微分システムの積分可能性条件

数学では、偏微分方程式の特定のシステムは、その基礎となる幾何学的および代数的構造の観点から、微分形式のシステムとして効果的に定式化されます。この考え方は、微分形式が部分多様体に制限される方法と、この制限が外導関数と互換性があるという事実を利用することです。これは、たとえば積分可能なシステムのLax ペアを含む特定の過剰決定システムに対する 1 つの可能なアプローチです。パフィアン システムは1 形式のみで指定されますが、理論には微分システムの他のタイプの例が含まれています。詳しく言うと、パフィアン システムは滑らかな多様体上の 1 形式のセットです (システムの 解を見つけるには を 0 に設定します)。

次元多様体上の微分 1 形式の集合が与えられたとき、積分多様体は、あらゆる点における接空間が各 （の引き戻し）によって消滅する、はめ込まれた（必ずしも埋め込まれているわけではない）部分多様体です。 ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i},i=1,2,\dots ,k}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \textstyle p\in N}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$

最大積分多様体は、埋め込まれた（必ずしも埋め込まれているわけではない）部分多様体である。

${\displaystyle i:N\subset M}$

フォーム上の制限マップの核は

${\displaystyle i^{*}:\Omega _{p}^{1}(M)\rightarrow \Omega _{p}^{1}(N)}$

は のすべての点で によって張られます。さらに が線型独立である場合、 は( ) 次元です。 ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle nk}$

パフィアン系は、最大積分多様体による葉脈構造を許容する場合、完全に積分可能であると言われます。(葉脈構造は必ずしも正則である必要はないことに注意してください。つまり、葉脈構造の葉は埋め込まれた部分多様体ではない可能性があります。) ${\displaystyle M}$

積分可能性条件は、十分に高い次元の積分部分多様体が存在することを保証するため の条件です。${\displaystyle \alpha_{i}}$

パフィアン系の完全可積分性に対する必要十分条件はフロベニウスの定理によって与えられる。1つのバージョンでは、環Ω( M )内の_αiの集合によって代数的に生成されたイデアルが微分的に閉じている場合、言い換えると ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle d{\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}},}$

すると、この系は最大積分多様体による葉脈構造を許容する。(逆は定義から明らかである。)

すべてのパフィアン系がフロベニウスの意味で完全に積分可能であるわけではない。例えば、R ³ − (0,0,0)上の次の 1 形式を考えてみよう。

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

もしdθがθによって生成されたイデアルの中にあったとしたら、ウェッジ積の歪度により、

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

しかし、直接計算すると

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz}$

これはR ³上の標準体積形式の非ゼロ倍です。したがって、2次元の葉はなく、システムは完全に積分可能ではありません。

一方、次のように定義される曲線の場合、

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\qquad z=e^{-t/c},\quad t>0}$

すると、上で定義したθは0となり、したがって、曲線は任意の非ゼロ定数cに対して上記のパフィアン系の解（つまり積分曲線）であることが簡単に検証できる。

リーマン幾何学では、直交コフレーム θ ⁱ 、つまり、閉じているすべての点でコタンジェント空間の基底を形成する 1 形式の集合(dθ ⁱ = 0, i  = 1, 2, ...,  n ) を見つける問題を考えることができます。ポアンカレの補題により、 θ ^{i は}、多様体上のいくつかの関数x ⁱに対して局所的に形式 d x ^{i を}持ち、したがってMの開集合とR ⁿの開集合の等長変換を提供します。このような多様体は、局所的に平坦と呼ばれます。${\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}}$

この問題はMのコフレームバンドルに関する問題に帰着する。このような閉じたコフレームがあるとする。

${\displaystyle \Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).}$

もし別のコフレームがあったら、2つのコフレームは直交変換によって関連付けられる。 ${\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})}$

${\displaystyle \Phi =M\Theta }$

接続1形式がωであれば、

${\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }$

一方で、

${\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}}$

しかし、は直交群のマウラー・カルタン形式です。したがって、これは構造方程式に従い 、これはまさに M の曲率です。 フロベニウスの定理を適用した後、多様体 M が局所的に平坦であるための必要条件は、その曲率がゼロになることであると結論付けられます。 ${\displaystyle \omega =(dM)M^{-1}}$${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0,​​}$${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.}$

必ずしも 1 形式によって生成されない微分システム上の積分可能性条件には、多くの一般化が存在します。これらのうち最も有名なのは、実解析微分システムにのみ適用されるカルタン-ケーラー定理と、カルタン-倉西延長定理です。詳細については、「参考文献」を参照してください。ニューランダー-ニーレンバーグ定理は、ほぼ複素構造の積分可能性条件を与えます。

• ブライアント、チャーン、ガードナー、ゴールドシュミット、グリフィス、『外微分システム』、数学科学研究所出版、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN  0-387-97411-3
• Olver, P.,等価性、不変量、対称性、ケンブリッジ、ISBN 0-521-47811-1 
• Ivey, T.、Landsberg, JM、Cartan for Beginners: 移動フレームと外微分システムによる微分幾何学、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3375-8 
• Dunajski, M., Solitons, Instantons and Twistors、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-857063-9