行列係数

数学において、行列係数（または行列要素）は、群の線型表現と追加データに依存する特殊な形式の群上の関数である。正確には、ベクトル空間V上のGの表現を、 Vの自己準同型からVの基底体への線型写像と合成することによって得られるコンパクトな位相群G上の関数である。これは代表関数とも呼ばれる。^[1]これらは、対応する行列表現の行列要素関数として、Gの有限次元表現から自然に生じる。ピーター・ワイルの定理によれば、 G上の行列係数は、G上の平方可積分関数のヒルベルト空間において稠密である。

リー群の表現の行列係数は特殊関数の理論と密接に関連していることが判明し、この理論の大部分に対する統一的なアプローチを提供しています。行列係数の成長特性は、局所コンパクト群、特に簡約実群とp進群の既約表現の分類で重要な役割を果たします。行列係数の形式化は、モジュラー形式の概念の一般化につながります。別の方向では、特定の動的システムの混合特性は、適切な行列係数の特性によって制御されます。

ベクトル空間V上の群Gの線型表現ρの行列係数（または行列要素）は、群上の 関数f _{v,ηであり、その型は}

${\displaystyle f_{v,\eta }(g)=\eta (\rho (g)v)}$

ここでvはVのベクトル、ηはV上の連続線型関数、g はGの要素である。この関数はG上でスカラー値を取る。V がヒルベルト空間である場合、リースの表現定理により、すべての行列係数は次の形式を持つ。

${\displaystyle f_{v,w}(g)=\langle \rho (g)v,w\rangle }$

V内のいくつかのベクトルvとwに対して。

有限次元のVと、標準基底から取られたvおよびwの場合、これは実際には固定された場所の行列要素 によって与えられる関数です。

有限群の既約表現の行列係数は、バーンサイド、フロベニウス、シューアによって開発されたこれらの群の表現論で重要な役割を果たします。それらはシューアの直交関係を満たします。表現 ρ の指標は、行列係数f _{v i、η i}の合計です。ここで、{ v _i } は ρ の表現空間の基底を形成し、{η _i } は双対基底を形成します。

リー群の表現の行列係数は、エリー・カルタンによって初めて考えられた。 イスラエル・ゲルファンドは、多くの古典的な特殊関数と直交多項式が、リー群Gの表現の行列係数として表現できることを認識した。^{[2] [要出典]この記述は、加法公式、特定の再帰関係、直交関係、積分表現、微分作用素に関する}固有値特性など、特殊関数のこれまでばらばらであった多くの特性を証明するための統一的な枠組みを提供している。 ^[3]三角関数、超幾何関数とその一般化、ルジャンドルとヤコビの直交多項式、ベッセル関数など、数理物理学の特殊関数はすべて、リー群の表現の行列係数として生じる。代数幾何学と数論で重要なシータ関数と実解析アイゼンシュタイン級数も、このような実現を認めている。

ゲルファント、グラエフ、ピアテツキ＝シャピロによって始められた古典モジュラー形式の理論に対する強力なアプローチは、それらを、アデル群の保型表現である特定の無限次元ユニタリ表現の行列係数として見る。このアプローチは、ラングランズによって、大域体上の一般簡約代数群のためにさらに発展した。

• ピーター・ワイル定理
• 球面関数
• 離散級数表現

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• Vilenkin, N. Ja.、Klimyk, AUリー群と特殊関数の表現。第 1 巻。最も単純なリー群、特殊関数、積分変換。ロシア語から VA Groza と AA Groza によって翻訳。数学とその応用 (ソビエトシリーズ)、72。Kluwer Academic Publishers Group、ドルドレヒト、1991 年。xxiv+608 ページ。ISBN 0-7923-1466-2 
• Želobenko, DP (1973).コンパクト リー群とその表現. 数学モノグラフの翻訳. 第 40 巻.アメリカ数学会.