副産物

圏論とその数学への応用では、零個の対象を持つ圏における、対象の有限集合の副積は、積と余積の両方である。前加法圏では、積と余積の概念は、対象の有限集合に対して一致する。^[1]副積は、加群の有限直和の一般化である。

C を射がゼロのカテゴリとする。C内のオブジェクトA ₁ , ..., A _nの有限（空の可能性もある）コレクションが与えられたとき、それらの副積はC内のオブジェクトと射 ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$

• ${\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}}$C （射影射影）​
• ${\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$（埋め込み射）

満足のいく

• ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$の恒等写像と${\displaystyle A_{k},}$
• ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$の零射 は${\displaystyle A_{k}\to A_{l},}$${\displaystyle k\neq l,}$

そして、

• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$は、および​${\textstyle A_{k},}$
• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$は、​${\textstyle A_{k}.}$

C が前加法的であり、最初の 2 つの条件が成り立つ場合、最後の 2 つの条件はそれぞれn > 0 の場合と同等です^。[2]空またはゼロ項の積は常にカテゴリの終端オブジェクトであり、空コ積は常にカテゴリの初期オブジェクトです。したがって、空またはゼロ項の二重積は常にゼロオブジェクトです。 ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}$

アーベル群のカテゴリでは、双積は常に存在し、直和によって与えられます。^[3]零対象は自明群です。

同様に、体上のベクトル空間のカテゴリにも、重積が存在します。重積は再び直和であり、零点オブジェクトは自明なベクトル空間です。

より一般的には、環上の加群のカテゴリに副積が存在します。

一方、群のカテゴリには副積は存在しません。^[4]ここで、積は直積ですが、副積は自由積です。

また、集合のカテゴリには、複積は存在しません。なぜなら、積は直積によって与えられ、余積は互いに素な和によって与えられるからです。このカテゴリには、ゼロ オブジェクトはありません。

ブロック行列代数は行列のカテゴリにおける複積に依存します。^[5]

カテゴリC内のオブジェクトAとBのすべてのペアに対して副積が存在し、Cにゼロオブジェクトがある場合、すべての有限副積が存在するため、C はデカルトモノイドカテゴリとコデカルトモノイドカテゴリ の両方になります。${\textstyle A\oplus B}$

あるオブジェクトA ₁、A ₂のペアに対して積と余積が両方とも存在する場合、次のような 唯一の射が存在する。${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$${\textstyle A_{1}\coprod A_{2}}$${\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}$

• ${\displaystyle p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ f\circ i_{k}=0}$^[説明が必要^]${\textstyle k\neq l.}$

したがって、 fが同型である場合にのみ、副積が存在することになります。 ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$

C が前加法カテゴリである場合、すべての有限積は副積であり、すべての有限余積は副積である。たとえば、 が存在する場合、次のよう な一意の射が存在する。${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$

• ${\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ i_{k}=0}$のために${\textstyle k\neq l.}$

が余積、つまり副積でもあることを確認するために、何らかのオブジェクト に対する射があると仮定します。 を定義します。すると、はから への射であり、に対する射です。 ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$${\textstyle X}$${\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.}$${\textstyle f}$${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$${\textstyle X}$${\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}}$${\textstyle k=1,2}$

この場合、常に

• ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.}$

加法カテゴリは、すべての有限な二重積が存在する前加法カテゴリです。特に、アーベルカテゴリには二重積が常に存在します。

• ボルセ、フランシス (2008)。『カテゴリー代数ハンドブック 2: カテゴリーと構造』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-06122-3。^{: セクション 1.2}