群上の正定値関数

数学、特に作用素論において、群上の正定値関数は、ヒルベルト空間、代数群の文脈における正値性の概念と関連している。これは、基礎となる集合が追加の群構造を持つ特定のタイプの正定値カーネルとして見ることができる。

を群、を複素ヒルベルト空間、を上の有界作用素とする。 上の正定値関数は、${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F:G\to L(H)}$

${\displaystyle \sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \geq 0,}$

有限のサポートを持つすべての関数に対して(有限個の場合のみ非ゼロの値を取ります)。 ${\displaystyle h:G\to H}$${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$

言い換えると、によって定義される核が正定値核である場合、関数は正定値関数であると言われます。このような核は-対称、つまり左-作用に対して不変です。が局所コンパクト群である場合、定義はその左不変ハール測度上の積分によって一般化されます。 上の正定値関数は、コンパクトなサポートを持つすべての連続関数に対して を満たす連続関数です。 ${\displaystyle F:G\to L(H)}$${\displaystyle K:G\times G\to L(H)}$${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle K(s,t)=K(rs,rt),\quad \forall r\in G}$$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F:G\to L(H)}$$${\displaystyle \int _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \;\mu (ds)\mu (dt)\geq 0,}$$${\displaystyle h:G\to H}$

定数関数 （は上の恒等演算子）は正定値です。 ${\displaystyle F(g)=I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle H}$

を有限アーベル群とし、を1次元ヒルベルト空間とします。任意の文字は正定値です。(これはユニタリ表現の特殊なケースです。) ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {C} }$

これを示すには、有限群の指標が、ノルム 1 の複素数の乗法群から への準同型であることを思い出してください。すると、任意の関数 に対して、が成り立ちます。ルベーグ測度、およびの場合、 上の正定値関数は、コンパクトな台を持つすべての連続関数 に対してとなる連続関数です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h:G\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \sum _{s,t\in G}\chi (s^{-1}t)h(t){\overline {h(s)}}=\sum _{s,t\in G}\chi (s^{-1})h(t)\chi (t){\overline {h(s)}}=\sum _{s}\chi (s^{-1}){\overline {h(s)}}\sum _{t}h(t)\chi (t)=\left|\sum _{t}h(t)\chi (t)\right|^{2}\geq 0.}$$${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H=\mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m\times m}}$$${\displaystyle \int _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}h(x)^{\dagger }F(xy)h(y)\;dxdy\geq 0}$$${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$

ユニタリ表現は、がすべての に対してユニタリ演算子であるようなユニタリ準同型です。そのような に対して、です。 ${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$${\displaystyle \Phi (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi (s^{-1})=\Phi (s)^{*}}$

上の正定値関数は、のユニタリ表現と密接に関係しています。 のユニタリ表現はすべて、正定値関数の族を生み出します。逆に、正定値関数が与えられれば、 のユニタリ表現を自然な方法で 定義できます。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

を のユニタリ表現とします。が の閉部分空間への射影である場合、 はに値を持つ上の正定値関数です。 これは簡単に示せます。 ${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\in L(H)}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F(s)=P\Phi (s)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L(H')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle &=\sum _{s,t\in G}\langle P\Phi (s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \\{}&=\sum _{s,t\in G}\langle \Phi (t)h(t),\Phi (s)h(s)\rangle \\{}&=\left\langle \sum _{t\in G}\Phi (t)h(t),\sum _{s\in G}\Phi (s)h(s)\right\rangle \\{}&\geq 0\end{aligned}}}$

任意の に対して、有限のサポートを持ちます。が位相を持ち、弱連続(強連続)である場合、明らかに も連続です。 ${\displaystyle h:G\to H'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle F}$

一方、上の正定値関数を考えます。 のユニタリ表現は次のようにして得られます。を有限台を持つ関数の族とします。対応する正の核は上の（おそらく退化した）内積を定義します。結果として得られるヒルベルト空間を と表記します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C_{00}(G,H)}$${\displaystyle h:G\to H}$${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$${\displaystyle C_{00}(G,H)}$${\displaystyle V}$

すべての の「行列要素」がであることに注目してください。したがって、上の内積は保存されます。つまり、 ではユニタリです。マップが上のの表現であることは明らかです。 ${\displaystyle K(s,t)=K(a^{-1}s,a^{-1}t)}$${\displaystyle a,s,t}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U_{a}h(s)=h(a^{-1}s)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L(V)}$${\displaystyle \Phi (a)=U_{a}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$

次の最小条件が満たされる場合、ユニタリ表現はヒルベルト空間同型性を除いて一意です。

${\displaystyle V=\bigvee _{s\in G}\Phi (s)H}$

ここで、は線形スパンの閉包を表します。 ${\displaystyle \bigvee }$

を の元（同値類の可能性もある）として識別し、そのサポートは単位元 で構成され、 がこの部分空間への射影であるとします。すると、すべての に対して次が成り立ちます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle V}$${\displaystyle e\in G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$${\displaystyle a\in G}$

を整数の加法群とします。テプリッツ行列との類推により、核はテプリッツ型の核と呼ばれます。が の形である場合、 はあるヒルベルト空間に作用する有界演算子です。が縮約である場合に限り、核が正であることが示せます。前のセクションの議論により、ユニタリ演算子 に対してのユニタリ表現が得られます。さらに、この特性は に変換されます 。これはまさにSz.-Nagy の膨張定理であり、任意の正定値核のパラメータ化につながる、膨張理論による正値性の重要な特徴付けを示唆しています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle K(n,m)=F(m-n)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(n)=T^{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K(n,m)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Phi (n)=U^{n}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$${\displaystyle PU^{n}P=T^{n}}$

• Berg, Christian; Christensen, Paul; Ressel (1984)。半群の調和解析。数学大学院テキスト。第 100 巻。Springer Verlag。
• Constantinescu, T. (1996).シューアパラメータ、膨張および因数分解問題. Birkhauser Verlag.
• Sz.-Nagy, B.; Foias, C. (1970).ヒルベルト空間上の演算子の調和解析. North-Holland.
• Sasvári, Z. (1994).正定値関数と定義可能関数. Akademie Verlag.
• ウェルズ、JH。ルイジアナ州ウィリアムズ (1975 年)。分析における埋め込みと拡張。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 84. ニューヨーク-ハイデルベルク: Springer-Verlag。 vii+108ページ。