群から環への有限台関数の集合
代数学 において 、 群環は 自由加群 である と同時に、任意の環と任意の 群 から自然な方法で構築される 環 でもあります。自由加群の場合、そのスカラー環は与えられた環であり、その基底は与えられた群の元の集合です。環の場合、その加法則は自由加群の加法則であり、その乗法は基底上の与えられた群則を「線形性によって」拡張します。より形式的には、群環は、与えられた群の各要素に与えられた環からの「重み係数」を付加することによって与えられた群を一般化したものです。
環が可換である場合、群環は 群代数 とも呼ばれます。なぜなら、それは実際に与えられた環上の 代数 だからです。体上の群代数は ホップ代数 のさらなる構造を持ちます。この場合、それは 群ホップ代数 と呼ばれます。
群環の装置は群表現 の理論において特に有用である 。
意味 を乗法的に書かれた群とし、を環とする 。 上の の群環は 、 または単に と 表記され、 有限サポート （ は有限個の元 に対してのみ非ゼロ） の マッピングの集合である。ここで、 の スカラー とマッピングの モジュールスカラー積は マッピング として定義され 、2つのマッピングと のモジュール群和 は マッピング として定義される 。加法群を 環にするには、 との積を マッピング として
定義する。
グ
{\displaystyle G}
R
{\displaystyle R}
グ
{\displaystyle G}
R
{\displaystyle R}
R [ グ ]
{\displaystyle R[G]}
R グ
{\displaystyle RG}
ふ : グ → R
{\displaystyle f\colon G\to R}
ふ （ グ ）
{\displaystyle f(g)}
グ
{\displaystyle g}
α ふ
{\displaystyle \alpha f}
α
{\displaystyle \alpha}
R
{\displaystyle R}
ふ
{\displaystyle f}
x ↦ α ⋅ ふ （ x ）
{\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot f(x)}
ふ
{\displaystyle f}
グ
{\displaystyle g}
x ↦ ふ （ x ） + グ （ x ）
{\displaystyle x\mapsto f(x)+g(x)}
R [ グ ]
{\displaystyle R[G]}
ふ
{\displaystyle f}
グ
{\displaystyle g}
x ↦
∑
あなた ヴ = x
ふ （ あなた ） グ （ ヴ ） =
∑
あなた ∈ グ
ふ （ あなた ） グ （
あなた
− 1
x ） 。
{\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).}
と は有限台である ため、この和は正当であり 、環の公理は容易に検証されます。
ふ
{\displaystyle f}
グ
{\displaystyle g}
表記法や用語にはいくつかのバリエーションが使用されています。特に、 のようなマッピングは、 の係数を持つ の 元の形式的な線形結合と呼ばれるものとして記述されることが あります [1]
。
ふ : グ → R
{\displaystyle f:G\to R}
グ
{\displaystyle G}
R
{\displaystyle R}
∑
グ ∈ グ
ふ （ グ ） グ 、
{\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,}
あるいは単に
∑
グ ∈ グ
ふ
グ
グ 。
{\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g.}
[2] 環 が実際に体である場合 、群環のモジュール構造は 実際には 上のベクトル空間であることに注意してください 。
R
{\displaystyle R}
け
{\displaystyle K}
R グ
{\displaystyle RG}
け
{\displaystyle K}
例 1. G = C 3 、つまり 生成元 と単位元が 1 G である 3次巡回群 とする。C [ G ]の 元 r は 次のように書ける
。
1つの
{\displaystyle a}
r =
ず
0
1
グ
+
ず
1
1つの +
ず
2
1つの
2
{\displaystyle r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,}
ここで、 z 0 、 z 1 、 z 2は C の複素数 です。これは、 C [ G ]が 環 C [ ]/と同型である ような 変数の 多項式 環 と同じものです 。
1つの
{\displaystyle a}
1つの
3
=
1つの
0
= 1
{\displaystyle a^{3}=a^{0}=1}
1つの
{\displaystyle a}
（
1つの
3
− 1 ）
{\displaystyle (a^{3}-1)}
異なる要素 sを と書き 、それらの和は
s =
わ
0
1
グ
+
わ
1
1つの +
わ
2
1つの
2
{\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}
r + s = （
ず
0
+
わ
0
）
1
グ
+ （
ず
1
+
わ
1
） 1つの + （
ず
2
+
わ
2
）
1つの
2
{\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2 }\,}
そして彼らの製品は
r s = （
ず
0
わ
0
+
ず
1
わ
2
+
ず
2
わ
1
）
1
グ
+ （
ず
0
わ
1
+
ず
1
わ
0
+
ず
2
わ
2
） 1つの + （
ず
0
わ
2
+
ず
2
わ
0
+
ず
1
わ
1
）
1つの
2
。
{\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1} w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.}
G の 単位元 1 G は係数環 (この場合は C )の C [ G ] への標準埋め込みを誘導することに注意してください。ただし、厳密に言えば、 C [ G ]の乗法単位元は 1⋅1 G であり、最初の 1 は C から 、2 番目は G から来ます。加法単位元はゼロです。
G が非可換群である
場合、項を乗算するときに群の要素の順序を保存する（そして誤って交換しないようにする）ように注意する必要があります。
2.環 R上の ローラン多項式 環は、 R 上の 無限巡回群 Z の群環である 。
3. Q を の元を持つ四元数群と する 。 群環 R Q を考える。ここで R は 実数全体の集合である。この群環の任意の元は、
{ e 、
e ¯
、 私 、
私 ¯
、 じゅう 、
じゅう ¯
、 け 、
け ¯
}
{\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}}
x
1
⋅ e +
x
2
⋅
e ¯
+
x
3
⋅ 私 +
x
4
⋅
私 ¯
+
x
5
⋅ じゅう +
x
6
⋅
じゅう ¯
+
x
7
⋅ け +
x
8
⋅
け ¯
{\displaystyle x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}}
ここで は 実数です。
x
私
{\displaystyle x_{i}}
他の群環と同様に、乗算は群演算に基づいて定義されます。たとえば、
（
3 ⋅ e +
2
⋅ 私
）
（
1 2
⋅
じゅう ¯
）
= （ 3 ⋅ e ）
（
1 2
⋅
じゅう ¯
）
+ （
2
⋅ 私 ）
（
1 2
⋅
じゅう ¯
）
=
3 2
⋅
（
（ e ） （
じゅう ¯
）
）
+
2
2
⋅
（
（ 私 ） （
じゅう ¯
）
）
=
3 2
⋅
じゅう ¯
+
2
2
⋅
け ¯
。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\bar {k}}\end{aligned}}.}
R Q は 、 R 上の 四元数 の歪体と同じではない ことに注意してください 。これは、四元数の歪体が、 などの環における追加の関係を満たすのに対し 、群環 R Q では、 は と等しくないためです 。より具体的には、群環 R Q は 実 ベクトル空間 として 8 次元を持ちますが、四元数の歪体は 実ベクトル空間 として 4 次元を持ちます。
−
1
⋅
i
=
−
i
{\displaystyle -1\cdot i=-i}
−
1
⋅
i
{\displaystyle -1\cdot i}
1
⋅
i
¯
{\displaystyle 1\cdot {\bar {i}}}
4. 非アーベル群環のもう 1 つの例は、 3 文字の対称群です。これは、 要素 が1 と 2 を入れ替え た転置 であるため、整域ではありません 。したがって、基になる環が整域であっても、群環は整域である必要はありません。
Z
[
S
3
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]}
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} _{3}}
[
1
−
(
12
)
]
∗
[
1
+
(
12
)
]
=
1
−
(
12
)
+
(
12
)
−
(
12
)
(
12
)
=
1
−
1
=
0
{\displaystyle [1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0}
(
12
)
∈
S
3
{\displaystyle (12)\in \mathbb {S} _{3}}
いくつかの基本的な特性 環R の乗法単位元を 1 で表し 、群単位元を 1 G で表すと、環 R [ G ] には R と同型な部分環が含まれ、その可逆元群には G と同型な部分群が含まれる。 {1 G } の指示関数 、つまり次のように定義される
ベクトル f を考えると、
f
(
g
)
=
1
⋅
1
G
+
∑
g
≠
1
G
0
⋅
g
=
1
{
1
G
}
(
g
)
=
{
1
g
=
1
G
0
g
≠
1
G
,
{\displaystyle f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},}
f のすべてのスカラー倍数の集合は R [ G ] の R と同型な 部分環である。そして、 G の各要素 s を{ s }の指示関数に 写すと、それは 次のように定義される
ベクトル fとなる。
f
(
g
)
=
1
⋅
s
+
∑
g
≠
s
0
⋅
g
=
1
{
s
}
(
g
)
=
{
1
g
=
s
0
g
≠
s
{\displaystyle f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}}
結果として得られる写像は、（ R [ G ]における加算ではなく乗算に関して ）入射的な群準同型である。
R と G が 両方とも可換である場合 （つまり、 R が可換であり、 Gが アーベル群 である場合 ）、 R [ G ] は可換です。
H が G の サブグループ である 場合 、 R [ H ] は R [ G ]の サブリング です。同様に、 S が R のサブリングである場合 、 S [ G ] は R [ G ]のサブリングです 。
G が1 より大きい位数の有限群である 場合、 R [ G ] には常に 零因子 が存在します。たとえば、 位数 | g | = m > 1 の G の元 g を 考えます。この場合、1 - g は 零因子になります。
(
1
−
g
)
(
1
+
g
+
⋯
+
g
m
−
1
)
=
1
−
g
m
=
1
−
1
=
0.
{\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0.}
例えば、群環 Z [ S 3 ]と位数3の元 g =(123)を考える。この場合、
(
1
−
(
123
)
)
(
1
+
(
123
)
+
(
132
)
)
=
1
−
(
123
)
3
=
1
−
1
=
0.
{\displaystyle (1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0.}
関連する結果: 群環 が 素数で ある場合、 G には非単位有限正規部分群が存在しません (特に、 G は 無限である必要があります)。
K
[
G
]
{\displaystyle K[G]}
証明: 逆説 を 考慮して、 が の非単位有限正規部分群であるとします 。 をとります 。 任意の に対して が 分かるので、 したがって となります。 をとると が成り立ちます 。 の正規性により 、は の基底と可換であり 、したがって
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
a
=
∑
h
∈
H
h
{\displaystyle a=\sum _{h\in H}h}
h
H
=
H
{\displaystyle hH=H}
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
h
a
=
a
{\displaystyle ha=a}
a
2
=
∑
h
∈
H
h
a
=
|
H
|
a
{\displaystyle a^{2}=\sum _{h\in H}ha=|H|a}
b
=
|
H
|
1
−
a
{\displaystyle b=|H|\,1-a}
a
b
=
0
{\displaystyle ab=0}
H
{\displaystyle H}
a
{\displaystyle a}
K
[
G
]
{\displaystyle K[G]}
a
K
[
G
]
b
=
K
[
G
]
a
b
=
0
{\displaystyle aK[G]b=K[G]ab=0}
。 そして、 はゼロではない ことがわかり、 は 素数ではないことがわかります。これは元のステートメントを示しています。
a
,
b
{\displaystyle a,b}
K
[
G
]
{\displaystyle K[G]}
有限群上の群代数 群代数は有限群 の 群表現 の理論で自然に現れる。 体 K 上の群代数 K [ G ]は本質的に群環であり、体 K が環の代わりとなる。集合およびベクトル空間として、それは 体 K上の G 上の 自由ベクトル空間 である。つまり、 K [ G ]
内の xに対して、
x
=
∑
g
∈
G
a
g
g
.
{\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g.}
ベクトル空間上の代数構造は 、 群内の乗算を使用して定義されます。
g
⋅
h
=
g
h
,
{\displaystyle g\cdot h=gh,}
ここで、左側の g と h は 群代数の要素を示し、右側の乗算は群演算（並置で表される）です。
上記の乗算はわかりにくいので、 K [ G ] の 基底ベクトルを g ではなく e g と書くこともできます。この場合、乗算は次のように書きます。
e
g
⋅
e
h
=
e
g
h
.
{\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.}
関数としての解釈 自由ベクトル空間を G上の K 値関数 として 考えると 、代数乗算は関数の 畳み込み になります。
有限 群の群代数は 群上の関数の空間と同一視できますが、無限群の場合は異なります。 有限和からなる群代数は、 有限 個の点に対して消える群上の関数に対応します 。位相的には（ 離散位相 を使用して）、これらは コンパクトなサポート を持つ関数に対応します。
しかし、群代数 K [ G ]と関数空間 K G := Hom( G , K ) は双対である。群代数の元が与えられたとき、
x
=
∑
g
∈
G
a
g
g
{\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}
群 f : G → K 上の関数は、これらを対にして
K の元を与える。
(
x
,
f
)
=
∑
g
∈
G
a
g
f
(
g
)
,
{\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}
これは有限なので明確に定義された合計です。
群代数の表現 K [ G ] を抽象代数と すると、次元 d の K ベクトル空間 V に作用する代数の 表現 を求めることができる。そのような表現は
ρ
~
:
K
[
G
]
→
End
(
V
)
{\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V)}
は、群代数から V の 自己準同型代数への代数準同型であり、これは d × d 行列 の環に同型です 。同様に、これは アーベル群 V上の 左 K [ G ] 加群 です。
E
n
d
(
V
)
≅
M
d
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {End} (V)\cong M_{d}(K)}
同様に、グループ表現
ρ
:
G
→
Aut
(
V
)
,
{\displaystyle \rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),}
は、 Gから V の線型自己同型群への 群準同型であり、これは 可逆行列の 一般線型群 に同型である: 。このような表現はいずれも代数表現を誘導する。
A
u
t
(
V
)
≅
G
L
d
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (V)\cong \mathrm {GL} _{d}(K)}
ρ
~
:
K
[
G
]
→
End
(
V
)
,
{\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),}
単に と を線形に拡張するだけでよい。したがって、群の表現は代数の表現と正確に対応し、2 つの理論は本質的に同等である。
ρ
~
(
e
g
)
=
ρ
(
g
)
{\displaystyle {\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)}
通常の表現 群代数はそれ自身の代数であり、 R および R [ G ] 加群上の表現の対応のもとで、群の
正規表現 となる。
表現として書くと、これは表現 g ↦ ρ g であり、作用は で与えられる 。
ρ
(
g
)
⋅
e
h
=
e
g
h
{\displaystyle \rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}}
ρ
(
g
)
⋅
r
=
∑
h
∈
G
k
h
ρ
(
g
)
⋅
e
h
=
∑
h
∈
G
k
h
e
g
h
.
{\displaystyle \rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.}
半単純分解 ベクトル空間 K [ G ] の次元は、群の要素の数にちょうど等しくなります。体 K は一般に複素数 C または実数 R とみなされるため、群代数 C [ G ] または R [ G ] について議論します。
複素数上の有限群の 群代数 C [ G ] は 半単純環 である。この結果、つまり マシュケの定理により、 C [ G ] を C の要素を持つ 行列環 の 有限 積 として理解することができる。実際、 k = 1, . . . , m に対して G の 複素 既約表現を V k として列挙すると 、これらは 群準同型 に対応し、したがって代数準同型に対応する 。これらの写像を組み立てると、代数同型が得られる。
ρ
k
:
G
→
A
u
t
(
V
k
)
{\displaystyle \rho _{k}:G\to \mathrm {Aut} (V_{k})}
ρ
~
k
:
C
[
G
]
→
E
n
d
(
V
k
)
{\displaystyle {\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})}
ρ
~
:
C
[
G
]
→
⨁
k
=
1
m
E
n
d
(
V
k
)
≅
⨁
k
=
1
m
M
d
k
(
C
)
,
{\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),}
ここで、 d k は V k の次元である。End ( V k )に対応する C [ G ]の部分代数は、 冪 等 な
ϵ
k
=
d
k
|
G
|
∑
g
∈
G
χ
k
(
g
−
1
)
g
,
{\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {d_{k}}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{k}(g^{-1})\,g,}
ここで は V k の 指標 です 。これらは完全な直交べき等系を形成し、 j ≠ k に対して 、 となります 。 同型 性 は 有限 群上のフーリエ変換 と密接に関連しています 。
χ
k
(
g
)
=
t
r
ρ
k
(
g
)
{\displaystyle \chi _{k}(g)=\mathrm {tr} \,\rho _{k}(g)}
ϵ
k
2
=
ϵ
k
{\displaystyle \epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{k}}
ϵ
j
ϵ
k
=
0
{\displaystyle \epsilon _{j}\epsilon _{k}=0}
1
=
ϵ
1
+
⋯
+
ϵ
m
{\displaystyle 1=\epsilon _{1}+\cdots +\epsilon _{m}}
ρ
~
{\displaystyle {\tilde {\rho }}}
より一般的な体 K では、 K の 特性が群 G の位数を割り切らない ときはいつでも 、 K [ G ] は半単純です。 G が 有限 アーベル群 のとき、群環 K [G] は可換であり、その構造は 単位根 で簡単に表現できます 。
K が G の位数を割り切る特性 p の体である 場合 、群環は半単純では ありません 。つまり、群環はゼロでない ヤコブソン根基 を持ち、これにより、 モジュラー表現論 の対応する主題に独自のより深い特徴が与えられます。
群代数の中心 群代数の中心 は 、群代数のすべての要素と可換な要素の集合です。
Z
(
K
[
G
]
)
:=
{
z
∈
K
[
G
]
:
∀
r
∈
K
[
G
]
,
z
r
=
r
z
}
.
{\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.}
中心はクラス関数 の集合 、つまり各共役クラスで定数である要素の集合
に等しい。
Z
(
K
[
G
]
)
=
{
∑
g
∈
G
a
g
g
:
∀
g
,
h
∈
G
,
a
g
=
a
h
−
1
g
h
}
.
{\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.}
K = C のとき、 G の既約 指標 の集合は 内積に関して
Z( K [ G ])の正規直交基底を形成する。
⟨
∑
g
∈
G
a
g
g
,
∑
g
∈
G
b
g
g
⟩
=
1
|
G
|
∑
g
∈
G
a
¯
g
b
g
.
{\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.}
無限群上の群環 G が可算無限、つまり非可算な 場合はあまり知られていないが、これは活発に研究されている分野である。 [3] R が複素数体の 場合がおそらく最もよく研究されている。この場合、 アーヴィング・カプランスキーは、 a と bが C [ G ] の元で ab = 1 の場合、 ba = 1 であることを証明した。R が 正の特性を持つ体の場合にこれが真であるかどうかは 不明である。
カプランスキーの 長年の予想 (~1940) によれば、 G が捩れのない群で K が 体 で ある場合、群環 K [ G ] には非自明な 零因子 が存在しない。この予想は、 K と G に対する同じ仮定の下で、 K [ G ] に非自明な 冪零点 が存在しないということと同等である。
実際、 K が体であるという条件は、 整域 に埋め込むことができる任意の環に緩和できます。
この予想は一般性を完全には満たしていないが、捩れのない群のいくつかの特殊なケースではゼロ因子予想を満たすことが示されてきた。これには以下が含まれる。
Gが 位相群 で ある場合については、「 局所コンパクト群の群代数」 の記事で詳しく説明します 。
カテゴリー理論
副次的 カテゴリ的には 、群環構成は 「 単位群」に 左随伴します 。次の関数は 随伴ペア です。
R
[
−
]
:
G
r
p
→
R
-
A
l
g
{\displaystyle R[-]\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} }
(
−
)
×
:
R
-
A
l
g
→
G
r
p
{\displaystyle (-)^{\times }\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} }
ここで、 は R 上の群環に群をとおし 、 は 単位群に
R 代数をとおします。
R
[
−
]
{\displaystyle R[-]}
(
−
)
×
{\displaystyle (-)^{\times }}
R = Z のとき、これは 群のカテゴリ と 環のカテゴリ の間の随伴を与え 、随伴の単位は群 G を自明な単位を含む群に導く: G × {±1} = {± g }。 一般に、群環は非自明な単位を含む。G が および b が 正規化されない ような元 a と b を 含む場合 、
a
n
=
1
{\displaystyle a^{n}=1}
⟨
a
⟩
{\displaystyle \langle a\rangle }
x
=
(
a
−
1
)
b
(
1
+
a
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
)
{\displaystyle x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)}
はゼロなので 、 。元 1 + x は無限次数の単位です。
(
1
+
x
)
(
1
−
x
)
=
1
{\displaystyle (1+x)(1-x)=1}
普遍的な財産 上記の随伴は群環の普遍的性質を表現している。 [2] [4] R を （可換）環、 Gを 群、 Sを R 代数とする 。任意の群準同型に対して、 iが 包含関係
に ある唯一の R 代数準同型 が存在する。
f
:
G
→
S
×
{\displaystyle f:G\to S^{\times }}
f
¯
:
R
[
G
]
→
S
{\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S}
f
¯
×
∘
i
=
f
{\displaystyle {\overline {f}}^{\times }\circ i=f}
i
:
G
⟶
R
[
G
]
g
⟼
1
R
g
{\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}
言い換えれば、 次の図式が可換となる唯一の準同型性です。
f
¯
{\displaystyle {\overline {f}}}
この性質を満たす他の環は、 群環と
標準的に同型です。
ホップ代数 群代数 K [ G ] は ホップ代数 の自然な構造を持ちます 。共乗法は によって定義され 、線形に拡張されます。また、対蹠法は によって定義され、 これも線形に拡張されます。
Δ
(
g
)
=
g
⊗
g
{\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g}
S
(
g
)
=
g
−
1
{\displaystyle S(g)=g^{-1}}
一般化 群代数は モノイド環 に一般化され、そこから カテゴリ代数 に一般化されます。カテゴリ代数の別の例としては、 接続代数 があります。
濾過 群が 長さ関数 を持つ場合、たとえば、生成元が選択可能で、 コクセター群 のように メトリックという語 を取る場合、群環は フィルタ代数 になります。
参照
表現論
カテゴリー理論
注記
^ Milies & Sehgal (2002)、129ページと131ページ。 ^ ab ミリエスとセーガル (2002)、p. 131. ^ パスマン、ドナルド S. (1976)。「グループリングとは何か?」 アメリカ数学月刊 誌 83 (3): 173–185. doi :10.2307/2977018. JSTOR 2977018. ^ 「nLab における群代数」 ncatlab.org . 2017 年 11 月 1 日 閲覧 。
参考文献 
![{\displaystyle R[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfc4570ea0faa6453735827f1e877904ecf78fe)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a41e913aac75ef679a6251bbf0e2ff217d20b5d)
![{\displaystyle [1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d968813ad0f95b63436253e9edce9c868916c4)
![{\displaystyle K[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083a999799be375d1cbc5c62575915924775f275)
![{\displaystyle aK[G]b=K[G]ab=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be7ff42c65bf7c43decc11c24c5ef3c07f875d2)
![{\displaystyle {\tilde {\rho}}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a96040d4476eea8d19012c84906e0a35881d156)
![{\displaystyle {\tilde {\rho}}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14eb4763325de6bdcc0158545cb036bed28c4de8)
![{\displaystyle {\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d749a14718306eb90f6f77de39fb395a4eadedd6)
![{\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32480bf1e7555ebdf19f985dabf3c810dd662cc4)
![{\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b60fa5d7c2451235a6658afb5644944dc79cf2b)
![{\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940e77fb391055cdae2b48a0757b4a42f20cd3be)
![{\displaystyle R[-]\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f85deeb60681eb46128f6b7f5c6b032e0337785)
![{\displaystyle R[-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecad2c6ecbe39bfe4eb44c9b5355d18afab5eefd)
![{\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f184face4defb30b7fc9fcf45032637c0babb984)
![{\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a052a92b00861b4149f39295b55502b5391439)
