トレースの交換定理

数学において、 トレースの交換定理は、トレースが存在する場合にヒルベルト空間に作用する特定のフォン・ノイマン代数の可換性を明示的に識別します。

そのような結果が最初に証明されたのは、1930 年代にフランシス・ジョセフ・マレーとジョン・フォン・ノイマンによってで、離散群によって生成されるフォン・ノイマン代数、または確率測度を保存する測定可能な変換に関連付けられた動的システムによって生成されるフォン・ノイマン代数に適用されます。

もう一つの重要な応用は、ユニモジュラ局所コンパクト群のユニタリ表現の理論であり、この理論は正則表現やその他の密接に関連する表現に適用されている。特に、この枠組みは、アーヴィング・シーガルとフォレスト・スタインスプリングによるユニモジュラ局所コンパクト群に対するプランシュレルの定理の抽象版と、ロジャー・ゴデマンによるゲルファント対に関連付けられた球面関数に対する抽象プランシュレルの定理につながった。彼らの研究は、1950年代にジャック・ディクスミアによってヒルベルト代数の理論の一部として最終的な形にまとめられた。

1960 年代後半になってようやく、ルドルフ・ハーグ学派による代数的量子場理論と量子統計力学の成果に促されて、より一般的な非トレース富田・竹崎理論が開発され、フォン・ノイマン代数理論の新しい時代の到来を告げた。

Hをヒルベルト空間とし、MをH上のフォン・ノイマン代数とし、単位ベクトルΩが

• M ΩはHに密である
• M ' Ω はHに稠密であり、ここでM ' はMの可換項を表す。
• M内のすべてのa、bに対して( ab Ω, Ω) = ( ba Ω, Ω) 。

ベクトル Ω は巡回分離トレースベクトルと呼ばれます。最後の条件は、Ω に対応する行列係数がM上のトレース状態を定義することを意味するため、トレースベクトルと呼ばれます。Ω はH を位相的なMモジュールとして生成するため、巡回と呼ばれます。Mのaに対してa Ω = 0の場合、 aM' Ω= (0)となり、したがってa = 0 と なるため、分離と呼ばれます。

したがって、地図は

${\displaystyle Ja\Omega =a^{*}\Omega }$

Mのaに対して、 Hの共役線形等長変換を定義し、その単位元はJ ² = Iです。演算子Jは通常、モジュラー共役演算子と呼ばれます。

JMJとMは部分空間MΩ上で可換であることがすぐに証明されるので、^[1]

${\displaystyle JMJ\subseteq M^{\prime }.}$

マレーとフォン・ノイマンの 交換定理は、

これを理解する最も簡単な方法の一つは、実部分空間M _sa Ωの閉包Kを導入することである^{[2] 。ここで}M _{sa は}Mの自己随伴要素を表す。従って、

${\displaystyle H=K\oplus iK,}$

内積の実部の直交直和。これはJの ±1 固有空間の実直交分解に過ぎません。一方、M _saの aとM' _saのbの場合、内積 ( ab Ω, Ω) は実数です。これは、 abが自己随伴であるためです。したがって、 M がM 'に置き換えられてもK は変更されません。

特にΩはM'のトレースベクトルであり、MがM 'に置き換えられてもJは変化しない。したがって、逆の包含

${\displaystyle JM^{\prime }J\subseteq M}$

MとM'の役割を逆にすると次のようになります。

• 交換定理の最も単純なケースの 1 つは、有限次元内積空間に左正規表現λ と右正規表現ρ によって作用する有限群Γ の場合であり、この場合、交換定理は簡単に直接見ることができます。これらのユニタリ表現は、におけるfの公式によって与えられ、交換定理は、次のことを意味します。演算子J は、公式によって与えられます。Γ が任意の可算離散群である場合も、まったく同じ結果が当てはまります。^{[3]フォン ノイマン代数 λ(Γ)' ' は通常、Γ の}群フォン ノイマン代数と呼ばれます。 ${\displaystyle \ell ^{2}(\Gamma )}$$${\displaystyle (\lambda (g)f)(x)=f(g^{-1}x),\,\,(\rho (g)f)(x)=f(xg)}$$${\displaystyle \ell ^{2}(\Gamma )}$$${\displaystyle \lambda (\Gamma )^{\prime \prime }=\rho (\Gamma )^{\prime },\,\,\rho (\Gamma )^{\prime \prime }=\lambda ( \ガンマ )^{\プライム }.}$$$${\displaystyle Jf(g)={\overline {f(g^{-1})}}.}$$
• もう一つの重要な例は、確率空間( X , μ )によって提供されます。アーベル フォン ノイマン代数 A = L ^∞ ( X , μ ) は、乗算演算子によってH = L ² ( X , μ )に作用し、定数関数 1 は巡回分離トレース ベクトルです。したがって、AはB ( H )の最大アーベル部分代数であるため、 H上のすべての有界演算子のフォン ノイマン代数となります。$${\displaystyle A'=A,}$$
• 3 番目の例は、上記の 2 つを組み合わせたものです。エルゴード理論に由来し、フォン ノイマンがフォン ノイマン代数を研究する元々の動機の 1 つでした。( X 、μ) を確率空間とし、Γ を ( X 、μ)の測度保存変換の可算離散群とします。したがって、この群は、Hにおけるfの公式に従ってヒルベルト空間H = L ² ( X 、μ) にユニタリに作用し、アーベル フォン ノイマン代数A = L ^∞ ( X、μ) を正規化します。ヒルベルト空間のテンソル積をとします。[ 4 ^]群測度空間構成または交差積フォン ノイマン代数は、代数と正規化演算子によって生成されるH ₁上のフォン ノイマン代数として定義されます。^[5]$${\displaystyle U_{g}f(x)=f(g^{-1}x),}$$$${\displaystyle H_{1}=H\otimes \ell ^{2}(\Gamma ),}$$$${\displaystyle M=A\rtimes \Gamma }$$${\displaystyle A\otimes I}$${\displaystyle U_{g}\otimes \lambda (g)}$
  ベクトルは循環分離トレースベクトルです。さらに、モジュラー共役演算子Jと可換演算子M ' を明示的に識別できます。${\displaystyle \Omega =1\otimes \delta _{1}}$

群測度空間構成の最も重要なケースの 1 つは、 Γ が整数群Zである場合、つまり単一の可逆可測変換Tの場合です。ここで、T は確率測度 μ を保存する必要があります。T (またはより一般的には Γ) が無限同値測度のみを保存する場合を扱うには、半有限トレースが必要です。また、同値類に不変測度がない場合は、測度の同値類がT (または Γ)によって保存されていても、富田–竹崎理論の完全な力が必要です。 ^{[6] [7]}

M をフォン・ノイマン代数とし、M _+をMの正の作用素の集合とする。定義^{[3]によれば、} M上の半有限トレース（または単にトレースともいう）は、 M ₊から[0, ∞] へ の関数 τ であり、

1. ${\displaystyle \tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)}$a、b がM ₊かつλ, μ ≥ 0の場合(半線形性);
2. ${\displaystyle \tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)}$a はM ₊に属し、uはMに属するユニタリ演算子である（ユニタリ不変性）。
3. τ はMの射影の直交族上で完全に加法性がある（正規性）。
4. Mの各射影は有限のトレースを持つ射影の直交直和として表される（半有限性）。

さらに、すべての非ゼロ射影において τ が非ゼロである場合、 τ は忠実なトレースと呼ばれます。

τ がM上の忠実なトレースであるならば、H = L ² ( M , τ) を内積空間のヒルベルト空間完備化と する。

${\displaystyle M_{0}=\left\{a\in M\mid \tau \left(a^{*}a\right)<\infty \right\}}$

内積に関して

${\displaystyle (a,b)=\tau \left(b^{*}a\right).}$

フォン・ノイマン代数MはHに対して左乗法で作用し、その像と同一視できる。

${\displaystyle Ja=a^{*}}$

となる。演算子Jはモジュラー共役演算子とも呼ばれ、 J ^{2 = I}_を満たすHの共役線型等長変換に拡張される。マレーとフォン・ノイマンの交換定理は、

この場合も有効である。この結果はさまざまな方法で直接証明できるが^{[3] [8]}、有限トレースの結果から次の基本事実を繰り返し使用することですぐに導かれる。

M ₁ ⊇ M ₂ が2つのフォン・ノイマン代数であり、 強作用素位相においてM ₁の可換なIに増加する射影p _nの族に対してp _n M ₁ = p _n M _2で ある場合、M ₁ = M ₂です。

ヒルベルト代数の理論は、ヒルベルト・シュミット作用素から始まるトレースクラス作用素のトレースを定義する古典的な方法を形式化するために、ゴデマン（「ユニタリー代数」という名前で）、シーガル、ディクスミアによって導入された。^[9]群の表現論への応用は、自然にヒルベルト代数の例につながる。半有限トレースを備えたすべてのフォン・ノイマン代数には、それに関連付けられた標準的な「完全な」^[10]または「完全な」ヒルベルト代数があり、逆に、まさにこの形式の完全なヒルベルト代数は、すべてのヒルベルト代数に標準的に関連付けられる。ヒルベルト代数の理論は、マレーとフォン・ノイマンの交換定理を演繹するために使用できる。同様に、ヒルベルト代数に関する主要な結果も、トレースの交換定理から直接演繹することができる。ヒルベルト代数の理論は、竹崎^{[7]によって、}富田-竹崎理論における半有限重みの交換定理を証明するためのツールとして一般化されました。状態を扱う場合にはヒルベルト代数は不要です。^{[2] [11] [12]}

ヒルベルト代数[ ^{3] [13] [14]}は、反転x → x *と内積(,) を持つ代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. ( a , b ) = ( b *, a *)、ただしa、bは、${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
2. 固定さ れたaによる左乗算は有界演算子です。${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
3. * は随伴関数、つまり ( xy , z ) = ( y , x * z ) です。
4. すべての積xyの線形スパンは において稠密です。${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

• 無限次元ヒルベルト空間上のヒルベルト・シュミット作用素は、内積( a , b )=Tr( b * a )となるヒルベルト代数を形成する。
• ( X ,μ)が無限測度空間である場合、代数^L∞ ( X ) L2 ( X )は^、L2 ( X )からの通常の内積を持つヒルベルト代数で^ある。${\displaystyle \cap}$
• M が忠実な半有限トレース τ を持つフォンノイマン代数である場合、上で定義した *-部分代数M ₀は内積 ( a、b ) = τ( b * a ) を持つヒルベルト代数です。
• Gがユニモジュラ 局所コンパクト群である場合、畳み込み代数L ¹ ( G ) L ² ( G ) は、 L ² ( G )からの通常の内積を持つヒルベルト代数です。${\displaystyle \cap}$
• ( G , K ) がゲルファント対である場合、畳み込み代数L ¹ ( K \ G / K ) L ² ( K \ G / K ) は、 L ² ( G )からの通常の内積を持つヒルベルト代数です。ここで、L ^p ( K \ G / K ) は、 L ^p ( G ) 内のK双不変関数の閉じた部分空間を表します。${\displaystyle \cap}$
• ヒルベルト代数の任意の稠密な*-部分代数もまたヒルベルト代数である。

H を内積に関するのヒルベルト空間完備化し、J をHの共役線型反転への反転の拡張とします。 の表現 λ と反表現 ρ を、 左乗法と右乗法によって自分自身に定義します。 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

${\displaystyle \lambda (a)x=ax,\,\,\rho (a)x=xa.}$

これらの作用はHへの作用に連続的に拡張される。この場合、ヒルベルト代数の交換定理は次のように述べている。

さらに、

${\displaystyle M=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime },}$

演算子λ( a )によって生成されるフォン・ノイマン代数、そして

これらの結果は、Godement (1954) と Segal (1953) によって独立して証明されました。

証明は、ヒルベルト空間完備化Hにおける「有界要素」の概念に依存します。

Hのxの元がに対して有界であるとは、 a → xaのHへの写像がH上の有界作用素λ( x ) に拡張される場合を言う。この場合、次のことが簡単に証明できる: ^[15]${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

• Jxも境界付き要素であり、x *と表記され、λ( x *) = λ( x )*です。
• a → ax はH上の有界演算子 ρ( x ) = J λ( x *) Jによって与えられる。
• M 'は、 xが制限されたρ( x )によって生成される。
• λ( x )とρ( y )は、 x、y が有界であれば可換である。

交換定理は最後の主張から直ちに導かれる。特に $${\displaystyle M=\lambda ({\mathfrak {B}})''.}$$

すべての有界要素の空間は、密な*-部分代数として を 含むヒルベルト代数を形成する。 に対して有界なHの任意の要素は、実際にはすでに に含まれている必要があるため、これは完全または完全であると言われる。 M ₊上の関数 τ は、 x = λ ( a )* λ ( a ) の 場合に によって定義され 、それ以外の場合は ∞ であるため、 M上の忠実な半有限トレースを生成する。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$$${\displaystyle \tau (x)=(a,a)}$$$${\displaystyle M_{0}={\mathfrak {B}}.}$$

したがって：

• フォン・ノイマン代数
• 提携事業者
• 富田・竹崎理論

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• Dieudonne, J. (1976)、Treatise on Analysis、Vol. II、アカデミックプレス、ISBN 0-12-215502-5
• Dixmier, J. (1957)、Les algèbres d'operateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann、Gauthier-Villars
• Dixmier, J. (1981)、フォン・ノイマン代数、北オランダ、ISBN 0-444-86308-7（英訳）
• Dixmier, J. (1969)、Les C*-algebres et leurs représentations、Gauthier-Villars、ISBN 0-7204-0762-1
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