無限次元の演算子の共役転置
数学 、特に 作用素論 において、 内積空間 上の 各線型作用素は、その空間上の エルミート随伴 （または 随伴 ）作用素を 次 の規則に従って
定義する。
あ
{\displaystyle A}
あ
∗
{\displaystyle A^{*}}
⟨ あ x 、 ええ ⟩ = ⟨ x 、
あ
∗
ええ ⟩ 、
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}
ここで は ベクトル空間 上の 内積 です 。
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
随伴行列は、 エルミート共役行列、あるいは シャルル・エルミート にちなんで 単に エルミート行列 [1]と呼ばれることもあります。 物理学 などの分野では、特に 量子力学 の ブラケット記法 と組み合わせて使用される場合、 A † と表記されることがよくあります 。演算子を 行列 で表すことができる 有限次元 では、エルミート随伴行列は 共役転置 （エルミート転置とも呼ばれる）によって与えられます。
上記の随伴作用素の定義は、 ヒルベルト空間 上の 有界線型作用素 にそのまま拡張される。定義はさらに、有界で ない 稠密 に定義された 作用素を含むように拡張され、その定義域は、
H
{\displaystyle H}
H 。
{\displaystyle H.}
ヒルベルト空間 間の 線型写像 を考える 。詳細を考慮せずに、随伴作用素は（ほとんどの場合一意に定義される）次を 満たす
線型作用素である。
あ :
H
1
→
H
2
{\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}
あ
∗
:
H
2
→
H
1
{\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}
⟨
あ
h
1
、
h
2
⟩
H
2
=
⟨
h
1
、
あ
∗
h
2
⟩
H
1
、
{\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}
ここで は ヒルベルト空間 における 内積 であり 、これは最初の座標では線形で、 2 番目の座標では 共役線形 です。両方のヒルベルト空間が同一であり、 がそのヒルベルト空間上の演算子であるという特殊なケースに注意してください 。
⟨ ⋅ 、 ⋅
⟩
H
私
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}
H
私
{\displaystyle H_{i}}
あ
{\displaystyle A}
内積を 双対 と 交換すると、演算子 の随伴 演算子（ 転置 とも呼ばれる）を定義できます。ここで、 は対応する ノルムを持つ バナッハ空間 です 。 ここで（これも技術的なことは考慮しません）、随伴演算子は 次の
ように定義されます。
あ : え → ふ
{\displaystyle A:E\to F}
え 、 ふ
{\displaystyle E,F}
‖ ⋅
‖
え
、 ‖ ⋅
‖
ふ
{\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}
あ
∗
:
ふ
∗
→
え
∗
{\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}
あ
∗
ふ = ふ ∘ あ : あなた ↦ ふ （ あ あなた ） 、
{\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}
つまり、 の場合 。
（
あ
∗
ふ
）
（ あなた ） = ふ （ あ あなた ）
{\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}
ふ ∈
ふ
∗
、 あなた ∈ え
{\displaystyle f\in F^{*},u\in E}
ヒルベルト空間の設定における上記の定義は、実際にはヒルベルト空間をその双対と同一視するときのバナッハ空間の場合の応用に過ぎない（ リースの表現定理 を介して）。すると、がヒルベルト空間で がバナッハ空間である とき、 演算子 の随伴も得られるのは当然である。すると、双対は として 定義され 、
あ : H → え
{\displaystyle A:H\to E}
H
{\displaystyle H}
え
{\displaystyle E}
あ
∗
:
え
∗
→ H
{\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}
あ
∗
ふ =
h
ふ
{\displaystyle A^{*}f=h_{f}}
⟨
h
ふ
、 h
⟩
H
= ふ （ あ h ） 。
{\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(ああ)。}
バナッハ空間間の非有界作用素の定義 を バナッハ空間 とする 。 および とし 、 が （おそらくは有界でない）線型作用素で 稠密に定義されて いる（すなわち において稠密である ）と仮定する。その随伴作用素は 次のように定義される。領域は
（
え 、 ‖ ⋅
‖
え
）
、
（
ふ 、 ‖ ⋅
‖
ふ
）
{\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}
あ : だ （ あ ） → ふ
{\displaystyle A:D(A)\to F}
だ （ あ ） ⊂ え
{\displaystyle D(A)\subset E}
あ
{\displaystyle A}
だ （ あ ）
{\displaystyle D(A)}
E
{\displaystyle E}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
D
(
A
∗
)
:=
{
g
∈
F
∗
:
∃
c
≥
0
:
for all
u
∈
D
(
A
)
:
|
g
(
A
u
)
|
≤
c
⋅
‖
u
‖
E
}
.
{\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}
ここで、任意だが固定の を で 設定します 。 の選択 と の定義により 、 f は として 上で（一様）連続になります 。 次に、 ハーン・バナッハの定理 により、または連続による拡張を介して、 の拡張 （ と呼ばれます）が得られ 、 のすべてで定義されます。この専門的知識は、後で の 代わりに 演算子として 得るために必要です。また、これは を のすべてで拡張できる ことを意味するのでは なく、拡張は特定の要素 に対してのみ機能することに注意します 。
g
∈
D
(
A
∗
)
{\displaystyle g\in D(A^{*})}
f
:
D
(
A
)
→
R
{\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }
f
(
u
)
=
g
(
A
u
)
{\displaystyle f(u)=g(Au)}
g
{\displaystyle g}
D
(
A
∗
)
{\displaystyle D(A^{*})}
D
(
A
)
{\displaystyle D(A)}
|
f
(
u
)
|
=
|
g
(
A
u
)
|
≤
c
⋅
‖
u
‖
E
{\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}
f
{\displaystyle f}
f
^
{\displaystyle {\hat {f}}}
E
{\displaystyle E}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
D
(
A
∗
)
→
E
∗
{\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}
D
(
A
∗
)
→
(
D
(
A
)
)
∗
.
{\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}
A
{\displaystyle A}
E
{\displaystyle E}
g
∈
D
(
A
∗
)
{\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}
さて、の随伴を 次のように
定義できます。
A
{\displaystyle A}
A
∗
:
F
∗
⊃
D
(
A
∗
)
→
E
∗
g
↦
A
∗
g
=
f
^
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}
根本的な定義的アイデンティティは
g
(
A
u
)
=
(
A
∗
g
)
(
u
)
{\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}
のために
u
∈
D
(
A
)
.
{\displaystyle u\in D(A).}
ヒルベルト空間間の有界作用素の定義 H が 複素 ヒルベルト空間 で、 内積が であるとする 。 連続 線型作用素 A : H → H を考える（線型作用素の場合、連続性は有界作用素 であることと同値である）。すると、 A の随伴作用素 は連続線型作用素 A ∗ : H → H であり、次を満たす
。
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
∗
y
⟩
for all
x
,
y
∈
H
.
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}
この演算子の存在と一意性はリース表現定理 に従う 。 [2]
これは、標準的な複素内積を含む同様の特性を持つ正方行列の
随伴 行列の一般化として見ることができます。
プロパティ 有界作用素 のエルミート随伴作用素の以下の性質は 明らかである: [2]
可逆性 ： A ∗∗ = A Aが 逆行列を持つならば 、 A ∗ も逆行列を持つ。
(
A
∗
)
−
1
=
(
A
−
1
)
∗
{\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}
共役線形性 :
( A + B ) ∗ = A ∗ + B ∗ ( λA ) ∗ = λ A ∗ 、ここで λ は 複素数 λ の 複素共役 を表す。 「 反分配性 」: ( AB ) ∗ = B ∗ A ∗ A の 演算子ノルムを 次のように
定義すると、
‖
A
‖
op
:=
sup
{
‖
A
x
‖
:
‖
x
‖
≤
1
}
{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}
それから
‖
A
∗
‖
op
=
‖
A
‖
op
.
{\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}
[2] さらに、
‖
A
∗
A
‖
op
=
‖
A
‖
op
2
.
{\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}
[2] この条件を満たすノルムは、自己随伴演算子のケースから外挿すると、「最大値」のように動作すると言われています。
複素ヒルベルト空間H 上の有界線型作用素の集合は 、随伴作用素および作用素ノルムとともに C* 代数 のプロトタイプを形成します。
ヒルベルト空間間の稠密に定義された非有界作用素の随伴
意味 内積は 第1 引数で線形であるとする 。 複素ヒルベルト空間 H からそれ自身への 稠密に定義された作用素 Aは、その定義域 D ( A )が H の 稠密な 線形部分空間であり、その値が H に含まれる線形作用素である 。 [3] 定義により、その随伴 A ∗ の定義域 D ( A ∗ ) は、次を満たす
z ∈ H が存在するすべての y ∈ H の集合である。
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
z
⟩
for all
x
∈
D
(
A
)
.
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).}
の密度と リース表現定理 により 、 は一意に定義され、定義により、 [4]
D
(
A
)
{\displaystyle D(A)}
z
{\displaystyle z}
A
∗
y
=
z
.
{\displaystyle A^{*}y=z.}
特性 1.～5. は、 ドメイン と コドメイン に関する適切な節によって成り立ちます。 [ 説明が必要 ] たとえば、最後の特性は、 A 、 B 、 AB が稠密に定義された演算子である場合、 ( AB ) ∗ は B ∗ A ∗ の拡張であると述べてい ます。 [5]
カーA * =(私はAです) ⊥ 任意の 線形関数 は0であり、したがって
y
∈
ker
A
∗
,
{\displaystyle y\in \ker A^{*},}
x
↦
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
∗
y
⟩
{\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }
y
∈
(
im
A
)
⊥
.
{\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}
逆に、 の仮定により、 関数は 恒等的にゼロになります。 関数は明らかに有界であるため、 の定義 により が保証されます。 が稠密である場合、任意の に対して が で あるという事実は、 が であること を示しています 。
y
∈
(
im
A
)
⊥
{\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}
x
↦
⟨
A
x
,
y
⟩
{\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
y
∈
D
(
A
∗
)
.
{\displaystyle y\in D(A^{*}).}
x
∈
D
(
A
)
,
{\displaystyle x\in D(A),}
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
∗
y
⟩
=
0
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}
A
∗
y
∈
D
(
A
)
⊥
=
D
(
A
)
¯
⊥
=
{
0
}
,
{\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}
D
(
A
)
{\displaystyle D(A)}
この性質は、が位相的に閉じていない ときでも が位相的に閉じた部分空間であることを示します 。
ker
A
∗
{\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}
D
(
A
∗
)
{\displaystyle D(A^{*})}
幾何学的解釈 とがヒルベルト空間である ならば 、 は内積
H
1
{\displaystyle H_{1}}
H
2
{\displaystyle H_{2}}
H
1
⊕
H
2
{\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}
⟨
(
a
,
b
)
,
(
c
,
d
)
⟩
H
1
⊕
H
2
=
def
⟨
a
,
c
⟩
H
1
+
⟨
b
,
d
⟩
H
2
,
{\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}
どこで そして
a
,
c
∈
H
1
{\displaystyle a,c\in H_{1}}
b
,
d
∈
H
2
.
{\displaystyle b,d\in H_{2}.}
をシンプレクティック 写像と する 。 つまりグラフ
J
:
H
⊕
H
→
H
⊕
H
{\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}
J
(
ξ
,
η
)
=
(
−
η
,
ξ
)
.
{\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}
G
(
A
∗
)
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
∈
D
(
A
∗
)
,
y
=
A
∗
x
}
⊆
H
⊕
H
{\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}
の 直交補 集合 は
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
J
G
(
A
)
:
{\displaystyle JG(A):}
G
(
A
∗
)
=
(
J
G
(
A
)
)
⊥
=
{
(
x
,
y
)
∈
H
⊕
H
:
⟨
(
x
,
y
)
,
(
−
A
ξ
,
ξ
)
⟩
H
⊕
H
=
0
∀
ξ
∈
D
(
A
)
}
.
{\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}
この主張は、同値関係から導かれる。
⟨
(
x
,
y
)
,
(
−
A
ξ
,
ξ
)
⟩
=
0
⇔
⟨
A
ξ
,
x
⟩
=
⟨
ξ
,
y
⟩
,
{\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}
そして
[
∀
ξ
∈
D
(
A
)
⟨
A
ξ
,
x
⟩
=
⟨
ξ
,
y
⟩
]
⇔
x
∈
D
(
A
∗
)
&
y
=
A
∗
x
.
{\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}
帰結
あ * 閉まっている グラフ が位相的に閉じている場合、 演算子は 閉じて います。 随伴演算子の グラフ は部分空間の直交補空間であるため、閉じています。
A
{\displaystyle A}
G
(
A
)
{\displaystyle G(A)}
H
⊕
H
.
{\displaystyle H\oplus H.}
G
(
A
∗
)
{\displaystyle G(A^{*})}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
あ * 密に定義されている ─ A は閉じられる グラフの 位相閉包が 関数のグラフである場合、 演算子は 閉包可能 である。 は（閉）線形部分空間であるため、「関数」という語は「線形演算子」に置き換えられる。同じ理由で、が閉包可能 である のは、
A
{\displaystyle A}
G
cl
(
A
)
⊆
H
⊕
H
{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}
G
(
A
)
{\displaystyle G(A)}
G
cl
(
A
)
{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}
A
{\displaystyle A}
(
0
,
v
)
∉
G
cl
(
A
)
{\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}
v
=
0.
{\displaystyle v=0.}
随伴関数 が密に定義されるのは、 閉包可能である場合のみである。これは、任意の
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
{\displaystyle A}
v
∈
H
,
{\displaystyle v\in H,}
v
∈
D
(
A
∗
)
⊥
⇔
(
0
,
v
)
∈
G
cl
(
A
)
,
{\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}
これは、次の同値性の連鎖を通じて証明されます。
v
∈
D
(
A
∗
)
⊥
⟺
(
v
,
0
)
∈
G
(
A
∗
)
⊥
⟺
(
v
,
0
)
∈
(
J
G
(
A
)
)
cl
=
J
G
cl
(
A
)
⟺
(
0
,
−
v
)
=
J
−
1
(
v
,
0
)
∈
G
cl
(
A
)
⟺
(
0
,
v
)
∈
G
cl
(
A
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}
あ ** = あ cl 演算子の 閉包 とは 、グラフが関数を表す場合の グラフである演算子のことである。上記の ように、「関数」という単語は「演算子」に置き換えられることがある。さらに、
A
cl
{\displaystyle A^{\text{cl}}}
A
{\displaystyle A}
G
cl
(
A
)
{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}
A
∗
∗
=
A
cl
,
{\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}
G
(
A
∗
∗
)
=
G
cl
(
A
)
.
{\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}
これを証明するには、すなわち 、 すべて
の
J
∗
=
−
J
,
{\displaystyle J^{*}=-J,}
⟨
J
x
,
y
⟩
H
⊕
H
=
−
⟨
x
,
J
y
⟩
H
⊕
H
,
{\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}
x
,
y
∈
H
⊕
H
.
{\displaystyle x,y\in H\oplus H.}
⟨
J
(
x
1
,
x
2
)
,
(
y
1
,
y
2
)
⟩
H
⊕
H
=
⟨
(
−
x
2
,
x
1
)
,
(
y
1
,
y
2
)
⟩
H
⊕
H
=
⟨
−
x
2
,
y
1
⟩
H
+
⟨
x
1
,
y
2
⟩
H
=
⟨
x
1
,
y
2
⟩
H
+
⟨
x
2
,
−
y
1
⟩
H
=
⟨
(
x
1
,
x
2
)
,
−
J
(
y
1
,
y
2
)
⟩
H
⊕
H
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}
特に、 すべての部分空間に対して 、 が成り立つとき、が成り立つ 。したがって、 を 代入する と、
y
∈
H
⊕
H
{\displaystyle y\in H\oplus H}
V
⊆
H
⊕
H
,
{\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}
y
∈
(
J
V
)
⊥
{\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}
J
y
∈
V
⊥
.
{\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}
J
[
(
J
V
)
⊥
]
=
V
⊥
{\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}
[
J
[
(
J
V
)
⊥
]
]
⊥
=
V
cl
.
{\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}
V
=
G
(
A
)
,
{\displaystyle V=G(A),}
G
cl
(
A
)
=
G
(
A
∗
∗
)
.
{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}
あ * = (A cl ） * 閉じられる演算子は 、 確かに、
A
,
{\displaystyle A,}
A
∗
=
(
A
cl
)
∗
,
{\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}
G
(
A
∗
)
=
G
(
(
A
cl
)
∗
)
.
{\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}
G
(
(
A
cl
)
∗
)
=
(
J
G
cl
(
A
)
)
⊥
=
(
(
J
G
(
A
)
)
cl
)
⊥
=
(
J
G
(
A
)
)
⊥
=
G
(
A
∗
)
.
{\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}
副項が密に定義されていない場合の反例 を線形測度と します 。測定可能で有界で非同一ゼロ関数を選択し 、 定義を
選択します。
H
=
L
2
(
R
,
l
)
,
{\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}
l
{\displaystyle l}
f
∉
L
2
,
{\displaystyle f\notin L^{2},}
φ
0
∈
L
2
∖
{
0
}
.
{\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}
A
φ
=
⟨
f
,
φ
⟩
φ
0
.
{\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}
部分空間に は コンパクトな台を持つ関数が すべて含まれる。は 密に定義されているので、すべての 関数と
D
(
A
)
=
{
φ
∈
L
2
∣
⟨
f
,
φ
⟩
≠
∞
}
.
{\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}
D
(
A
)
{\displaystyle D(A)}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
1
[
−
n
,
n
]
⋅
φ
→
L
2
φ
,
{\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}
A
{\displaystyle A}
φ
∈
D
(
A
)
{\displaystyle \varphi \in D(A)}
ψ
∈
D
(
A
∗
)
,
{\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}
⟨
φ
,
A
∗
ψ
⟩
=
⟨
A
φ
,
ψ
⟩
=
⟨
⟨
f
,
φ
⟩
φ
0
,
ψ
⟩
=
⟨
f
,
φ
⟩
⋅
⟨
φ
0
,
ψ
⟩
=
⟨
φ
,
⟨
φ
0
,
ψ
⟩
f
⟩
.
{\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}
したがって、 随伴演算子の定義は、 これが可能である場合にのみ必要となる ため 、この理由から、 したがって、 は稠密に定義されておらず、上で同一にゼロである。 その結果、 は閉じられず、2番目の随伴演算子を持たない。
A
∗
ψ
=
⟨
φ
0
,
ψ
⟩
f
.
{\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}
Im
A
∗
⊆
H
=
L
2
.
{\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}
f
∉
L
2
,
{\displaystyle f\notin L^{2},}
⟨
φ
0
,
ψ
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}
D
(
A
∗
)
=
{
φ
0
}
⊥
.
{\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
D
(
A
∗
)
.
{\displaystyle D(A^{*}).}
A
{\displaystyle A}
A
∗
∗
.
{\displaystyle A^{**}.}
エルミート演算子 有界作用素 A : H → H は 、次の式を満足する場合、
エルミート作用素または 自己随伴作用素 と呼ばれる。
A
=
A
∗
{\displaystyle A=A^{*}}
これは次の式と同等である。
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
y
⟩
for all
x
,
y
∈
H
.
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}
[6] ある意味では、これらの演算子は実数 の役割を果たし （自身の「複素共役」に等しい）、実 ベクトル空間を形成します。これらは 量子力学 における実数値 観測量 のモデルとして機能します。 詳細については、
自己随伴演算子 に関する記事を参照してください。
共役線形演算子の随伴 共役線型作用素 の場合、 複素共役を補正するために随伴の定義を調整する必要がある。 複素ヒルベルト空間 H上の共役線型作用素 A の随伴作用素は、次の性質を持つ
共役線型作用素 A ∗ : H → Hである。
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
∗
y
⟩
¯
for all
x
,
y
∈
H
.
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}
その他の副詞 方程式
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
∗
y
⟩
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }
は、圏論 における 随伴関数 のペアの定義特性と形式的には類似しており 、随伴関数の名前の由来はここにあります。
参照
参考文献
^ ミラー、デビッドAB（2008年）。 科学者とエンジニアのための量子力学 。ケンブリッジ大学出版局。pp.262、280。 ^ abcd リード & サイモン 2003、186–187 ページ。ルーディン 1991、§12.9 ^詳細については、 無制限演算子 を参照してください 。 ^ リード＆サイモン 2003、p. 252; ルディン 1991、§13.1 ^ ルディン 1991, Thm 13.2 ^ リード＆サイモン 2003、187ページ; ルディン 1991、§12.11
ブレジス、ハイム（2011）、 関数解析、ソボレフ空間および偏微分方程式 （初版）、シュプリンガー、 ISBN 978-0-387-70913-0 。 リード、マイケル、サイモン、バリー（2003）、 機能分析 、エルゼビア、 ISBN 981-4141-65-8 。 ルディン、ウォルター (1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277.
![{\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef08845a4e6b5c5316f9bdda07e3c38da51f570)
![{\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723d7ea58636701d9f5b1d99ce6249be55bc0f79)
![{\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c34975eeb5407e708b35f3259304d2c5cb94e4)
![{\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbe608ee811b450f110628a5756aca920f66ed0)
