接続（アフィンバンドル）

Y → X をベクトル束Y → X上にモデル化されたアフィン束とする。Y → X上の接続Γは、 Yのジェット束J ¹ Y → Yの切断Γ : Y → J ¹ YがX上のアフィン束射となる場合、アフィン接続と呼ばれる。特に、これは滑らかな多様体Xの接線束T X上のアフィン接続である。(つまり、アフィン束上の接続はアフィン接続の例であるが、アフィン接続の一般的な定義ではない。これらは関連しているが異なる概念であり、残念ながらどちらも形容詞「アフィン」を使用している。)

Y上のアフィンバンドル座標( x ^λ , y ⁱ )に関して、 Y → X上のアフィン接続Γは接線値接続形式によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma &=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}\right)\,,\\\Gamma _{\lambda }^{i}&={{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right)y^{j}+\sigma _{\lambda }^{i}\left(x^{\nu }\right)\,.\end{aligned}}}$

アフィンバンドルは、次元mの典型的なファイバーVのアフィン変換の一般アフィン 構造群 GA( m , ℝ)を持つファイバーバンドルです。したがって、アフィン接続は主接続に関連付けられています。常に存在します。

任意のアフィン接続Γ : Y → J ¹ Yに対して、対応するアフィン射Γの線型微分 Γ  : Y → J ¹ Yは、ベクトル束Y → X上の唯一の線型接続を定義します。 Y上の線型束座標( x ^λ , y ⁱ )に関して、この接続は次のように表されます。

${\displaystyle {\overline {\Gamma }}=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right){\overline {y}}^{j}{\overline {\partial }}_{i}\right)\,.}$

すべてのベクトル束はアフィン束なので、ベクトル束上の任意の線形接続もアフィン接続です。

Y → Xがベクトル束である場合、アフィン接続Γと付随する線型接続Γは両方とも同じベクトル束Y → X上の接続であり、それらの差は

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\lambda }^{i}(x^{\nu })dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,.}$

したがって、ベクトル束Y → X上のすべてのアフィン接続は、 Y → X上の線形接続と基本的なはんだ付け形式の合計です。

標準的な垂直分割V Y = Y × Yにより、このはんだ付け形式はベクトル値形式に変換される。

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\lambda }^{i}(x^{\nu })dx^{\lambda }\otimes e_{i}}$

ここで、e _{i は}Yのファイバー基底です。

ベクトル束Y → X上のアフィン接続Γが与えられ、RとR をそれぞれ接続Γとそれに関連する線型接続Γの曲率とします。 R = R + Tであることが容易にわかります。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}T_{\lambda \mu }^{i}dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\T_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\sigma _{\lambda }^{i}+\sigma _{\lambda }^{h}{{\Gamma _{\mu }}^{i}}_{h}-\sigma _{\mu }^{h}{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{h}\,,\end{aligned}}}$

は、基本的なはんだ付け形式σに対するΓのねじれです。

特に、 ( x ^μ , ẋ ^μ )で座標付けられた多様体Xの接束T X を考える。標準的なはんだ付け形式

${\displaystyle \theta =dx^{\mu }\otimes {\dot {\partial }}_{\mu }}$

T X上のトートロジー一形式と一致する

${\displaystyle \theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}$

VT X = T X × T Xの標準垂直分割により、 X上の任意の線形接続Γが与えられると、対応するアフィン接続

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\Gamma +\theta \,,\\A_{\lambda }^{\mu }&={{\Gamma _{\lambda }}^{\mu }}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }+\delta _{\lambda }^{\mu }\,,\end{aligned}}}$

T X上のカルタン接続はカルタン接続である。カルタン接続Aのはんだ付け形式θに対するねじれは線形接続Γのねじれと一致し、その曲率はΓの曲率とねじれの和R + Tである。

• 接続（ファイバーマニホールド）
• アフィン接続
• 接続（ベクトル束）
• つながり（数学）
• アフィンゲージ理論

• 小林 誠、野水 健一 (1996)。微分幾何学の基礎。第1～2巻。Wiley- Interscience。ISBN 0-471-15733-3。
• Sardanashvily , G. (2013).理論家のための上級微分幾何学。ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論。Lambert Academic Publishing。arXiv : 0908.1886。Bibcode : 2009arXiv0908.1886S。ISBN 978-3-659-37815-7。