, John (1997). 「§2.1.3 定義、δ」。調和解析とその応用。CRC Press。p. 72。ISBN 0-8493-7879-6。