ペアのヘッケ代数

数学において、局所コンパクトまたは簡約リー群のペア ( G、K )のヘッケ代数は、畳み込みによる測度の代数です。また、リー代数gを持つリー群の最大コンパクト部分群Kのペア ( g、K ) に対しても定義できます。この場合、ヘッケ代数は近似単位元を持つ代数であり、その近似単位元はペア ( g、K ) のK有限表現と同じです。

対のヘッケ代数は、エーリッヒ・ヘッケによって研究された古典的なヘッケ代数の一般化であり、(GL ₂ ( Q ), GL ₂ ( Z ))の場合に対応する。

( G , K )をユニモジュラ 局所コンパクト位相群 GとGの閉部分群Kからなるペアとする。このとき、コンパクト台

C _c ^∞ [ K \ G / K ]

畳み込み演算の下では結合代数の構造を付与することができる。^[1]この代数はしばしば

H ( G // K )

そして、 ( G , K )のペアのヘッケ代数と呼ばれる。

( G , K ) がゲルファンド対である場合、ヘッケ代数は可換であることがわかります。

1979年、ダニエル・フラスは一般簡約リー群Gに対して同様の構成を与えた。^[2]リー群Gと最大コンパクト部分群K を持つリー代数gのペア ( g , K )のヘッケ代数は、 Kに台があり、積が畳み込みで与えられる G 上の K 有限超関数の代数である。[ 3 ] ^{[ 4]}

Gが有限群でK がGの任意の部分群である場合、ヘッケ代数はH \ G / Hの二重剰余類によって張られます。

p進数上の特殊線型群については、

G = SL _n ( Q _p ) かつK = SL _n ( Z _p )、

対応する可換ヘッケ環の表現はイアン・G・マクドナルドによって研究された。

有理数上の一般線型群については、

G = GL ₂ ( Q ) かつK = GL ₂ ( Z )

ペア ( G、K )のヘッケ代数は古典的ヘッケ代数であり、モジュラー形式理論におけるヘッケ作用素の可換環である。

有限ワイル群の岩堀-ヘッケ代数に至るケースは、 Gがp ^k個の元を持つ有限体上の有限シュヴァレー群であり、Bがそのボレル部分群である場合である。岩堀はヘッケ環が

H ( G // B )

は、Gのワイル群Wの汎用ヘッケ代数H _qから、後者の代数の不定値qを有限体の濃度p ^kに特殊化することによって得られる。ジョージ・ルスティグは1984年に次のように述べている: ^[5]

岩堀代数と呼ぶのが最も適切だと思いますが、岩堀自身が付けたヘッケ環（または代数）という名前は、ほぼ 20 年間使用されており、今さら変更するのはおそらく遅すぎます。

岩堀と松本 (1965) は、GがQ _pのような非アルキメデス的局所体F上の簡約代数群の点の群であり、K が現在Gの岩堀部分群と呼ばれるものである場合を考察した。結果として得られるヘッケ環は、 Gのアフィンワイル群のヘッケ代数、または不定値qがFの剰余体の濃度に特殊化されたアフィンヘッケ代数に同型である。

• バンプ、ダニエル(1997)。保型形式と表現。ケンブリッジ高等数学研究。第 55 巻。ケンブリッジ大学出版局。
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• Lusztig, George (1984)。有限体上の簡約群の指標。数学研究年報。第107巻。プリンストン大学出版局。
• 志村五郎(1971)。保型関数の数論入門（ペーパーバック版）。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08092-5。