テンソル密度

例えば、重みの混合ランク2（真正）テンソル密度${\displaystyle W}$次のように変換されます: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$    （（整数）重みの（本物の）テンソル密度）${\displaystyle W}$）

どこ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}$は、${\displaystyle {\bar {x}}}$座標系、${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$変換されたテンソル密度は${\displaystyle {x}}$座標系。そして、ヤコビ行列式を使用します。行列式は負になる可能性があり、これは方向反転座標変換の場合に当てはまります。したがって、この式は、次の場合にのみ適用可能です。${\displaystyle W}$は整数です。（ただし、下記の偶数テンソル密度と奇数テンソル密度を参照してください。）

テンソル密度が擬似テンソル密度であるとは、方向反転座標変換の下で符号反転が追加的に発生する場合をいう。重みが の混合ランク 2 擬似テンソル密度${\displaystyle W}$変換して

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$    （整数重みの擬似テンソル密度）${\displaystyle W}$）

ここでsgn（${\displaystyle \cdot }$)は、引数が正の場合は +1 を、引数が負の場合は −1 を返す関数です。

偶数および奇数のテンソル密度の変換は、${\displaystyle W}$は整数ではない。したがって、例えば、重みが+2の奇数テンソル密度や、重みが-1/2の偶数テンソル密度について語ることができる。

偶数テンソル密度は次のように変換されます。この式は任意の実数値重みWに対して有効ですが、この名前は、重みが偶数の場合の（真の）テンソル密度変換の変換と等価であることに由来します。

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$    （重みのテンソル密度も含む）${\displaystyle W}$）

同様に、奇数テンソル密度は次のように変換されます。この式は任意の実数値重みWに対して有効ですが、この名前は、重みが奇数の場合の（真の）テンソル密度変換の変換と等価であることに由来します。

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$    （重みの奇数テンソル密度）${\displaystyle W}$）

重みがゼロである任意のタイプのテンソル密度は、絶対テンソルとも呼ばれます。重みがゼロの真のテンソル密度（重みがゼロの偶数テンソル密度でもある）は、通常のテンソルとも呼ばれます。

重みが指定されていないが、特定の重みが必要な文脈で「相対」または「密度」という言葉が使用されている場合、通常は重みが+1であると想定されます。

1. 同じ種類と重みのテンソル密度の線形結合（重み付き和とも呼ばれる）${\displaystyle W}$これもまた、そのタイプと重みのテンソル密度です。
2. 任意のタイプの 2 つのテンソル密度の積と重み${\displaystyle W_{1}}$そして${\displaystyle W_{2}}$は重みのテンソル密度です${\displaystyle W_{1}+W_{2}.}$さらに、真正テンソル密度と擬似テンソル密度の積は、偶数個の因子が擬似テンソル密度である場合は真正テンソル密度となり、奇数個の因子が擬似テンソル密度である場合は擬似テンソル密度となります。同様に、偶数テンソル密度と奇数テンソル密度の積は、偶数個の因子が奇数テンソル密度である場合は偶数テンソル密度となり、奇数個の因子が奇数テンソル密度である場合は奇数テンソル密度となります。
3. 重み付きテンソル密度のインデックスの縮約${\displaystyle W}$再び重みのテンソル密度が得られる${\displaystyle W.}$^{[ 7 ]}
4. 計量テンソル（真正で偶数であり、重みが0である）を使用してインデックスを上げ下げしても重みは変化しない^{[ 8 ]}。これは(2)と(3)を組み合わせることで証明できる。

もし${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$は非特異行列であり、重みのランク2テンソル密度である。${\displaystyle W}$共変インデックスを持つ場合、その行列の逆行列は重みのランク2テンソル密度になります${\displaystyle -W}$反変指標の場合。2つの指標が反変である場合、または共変と反変が混在している場合にも、同様のことが当てはまります。

もし${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$は重みのランク2テンソル密度である${\displaystyle W}$共変インデックスの場合、行列式${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$重量があります${\displaystyle NW+2,}$どこ${\displaystyle N}$は時空次元の数です。${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$は重みのランク2テンソル密度である${\displaystyle W}$反変インデックスの場合、行列式${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$重量があります${\displaystyle NW-2.}$ 行列式${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}$重量があります${\displaystyle NW.}$

非特異な通常のテンソル${\displaystyle T_{\mu \nu }}$変換して $${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$$

ここで、右辺は3つの行列の積と見なすことができます。等式の両辺の行列式を取り（行列積の行列式は行列式の積であることを利用して）、両辺をで割ります。${\displaystyle \det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),}$そしてそれらの平方根を取ると $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}$$

テンソルが${\displaystyle T}$は計量テンソルです。${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda },}$そして${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$は局所慣性座標系であり、${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$ diag(−1,+1,+1,+1)はミンコフスキー計量であり、${\displaystyle \det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=}$ −1 なので $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}$$

どこ${\displaystyle {g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)}$は計量テンソルの行列式である。${\displaystyle {g}_{\mu \nu }.}$

したがって、偶数テンソル密度、${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },}$重量${\displaystyle W}$は、次の形式で記述できます。 $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}$$

どこ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$は通常のテンソルです。局所慣性座標系では、${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },}$そうなると${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$そして${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$同じ数字で表されます。

計量接続（レヴィ・チヴィタ接続）を使用する場合、偶数テンソル密度の 共変微分は次のように定義されます。$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots$$ ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots  ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.}

任意の接続の場合、共変微分は、次の追加項を加えることによって定義されます。 $${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$$ 通常のテンソルの共変微分に適切な表現に置き換える。

同様に、積の法則が成り立つ。 $${\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots$$ ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots  ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}

ここで、計量接続の場合、任意の関数の共変微分は${\displaystyle g_{\kappa \lambda }}$常にゼロです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda$$ ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}