分解立方体

多項式関数 $x⁴ + x³ - x² - 7x / 4 - 1/2$ のグラフ（緑色）と、その分解三次関数 $R⁴ (y)のグラフ（赤色）$ $を$ $示し$ $ます$ 。両方の多項式の根も表示されています。

代数学において、レゾルベント三次関数とは、 4次の単項式から定義される、関連性はあるものの異なる複数の三次多項式の1つである。

P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.

いずれの場合も：

分解三次式の係数は、和、減算、乗算のみを使用して $P (x)$ の係数から得ることができます。
$P (x)$ のレゾルベント三次式の根を知ることは、 $P (x)$ 自体の根を求めるのに役立ちます。そのため、「レゾルベント三次式」という名前が付けられています。
多項式 $P (x)が$ 多重根を持つのは、その分解三次式が多重根を持つ場合かつその場合に限る。

定義

$P (x)$ の係数が、標数が $2$ と異なる体 $k$ に属すると仮定します。P $($ $x$ $)の$ $根$ が言及される場合、それらは、 $P$ $($ $x$ $)が$ $K$ $[$ $x$ $]$ の線形因子に因数分解されるような $k$ の拡大体 $K$ に属します。k が有理数の体 Q である場合 $、$ K は複素数 $の$ $体$ Cまたは代数 $的$ 数の体 $Q$ になります。

場合によっては、レゾルベント三次関数の概念は、 $P (x)が$ 縮約形の四次関数である場合、 $つまり a3 = 0$ の場合にのみ定義されます。

以下の4番目と5番目の定義も意味があり、 $k$ の特性が $2$ に等しい場合、これらのレゾルベント3次関数と $P (x)$ の関係は依然として有効であることに注意してください。

最初の定義

$P (x)$ が縮退四次関数、つまりa3=0である $と仮定$ します。P $($ $x$ $)$ のレゾルベント三次関数の定義例は次の $とおり$ $です$ 。^{[ 1 ]}

R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{1}}^{2}.

この定義の起源は、 $P$ $($ $x$ $)$ の根を求めるためにフェラーリの方法を適用することにある。より正確に言うと、次のようになる。

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}

$x²$ $+$ $a²$ $/$ $2$ に新しい未知数 $y$ を追加します。すると次のようになります $。$

{\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}

この式が平方数である場合、それは次の式の平方数でなければなりません。

{\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.

しかし平等は

\left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}

と同等

{\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}

$そしてこれは、 R 1 (y)$ = 0という主張と同じことです。

$y 0 が$ $R 1 (y)$ の根である場合、上記の計算結果から、 $P (x)$ の根は多項式の根であることがわかります。

x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}

多項式の根とともに

x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.

もちろん、 $y 0 = 0$ の場合は意味がありませんが、 $R$ $1$ $($ $y$ $)$ の定数項は $-$ $a$ $1$ $2$ なので、 $0は$ $a$ $1$ $= 0$ の場合に限り $R$ $1$ $($ $y$ $)$ の根となり、この場合、 $P$ $($ $x$ $)の根は$ 二次方程式の解の公式を使用して求めることができます。

第二の定義

別の定義^{[ 1 ]}（ $P (x)$ が縮退四次関数であると仮定した場合）は

R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}

この定義の由来は、前の定義と同様です。今回は、まず以下の手順から始めます。

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}

そして、前の計算と同様の計算により、この最後の式が平方数となるのは、

8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}

簡単な計算で、

R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).

第三の定義

別の定義として^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}（ここでも、 $P (x)$ が縮退四次関数であると仮定する）は

R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}

この定義の起源は、4次方程式を解く別の方法、すなわちデカルトの方法にあります $。P$ ( $x$ $)を2つの単項2次多項式$ $x²$ $+$ $αx$ $+$ $β$ と $x²$ $-$ $αx$ $+$ $γ$ の積として表して、 $P (x )$ $の$ 根を求めようとすると、

P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

$α \neq 0$ の解がこのシステムに存在する場合（ $a 1 \neq 0$ の場合、これは任意の解に対して自動的に真となることに注意）、前のシステムは以下と同等である。

\left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

これは最初の2つの方程式の結果であり、

\beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)

そして

\gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).

$3番目の式でβ$ と $γ$ をこれらの値に置き換えると、次のようになる。

\left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}

$これは、 α 2が$ $R 3 (y)$ の根であるという主張と同等です。したがって、 $R 3 (y)$ の根を知ることは、 $P (x)$ の根を決定するのに役立ちます。

ご了承ください

R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}

第4の定義

さらに別の定義としては^{[ 4 ]}

R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.

実際、 $P (x)$ $の根$ $が$ $α1 、 α2 、 α3$ 、 $α4$ で $ある$ 場合 $、$

R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

Vieta の公式から次の事実が得られます。つまり、R ₄ ( y ) は、 $α 1 α 2 + α 3 α 4$ 、 $α 1 α 3 + α 2 α 4$ 、および $α 1 α 4 + α 2 α 3$ を根とするモニック多項式です。

容易にわかるように

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}

したがって、 $P (x)が$ 多重根を持つのは $、$ $R4 (y)$ が多重根を持つ場合かつその場合に限る。より正確には、 $P (x)$ と $R4 (y) は$ 同じ判別式を持つ。

$P (x)$ が縮約多項式である場合、

{\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

5つ目の定義

また別の定義は^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}

上記のように、 $P (x)$ $の$ $根が$ $α1 、 α2 、 α3$ 、 $α4$ $で$ ある場合 $、$

R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

再びVieta の公式の結果として。つまり、 $R 5 (y)$ は、その根が $(α 1 + α 2)(α 3 + α 4)$ 、 $(α 1 + α 3 )(α 2 + α 4)$ 、および $(α 1 +$ $α$ $4$ $)($ $α$ $2$ $+$ $α$ $3$ $)であるモニック$ $多項式$ $です$ 。

容易にわかるように

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}

$したがって、 R 4 (y)$ の場合と同様に、 $P (x)$ が多重根を持つのは、 $R 5 (y)$ が多重根を持つ場合のみである。より正確には、 $P (x)$ と $R 5 (y)は同じ判別式を持つ。これは、$ $R 5 (y + a 2)$ = $-$ $R$ $4$ $(-$ $y$ $)$ という事実の結果でもある。

$P (x)$ が縮約多項式である場合、

{\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

アプリケーション

4次方程式を解く

$上記では、この多項式が縮約されている場合に、 R 1 (y)$ 、 $R 2 (y)$ 、および $R 3 (y)を使用して$ $P (x)$ の根を見つける方法について説明しました。一般の場合、縮約された多項式 $P (x - a 3 /4)$ の根を見つけるだけで済みます。この多項式の各根 $x$ $0に対して、$ $x$ $0$ $-$ $a$ $3$ $/4は$ $P$ $($ $x$ $)$ の根です。

4次多項式の因数分解

4次多項式 $P (x)が$ $k$ $[$ $x$ $]$ で既約である場合、それは 2 つの 2 次多項式の積、または 1 つの線形多項式と 3 番目の多項式の積になります。この 2 番目の可能性は、 $P$ $($ $x$ $)が$ $k$ に根を持つ場合に限り発生します。P $($ $x$ $)$ が 2 つの 2 次多項式の積として表現できるかどうかを判断するために、簡単のために、 $P$ $($ $x$ $)が縮約多項式であると仮定します。すると$ $、$ 上で述べたように、レゾルベント 3 番目の $R$ $3$ $($ $y$ $)$ が、ある $α$ $\in$ $kに対して$ $α$ $2$ の形の非零根を持つ場合、そのような分解が存在することがわかります。

$これは、 R [x]において、実根を持たないすべての 4 次多項式$ $が$ 2 つの 2 次多項式の積として表せることを証明するために使用できます。P $($ $x$ $)$ をそのような多項式とします。一般性を失うことなく、 $P (x)$ が単項式であると仮定できます。また、一般性を失うことなく、 $P (x)$ が 2 つの 2 次多項式の積として表せるのは、 $P (x - a 3 /4)$ が表せる場合のみであり、この多項式は既約多項式であるため、P ( x ) が 2 つの 2 次多項式の積として表せると仮定できます。すると、 $R 3 (y)$ = $y$ $3$ $+$ $2$ $a$ $2$ $y$ $2$ $+$ $($ $a$ $2$ $2$ $-$ $4$ $a$ $0$ $)$ $y$ $-$ $a$ $1$ $2$ となります。次の 2 つのケースがあります。

$a 1 \neq 0$ の場合、 $R 3 (0)$ = $-$ $a$ $1$ $2$ $<$ $0$ となります。y $が$ 十分に大きい場合、 $R$ $3$ $($ $y$ $)$ $>$ $0となるため、$ 中間値の定理により、 $R$ $3$ $($ $y$ $)は$ $y$ $0$ $>$ $0$ となる根 $y$ $0を持ちます。したがって、$ $α$ = $\sqrt$ $y$ $0$ とすることができます。
$a 1$ = $0$ の場合、 $R$ $3$ $($ $y$ $)$ = $y$ $3$ $+$ $2$ $a$ $2$ $y$ $2$ $+$ $($ $a$ $2$ $2$ $-$ $4$ $a$ $0$ $)$ $y$ $となります$ 。この多項式の根は $0$ であり、二次多項式 $y$ $2$ $+$ $2$ $a$ $2$ $y$ $+$ $a$ $2$ $2$ $-$ $4$ $a$ $0$ の根です。a 2 2 − 4 a 0 < 0 の場合 $、$ $この$ $多項式$ $の$ $2$ $つ$ $の$ $根$ の積は $0より小さいため、$ $0$ より大きい根(たまたま $-$ $a$ $2$ $+$ $2$ $\sqrt$ $a$ $0$ $) を持ち、 α を$ その根の平方根とすることができます。そうでない場合、 $a$ $2$ $2$ $-$ $4$ $a$ $0$ $\geq$ $0$ となり、

P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}

より一般的に言えば、 $k が$ 実閉体である場合、 $kに根を持たないすべての 4 次多項式は、$ $k [x]$ に関する 2 つの 2 次多項式の積として表すことができます。実際、この命題は一階述語論理で表現でき、 $R$ に対して成り立つ命題は、任意の実閉体に対しても成り立ちます。

同様のアプローチを用いて、⁴^次多項式 $P (x) \in Q [x]$ が可約であるかどうか、また可約である場合は、それをより低い次数の多項式の積としてどのように表現するかを判定するアルゴリズム[2] を取得できます。ここでも、 $P$ $($ $x$ $)$ は単項式かつ縮約されていると仮定します。すると、 $P$ $($ $x$ $)$ は、以下の条件のうち少なくとも 1 つが成り立つ場合に限り可約となります。

多項式 $P (x)は有理根を持ちます (これは$ 有理根定理を使用して決定できます)。
分解三次式 $R$ $3$ $($ $y$ $)$ は、ある非零有理数 $αに対して$ $α$ $2$ の形の根を持ちます(これも有理根定理を使用して決定できます)。
数 $a 22 - 4 a 0$ は有理数の平方であり、 $a 1$ = $0$ です。

確かに：

$P (x)$ が有理根 $r$ を持つ場合、 $P (x)は$ $x - rと$ $Q [x]$ の3次多項式の積であり、これは多項式の長除法またはルフィニの規則によって決定できます。
$α$ $\neq$ $0$ の有理数 α が存在し、 $α$ $2が$ $R$ $3$ $($ $y$ $)$ の根である場合、 $P$ $($ $x$ $) を$ $Q$ $[$ $x$ $]$ の 2 つの二次多項式の積として表す方法が上で示されました。
最後に、3番目の条件が満たされ、 $δ \in Q が$ $δ 2$ = $a$ $2$ $2$ $-$ $4$ $a$ $0$ となる場合、 $P$ $($ $x$ $)$ = $($ $x$ $2$ $+$ $($ $a$ $2$ $+$ $δ$ $)/2)($ $x$ $2$ $+$ $($ $a$ $2$ $-$ $δ$ $)/2)$ となります。

既約な4次多項式のガロア群

既約 4 次多項式 $P (x)$ のレゾルベント 3 次式は、そのガロア群 $G$ を決定するために使用できます。つまり、 $P$ $($ $x$ $)$ の分解体のガロア群です。m $を$ レゾルベント 3 次式の分解体の $k$ 上の次数とします( $R$ $4$ $($ $y$ $)$ または $R$ $5$ $($ $y$ $)$ のいずれかです。これらは同じ分解体を持ちます)。すると、群 $Gは$ 対称群 $S$ $4$ の部分群になります。より正確には: ^[⁴^]

$m = 1 の$ 場合(つまり、レゾルベント 3 が $k$ の線形因子に因数分解される場合)、 $G$ は群 ${$ $e$ $、 (12)(34)、 (13)(24)、 (14)(23)$ } です。
$m = 2$ の場合(つまり、レゾルベント 3 式が $k$ において1 つの根を持ち、重複度を除いてただ 1 つの根を持つ場合)、 $G を$ 決定するために、レゾルベント 3 式の根を体 $k$ に隣接させた後も $P$ $($ $x$ $)$ が既約であるかどうかを判断すればよい。そうでない場合、 $Gは$ 位数4の巡回群である。より正確には、 $S$ $4$ $の 6 つの4$ サイクルのいずれかによって生成される3 つの巡回部分群の 1 つである。既約である場合、 $G$ は位数 $8の$ $S$ $4$ の 3 つの部分群の 1 つであり、それぞれが位数 $8$ の二面体群と同型である。
$m = 3$ の場合、 $Gは$ 交代群 $A 4$ です。
$m = 6$ の場合、 $G$ は群 $S 4$ 全体です。

参考文献

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1 2 Brookfield, G. (2007), "Factoring quartic polynomials: A lost art" (PDF) , Mathematics Magazine , 80 (1): 67– 70, doi : 10.1080/0025570X.2007.11953453 , JSTOR 27642994 , S2CID 53375377 , Zbl 1227.97040 , 2015年2月21日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み
↑ハートショーン、ロビン(1997)、「作図問題と体拡張：三次方程式と四次方程式」、幾何学：ユークリッドとその先、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-98650-2、Zbl 0954.51001
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↑ van der Waerden、Bartel Leendert (1991)、「ガロア理論: 二次、三次、四次の方程式」、代数、第 1 巻。1 (第 7版)、シュプリンガー版、ISBN 0-387-97424-5、Zbl 0724.12001

[Tignol-1] 1 2 Tignol, Jean-Pierre (2016), "Quartic equations", Galois' Theory of algebraic equations (2nd ed.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4、Zbl 1333.12001

[Brookfield-2] 1 2 Brookfield, G. (2007), "Factoring quartic polynomials: A lost art" (PDF) , Mathematics Magazine , 80 (1): 67– 70, doi : 10.1080/0025570X.2007.11953453 , JSTOR 27642994 , S2CID 53375377 , Zbl 1227.97040 , 2015年2月21日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み

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[5] Rotman、Joseph (1998)、「二次関数、三次関数、および四次関数のガロア群」、ガロア理論(第 2版)、Springer-Verlag、ISBN 0-387-98541-7、Zbl 0924.12001

[6] van der Waerden、Bartel Leendert (1991)、「ガロア理論: 二次、三次、四次の方程式」、代数、第 1 巻。1 (第 7版)、シュプリンガー版、ISBN 0-387-97424-5、Zbl 0724.12001

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