接続（ファイバーマニホールド）

微分幾何学において、ファイバー多様体は滑らかな多様体Y → Xの射影的 沈み込みです。局所的に自明なファイバー多様体はファイバー束です。したがって、ファイバー多様体上の接続の概念は、ファイバー束上の接続の一般的な枠組みを提供します。

π  : Y → Xをファイバー多様体とする。 Y上の一般化された接続はΓ : Y → J ¹ Yの断面であり、J ¹ YはYのジェット多様体である。^[1]

上記の多様体πには、 Y上のベクトル束の次の標準短完全列が存在する。

ここで、T YとT XはそれぞれYの接線束、V YはYの垂直接線束、Y × _X T XはT XのYへの引き戻し束です。

ファイバー多様体Y → X上の接続は線型束射として定義される

Y上で、正確なシーケンス1を分割します。接続は常に存在します。

この接続Γは、水平分布を与えるため、エーレスマン接続と呼ばれることもある。

${\displaystyle \mathrm {H} Y=\Gamma \left(Y\times _{X}\mathrm {T} X\right)\subset \mathrm {T} Y}$

T Yとその水平分解T Y = V Y ⊕ H Y。

同時に、エーレスマン接続とは、次のような構成も意味する。ファイバー多様体Y → X上の任意の接続Γは、 X上のベクトル場τのY上への水平方向の持ち上げΓ ∘ τ を生み出すが、 X内のパスのYへの同様の持ち上げを定義する必要はない。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} \supset [,]\ni t&\to x(t)\in X\\\mathbb {R} \ni t&\to y(t)\in Y\end{aligned}}}$

をそれぞれXとYの2つの滑らかな経路とする。このとき、t → y ( t )はx ( t )の水平リフトと呼ばれる。

${\displaystyle \pi (y(t))=x(t)\,,\qquad {\dot {y}}(t)\in \mathrm {H} Y\,,\qquad t\in \mathbb { R} \,.}$

X内の各パスx ([0,1])に対して、任意の点y ∈ π ⁻¹ ( x ([0,1]))を通る水平方向の揚力が存在する場合、接続ΓはEhresmann 接続と呼ばれます。ファイバー多様体は、そのような Ehresmann 接続を許容する場合に限り、ファイバーバンドルです。

ファイバー多様体Y → Xが与えられ、ファイバー座標のアトラス( x ^μ , y ⁱ )が与えられ、Γ がY → X上の接続であるとする。これにより、水平 接線値1形式が一意に得られる。

Y上の正準接値形式（トートロジー 1 形式またははんだ形式） に射影される

${\displaystyle \theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}$

Xに2 を分割し、その逆も同様です。この形式では、水平分割2は次のようになります。

${\displaystyle \Gamma :\partial _{\mu }\to \partial _{\mu }\rfloor \Gamma =\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\,.}$

特に、3のΓの接続は、 X上の任意のベクトル場τ = τ ^μ ∂ _μの水平方向の揚力を射影可能なベクトル場

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau \rfloor \Gamma =\tau ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\subset \mathrm {H} Y}$

Yについて。

正確なシーケンス1の水平分割2は、双対正確なシーケンスの対​​応する分割を定義します。

${\displaystyle 0\to Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\to \mathrm {T} ^{*}Y\to \mathrm {V} ^{*}Y\to 0\,,}$

ここで、T* YとT* XはそれぞれYの余接バ​​ンドルであり、V* Y → YはV Y → Yへの双対バンドルであり、垂直余接バンドルと呼ばれる。この分割は垂直値形式によって与えられる。

${\displaystyle \Gamma =\left(dy^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}dx^{\lambda }\right)\otimes \partial _{i}\,,}$

これはファイバー多様体上の接続も表します。

接続を垂直値形式として扱うと、次の重要な構成が得られる。ファイバー多様体Y → X が与えられたとき、f  : X ′ → X を射とし、f​​ ∗ Y → X ′をYのfによる引き戻しバンドルとする。すると、 Y → X上の任意の接続Γ 3 は引き戻し接続を誘導する。

${\displaystyle f*\Gamma =\left(dy^{i}-\left(\Gamma \circ {\tilde {f}}\right)_{\lambda }^{i}{\frac {\partial f^{\lambda }}{\partial x'^{\mu }}}dx'^{\mu }\right)\otimes \partial _{i}}$

f ∗ Y → X ′上で。

J ¹ Y をファイバー多様体Y → Xの断面のジェット多様 体とし、座標は( x ^μ , y ⁱ , y^私は
_μ）。正規の埋め込みにより

${\displaystyle \mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\left(Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {T} Y\,,\qquad \left(y_{\mu }^{i}\right)\to dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+y_{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\,,}$

ファイバー多様体Y → X上の任意の接続Γ 3は、大域断面で表される。

${\displaystyle \Gamma :Y\to \mathrm {J} ^{1}Y\,,\qquad y_{\lambda }^{i}\circ \Gamma =\Gamma _{\lambda }^{i}\,,}$

ジェットバンドルJ ¹ Y → Yの、そしてその逆。これはベクトルバンドルをモデルにしたアフィンバンドルである。

この事実には次のような帰結があります。

ファイバー多様体Y → X上の接続Γ 3 が与えられたとき、その曲率はニージェンフイス微分として定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\tfrac {1}{2}}d_{\Gamma }\Gamma \\&={\tfrac {1}{2}}[\Gamma ,\Gamma ]_{\mathrm {FN} }\\&={\tfrac {1}{2}}R_{\lambda \mu }^{i}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\R_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\Gamma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\mu }^{i}-\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\,.\end{aligned}}}$

これはY上の垂直値を持つ水平 2 形式です。

接続Γ 3とはんだ付け形式σ 5が与えられたとき、σ に関するΓのねじれは次のように定義される。

${\displaystyle T=d_{\Gamma }\sigma =\left(\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\sigma _{\mu }^{j}\right)\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,.}$

π  : P → M を構造リー群Gを持つ主バンドルとする。P上の主接続は通常、 P上のリー代数値接続 1 形式によって記述される。同時に、P上の主接続は、 PにおけるGの標準的な右作用に関して同変なジェットバンドルJ ¹ P → Pの大域切断である。したがって、これは商バンドルC = J ¹ P / G → Mの大域切断によって表され、主接続のバンドルと呼ばれる。これは、典型的なファイバーが構造群 G のリー代数gであり、G が随伴表現によって作用するベクトルバンドルV P / G → Mをモデルにしたアフィンバンドルである。商バンドルT P / GへのCの標準的な埋め込みがあり、これも主接続のバンドルと呼ばれる。

Gのリー代数の基底{e _m } が与えられると、ファイバーバンドルCにはバンドル座標( x ^μ、a^メートル
_μ）であり、その断面はベクトル値の1形式で表される

${\displaystyle A=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+a_{\lambda }^{m}{\mathrm {e} }_{m}\right)\,,}$

どこ

${\displaystyle a_{\lambda }^{m}\,dx^{\lambda }\otimes {\mathrm {e} }_{m}}$

は、 M上のよく知られた局所接続形式です。

CのジェットバンドルJ ¹ Cはヤン・ミルズゲージ理論の配置空間であることに注意しよう。これは正準分解を許す。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\lambda \mu }^{r}&={\tfrac {1}{2}}\left(F_{\lambda \mu }^{r}+S_{\lambda \mu }^{r}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}+a_{\mu \lambda }^{r}-c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}-a_{\mu \lambda }^{r}+c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)\,,\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle F={\tfrac {1}{2}}F_{\lambda \mu }^{m}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes {\mathrm {e} }_{m}}$

主接続の 強度形式と呼ばれます。

• つながり（数学）
• ファイバーマニホールド
• エアレスマン接続
• 接続（主バンドル）

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Natural operators in different geography (PDF) . Springer-Verlag. 2017-03-30 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2013-05-28に取得。
• クルプカ、デメテル。ヤヌシュカ、ヨーゼフ (1990)。微分不変量についての講義。ウニベルジータ JE プルキニェ v ブルニェ。ISBN 80-210-0165-8。
• サンダース、DJ (1989)。ジェットバンドルの幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36948-7。
• Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000).古典場理論と量子場理論のつながり. World Scientific. ISBN 981-02-2013-8。
• Sardanashvily , G. (2013).理論家のための上級微分幾何学。ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論。Lambert Academic Publishing。arXiv : 0908.1886。Bibcode : 2009arXiv0908.1886S。ISBN 978-3-659-37815-7。