クラス機能

数学、特に群論や群の表現論の分野において、類関数（そうかんふく）とは、群G上の関数で、Gの共役類に関して定数であるもの、すなわち、G上の 共役写像に関して不変であるものをいう。このような関数は表現論において基本的な役割を果たす。

体K上のGの線型表現の指標は、常にKに値を持つクラス関数です。クラス関数は群環K [ G ]の中心を形成します。ここで、クラス関数f は要素と同一視されます。 ${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g}$

体Kに値を持つ群Gの類関数の集合は、Kベクトル空間を形成します。G が有限で、体の標数が G の位数を割り切らない場合、この空間上にによって定義される内積が存在します。ここで、| G | はGの位数、バーは体Kの共役を表します。Gの既約指標の集合は直交基底を形成し、K がGの分解体である場合、たとえばKが代数的に閉じている場合、既約指標は正規直交基底を形成します。 ${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\phi (g){\overline {\psi (g)}} }$

コンパクト群と複素数体K  =  Cの場合、ハール測度の概念により、上記の有限和を積分で置き換えることができます。${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int _{G}\phi (t){\overline {\psi (t)}}\,dt.}$

Kが実数または複素数の場合、内積は非退化 エルミート 双線形形式になります。

• 誘導特性に関するブラウアーの定理

• Jean-Pierre Serre、「有限群の線型表現」、Graduate Texts in Mathematics 42、Springer-Verlag、ベルリン、1977年。