ハリシュ・チャンドラのc関数

数学において、ハリシュ＝チャンドラのc関数は、半単純リー群のプランシュレル測度に現れる、2 つの主要な級数表現間の絡み合い演算子に関連する関数です。 ハリシュ＝チャンドラ(1958a、1958b) は、リー群の帯状球面関数 の漸近挙動の観点から定義されたこの関数の特殊なケースを導入し、ハリシュ＝チャンドラ (1970) は、ハリシュ＝チャンドラの(一般化) C関数と呼ばれる、より一般的なc関数を導入しました。 ギンディキンとカルペレヴィッチ (1962、1969)は、ハリシュ＝チャンドラのc関数の積の公式であるギンディキン–カルペレヴィッチ公式を導入しました。

c 関数は、ワイル群の元wに応じて一般化c _w (λ) を持ちます。最大長s ₀の唯一の元は 、ワイルチェンバーを に運ぶ唯一の元です。ハリシュ・チャンドラの積分公式により、c _{s 0}はハリシュ・チャンドラのc関数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$${\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}$

${\displaystyle c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).}$

c関数は一般に次の式で定義される。

${\displaystyle \displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},}$

ここで、ξ _{0は L} ² ( K / M )の定数関数 1 です。絡み合う演算子の共循環特性は、 c関数に対して同様の乗法特性を意味します。

${\displaystyle c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )}$

提供された

${\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).}$

これにより、 c _sの計算は、 s = s _αの場合、つまり（単純な）根 α の反射、いわゆる Gindikin & Karpelevich (1962) の「ランク 1 削減」にまで削減されます。実際、積分は、 α が Σ ₀ ⁺内にある場合に生成されるリー部分代数に対応する閉じた連結部分群G ^αのみを伴います。この場合、G ^{α は、実ランク 1、つまり dim} A ^α = 1の実半単純リー群であり、c _{s は}G ^αのHarish-Chandra c関数です。この場合、c関数は直接計算でき、次のように与えられます 。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$

${\displaystyle c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

どこ

${\displaystyle c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \left({1 \over 2}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\right)}$

そしてα ₀ =α/〈α,α〉である。

c (λ)の一般的なギンディキン・カルペレヴィッチの公式は、この公式とc _s (λ)の乗法特性から直接導かれ、​​次のようになります。

${\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

ここで定数c _0はc (–iρ)=1 となるように選択される（Helgason 2000、p.447）。

c関数は球面関数のプランシュレルの定理に現れ、プランシュレル測度はルベーグ測度の 1/ c ²倍です。

p進リー群にも同様のc関数があります。Macdonald (1968、1971) と Langlands (1971) は、p進リー群 のc関数に類似した積の式を発見しました。

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