既約多項式

数学において、既約多項式とは、大まかに言えば、 2 つの非定数多項式の積に因数分解できない多項式のことです。既約性は、可能な因数として受け入れられる係数の性質、つまり、多項式の係数とその可能な因数が属すると想定される環によって決まります。たとえば、多項式x ² − 2は整数係数の多項式ですが、すべての整数は実数でもあるため、実数係数の多項式でもあります。整数係数の多項式として考えれば既約ですが、実数係数の多項式として考えた場合と同じように因数分解されます。多項式x ² − 2は整数上では既約ですが、実数上では既約ではない と言われています。${\displaystyle \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)}$

多項式の既約性は、積分領域の係数を持つ多項式について考えることができ、一般的な定義が 2 つあります。ほとんどの場合、積分領域R上の多項式は、 Rに係数を持ち、 Rで単位ではない2 つの多項式の積でない場合、既約であると言われます。同様に、この定義では、既約多項式は、 R上の多項式環の既約元です。Rが体の場合、既約性の 2 つの定義は同等です。2 番目の定義では、多項式は、同じ領域に係数があり、どちらも正の次数を持つ多項式に因数分解できない場合、既約です。同様に、多項式は、積分領域の分数の体上で既約である場合、既約です。たとえば、多項式は2 番目の定義では既約ですが、最初の定義では既約ではありません。一方、2つの定義では、は では既約ではないが、 では既約である。${\displaystyle 2(x^{2}-2)\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle x^{2}-2}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle \mathbb {R} [x].}$

係数を含む任意の体上で既約な多項式は絶対既約です。代数の基本定理により、一変数多項式は次数が 1 の場合にのみ絶対既約です。一方、不定値が複数ある場合は、任意の正の整数nなど、任意の次数の絶対既約多項式が存在します。 ${\displaystyle x^{2}+y^{n}-1,}$

既約でない多項式は、既約多項式と呼ばれることもあります。^{[1] [2]}

既約多項式は、多項式因数分解や代数体拡大の研究において自然に現れます。

既約多項式を素数と比較すると分かりやすい。素数（およびそれに対応する同じ大きさの負の数）は既約整数である。これらは、素因数または既約因数への本質的に一意な因数分解など、既約多項式にも同様に当てはまる「既約性」の概念の一般的な特性の多くを示す。係数環が体またはその他の一意な因数分解領域である場合、既約多項式は素イデアルを生成するため、素多項式とも呼ばれる。

Fが体である場合、非定数多項式は、その係数がFに属し、 Fに係数を持つ 2 つの非定数多項式の積に因数分解できない場合、 F上で既約です。

整数係数を持つ多項式、またはより一般的には一意の因数分解領域 R内の係数を持つ多項式は、多項式環の既約元である場合、つまり、可逆でもなく、ゼロでもなく、 R 内の係数を持つ 2 つの非可逆多項式の積に因数分解できない場合、既約である(またはR上で既約である)と言われることがあります。この定義は、体上の係数の場合に与えられた定義を一般化したものです。体上では、非定数多項式は、非可逆かつ非ゼロである多項式とまったく同じだからです。

よく使われる別の定義では、多項式がRの分数の体（R が整数の場合は有理数の体）上で既約である場合、多項式はR上で既約であるとされています。この 2 番目の定義はこの記事では使用しません。2 つの定義の同値性はRに依存します。

次の 6 つの多項式は、既約多項式と既約多項式の基本的な性質を示しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}\end{aligned}}}$

整数上で、最初の 3 つの多項式は既約です (3 番目は因数 3 が整数では逆変換できないため既約です)。最後の 2 つは既約ではありません。(もちろん、4 番目は整数上の多項式ではありません。)

有理数上の最初の 2 つと 4 番目の多項式は既約ですが、他の 3 つの多項式は既約ではありません (有理数上の多項式として、3 は単位 であるため、因数としてカウントされません)。

実数に対して、最初の 5 つの多項式は既約ですが、は既約ではありません。 ${\displaystyle p_{6}(x)}$

複素数では、6 つの多項式はすべて約分可能です。

複素体、およびより一般的には代数的に閉じた体上で、一変数多項式は、その次数が 1 である場合に限り既約です。この事実は、複素数の場合の代数の基本定理として知られており、一般には代数的に閉じているための条件として知られています。

したがって、すべての非定数一変数多項式は次のように因数分解できる。

${\displaystyle a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)}$

ここで、は次数、は主係数、は多項式の零点です（必ずしも区別される必要はなく、明示的な代数式を持つ必要もありません）。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$

複素数上のあらゆる次数の 多変数多項式は既約である。例えば、多項式

${\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}$

フェルマー曲線を定義する は、任意の正のnに対して既約です。

実数体上では、既約な一変数多項式の次数は 1 か 2 です。より正確には、既約な多項式とは、次数 1 の多項式と、負の判別式を持つ2 次多項式 です。したがって、定数でない一変数多項式はすべて、次数 2 以下の多項式の積として因数分解できます。たとえば、実数 上で を因数分解すると、両方の因数が負の判別式を持つため、これ以上因数分解することはできません。${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac.}$${\displaystyle x^{4}+1}$${\displaystyle \left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),}$${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.}$

体F上のすべての多項式は、非ゼロ定数と有限個の既約な（F上の）多項式との積に因数分解できます。この分解は、因数の順序と、積が 1 になる非ゼロ定数による因数の乗算 まで一意です。

一意の因数分解領域でも 同じ定理が成り立ちますが、原始多項式の概念を使用するとより正確に定式化されます。原始多項式は一意の因数分解領域上の多項式であり、その係数の最大公約数は 1 です。

F を一意の因数分解領域とする。 F上の非定数既約多項式は原始的である。F上の原始多項式がF上で既約なのは、それがFの分数体上で既約な場合のみである。F上のすべての多項式は、非ゼロ定数と有限個の非定数既約原始多項式の積に分解できる。非ゼロ定数自体は、Fの単位と有限個のFの既約元の積に分解できる。両方の因数分解は、因数の順序と因数とFの単位の乗算まで一意である。

これは、一意の因数分解領域上の既約多項式の定義では、多項式が非定数であると仮定されることが多いという根拠となる定理です。

整数および有理数上の多項式を因数分解するために現在実装されているすべてのアルゴリズムは、この結果を使用します (多項式の因数分解を参照)。

多項式の整数上における既約性は、（素数 に対して）元の体上における既約性と関連している。特に、上の一変数多項式f が、 fの主係数（変数の最高次数の係数）を割り切れない素数に対して上で既約である場合、 f は上で既約である（つまり、整数係数を持つ 2 つの非定数多項式の積ではない）。アイゼンシュタインの基準は、 上での既約性も含まれる この特性の変形である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p^{2}}$

しかし、逆は真ではない。任意の大きさの多項式が整数上では既約で、すべての有限体上では既約である。^[3]そのような多項式の簡単な例は次の通りである。${\displaystyle x^{4}+1.}$

整数上の既約性とp を法とする既約性の関係は、以前の結果よりも深いものです。現在までに、整数上および有理数上の因数分解と既約性について実装されたすべてのアルゴリズムは、有限体上の因数分解をサブルーチンとして使用しています。

素数べき乗qに対する体上のn次の既約単項多項式の数は、モローのネックレスカウント関数によって与えられる：^{[4] [5]}${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle M(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$

ここで、μはメビウス関数です。q = 2の場合、このような多項式は疑似乱数バイナリシーケンスを生成するためによく使用されます。

ある意味では、係数が 0 または 1 であるほとんどすべての多項式は整数上で既約です。より正確には、デデキントゼータ関数のリーマン予想のバージョンを仮定すると、 {0, 1}のランダムな係数を持つ多項式が整数上で既約である確率は、次数が増加するにつれて 1 に近づきます。^{[6] [7]}

多項式の唯一の因数分解特性は、与えられた多項式の因数分解が常に計算できることを意味するものではない。多項式の既約性さえも計算によって常に証明できるわけではない。任意の多項式の既約性を決定するアルゴリズムが存在できないフィールドが存在するのだ。^[8]

多項式を因数分解し、既約性を判定するアルゴリズムは既知であり、整数、有理数、有限体、およびこれらの体の有限生成体拡張上の多項式に対するコンピュータ代数システムに実装されています。これらのアルゴリズムはすべて、有限体上の多項式の因数分解アルゴリズムを使用します。

既約多項式と代数体拡大の概念は、次のように密接に関連しています。

x を体Kの拡大 Lの元とする。この元は、 Kに係数を持つ非零多項式の根である場合に代数的であるという。 xが根である多項式の中には、モニックかつ最小次数のものが 1 つだけ存在し、xの最小多項式と呼ばれる。 Lの代数元xの最小多項式は既約であり、xが根である唯一のモニック既約多項式である。 xの最小多項式は、x を根として持つすべての多項式を割り切る(これはアーベルの既約定理である)。

逆に、 が体K上の一変数多項式である場合、 をPによって生成されたイデアルによる多項式環の商環とします。すると、 PがK上で既約である場合に限り、 L は体となります。この場合、x がXのL上の像である場合、 xの最小多項式はPをその主係数で割った商です。 ${\displaystyle P(X)\in K[X]}$${\displaystyle L=K[X]/P(X)}$${\displaystyle K[X]}$

上記の例として、複素数の標準的な定義は次のようになります。${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).}$

多項式P がK上の既約因子Qを持ち、その次数が 1 より大きい場合、前述の代数拡大の構成をQに適用して、 P がKよりも少なくとも 1 つ多い根を持つ拡大を得ることができます。この構成を繰り返すと、最終的にP が線型因子に因数分解される体が得られます。この体は、体同型を除いて一意であり、Pの分割体と呼ばれます。

R が整域である場合、 Rのゼロでも単位元でもない元fは、 f = ghとなる非単位元gとhが存在しないとき、既約であるという。すべての素元が既約であることを示すことができる。 ^[9]逆は一般には真ではないが、一意の因数分解領域では成り立つ。体F (または任意の一意の因数分解領域) 上の多項式環F [ x ] は、やはり一意の因数分解領域である。帰納的に、これは、 n不定元 (環R上)の多項式環が一意の因数分解領域であることは、同じことがRにも当てはまる場合であることを意味する。

• ガウスの補題（多項式）
• 有理根定理、多項式が有理係数を持つ線形因子を持つかどうかを調べる方法
• エイゼンシュタインの基準
• ペロンの既約基準
• ヒルベルトの既約定理
• コーンの既約基準
• 位相空間の既約成分
• 有限体上の多項式の因数分解
• 四次関数 § 可約四次関数
• 三次関数 § 因数分解
• Casus irreducibilis、3つの実根を持つ既約三次数
• 二次方程式 § 二次因数分解

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556この古典的な本は、この記事の内容のほとんどを網羅しています。
• ガリアン、ジョセフ（2012）、現代抽象代数（第8版）、Cengage Learning、ISBN 978-1285402734
• リドル、ルドルフ。Niederreiter、Harald (1997)、有限体(第 2 版)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-39231-0、91ページ。
• マックレーン、サンダース、バーコフ、ギャレット（1999）、代数学（第3版）、アメリカ数学会、ISBN 9780821816462
• メネゼス、アルフレッド J. ;ヴァン オルショット、ポール C. ;ヴァンストーン、スコット A. (1997)、応用暗号ハンドブック、CRC プレス、ISBN 978-0-8493-8523-0、154ページ。

• Weisstein、Eric W.「既約多項式」。MathWorld。
• PlanetMathの既約多項式。
• 原始多項式と既約多項式に関する情報、(組み合わせ) オブジェクト サーバー。