ゲルファンドペア

数学において、ゲルファント対とは、制限された表現に関する特定の性質を満たす群Gと部分群K ( Gのオイラー部分群と呼ばれる) からなる対 ( G、K ) である。ゲルファント対の理論は、古典的な特殊関数の理論における球面関数のトピック、および微分幾何学におけるリーマン対称空間の理論と密接に関連している。大まかに言えば、この理論はこれらの理論から調和解析と表現論の観点からその内容を抽象化するために存在する。

G が有限群である場合、最も単純な定義は、大まかに言えば、Gの( K、K  ) 二重剰余類が可換であるということです。より正確には、Kによるどちらの側への変換に対しても不変であるG上の関数の代数であるヘッケ代数は、G上の畳み込みに対して可換である必要があります。

一般に、ゲルファント対の定義は、Gの任意の既約表現のKへの制限に、重複度が 1 以下のKの自明表現が含まれるというものです。それぞれの場合において、考慮される表現のクラスと「含まれる」の意味を指定する必要があります。

それぞれの領域では、表現のクラスと表現の包含の定義が若干異なります。ここでは、そのようなケースのいくつかについて明示的な定義を示します。

Gが有限群の場合、以下は同値です。

• ( G , K ) はゲルファンド対です。
• 畳み込みによって定義された乗算を持つG上の ( K , K )-二重不変関数の代数は可換である。
• Gの任意の既約表現πに対して、 π内のK不変ベクトルの空間π ^Kは1 次元以下です。
• Gの任意の既約表現πに対して、Hom _K ( π , C )の次元は1 以下であり、ここでC は自明な表現を表します。
• Kの剰余類上のGの置換表現は重複性がありません。つまり、特性0 の異なる絶対既約表現の直和に分解されます。
• 順列表現の中心化代数（シューア代数）は可換である。
• ( G / N , K / N ) はゲルファンド対であり、NはKに含まれるGの正規部分群である。

Gがコンパクト位相群のとき、以下は同値である。

• ( G , K ) はゲルファンド対です。
• 畳み込みによって定義される乗算を持つG上の( K , K )-二重不変コンパクトに支えられた連続測度の代数は可換である。
• Gの任意の連続、局所凸、既約表現πに対して、 πのK不変ベクトルの空間π ^{K は}1 次元以下です。
• Gの任意の連続、局所凸、既約表現πに対して、Hom _K ( π , C )の次元は1 以下になります。
• Gの表現L ² ( G / K ) は重複性がありません。つまり、異なるユニタリ既約表現の直和です。

Gがリー群でKがコンパクト部分群のとき、以下は同値です。

• ( G , K ) はゲルファンド対です。
• 畳み込みによって定義される乗算を持つG上の( K , K )-二重不変コンパクトに支えられた連続測度の代数は可換である。
• G / K上のK不変微分作用素の代数D ( G / K ) ^Kは可換である。
• Gの任意の連続、局所凸、既約表現πに対して、 πのK不変ベクトルの空間π ^{K は}1 次元以下です。
• Gの任意の連続、局所凸、既約表現πに対して、Hom _K ( π , C )の次元は1 以下になります。
• Gの表現L ² ( G / K ) は重複性がありません。つまり、異なるユニタリ既約表現の直接積分です。

このようなゲルファンド対の分類については^{[1]を参照。}

このようなゲルファンド対の典型的な例は ( G , K ) であり、ここでGは簡約リー群、K は最大コンパクト部分群である。

Gが局所コンパクト 位相群であり、Kがコンパクト部分群である場合、以下は同値です。

• ( G , K ) はゲルファンド対です。
• 畳み込みによって定義される乗算を持つG上の( K , K )-二重不変コンパクトに支えられた連続測度の代数は可換である。
• Gの任意の連続 局所 凸既約表現 πに対して、 πのK不変ベクトルの空間π ^Kは1 次元以下です。
• Gの任意の連続、局所凸、既約表現πに対して、Hom _K ( π , C )の次元は1 以下になります。
• Gの表現L ² ( G / K ) は重複性がありません。つまり、異なるユニタリ既約表現の直接積分です。

この設定では、G は岩澤-モノ分解、すなわちGのある従順な部分群Pに対してG = KP を持ちます。^[2]これは半単純リー群の岩澤分解の抽象的な類似です。

Gがリー群でKが閉部分群のとき、ヒルベルト空間上のGの任意の既約ユニタリ表現πに対して Hom _K ( π , C )の次元が 1 以下であるとき、ペア ( G、K ) は一般化ゲルファントペアと呼ばれます。ここでπ ^{∞ は}滑らかなベクトルの部分表現を表します。

G が局所体上の簡約群であり、K が閉部分群である 場合、文献にはゲルファント対の 3 つの概念 (おそらく同等ではない) が存在します。

（GP1 ） Gの任意の既約許容表現πに対して、Hom _K（π、C ）の次元は1以下である。

( GP2 ) Gの任意の既約許容表現πに対して、 が成り立ちます。ここで、 は滑らかな双対を表します。 ${\textstyle \dim \operatorname {Hom} _{K}(\pi ,\mathbf {C} )\cdot \dim \operatorname {Hom} _{K}({\tilde {\pi }},\mathbf { C} )\leq 1}$${\displaystyle {\チルダ {\pi }}}$

（GP3 ）ヒルベルト空間上のGの任意の既約ユニタリ表現 πに対して、Hom _K（π、C ）の次元は1以下である。

ここで、許容表現とは、局所体が非アルキメデス的である場合の許容表現の通常の概念です。局所体がアルキメデス的である場合、許容表現は、対応するハリシュ・チャンドラ加群が許容されるような中程度の増加の滑らかなフレシェ表現を意味します。

ローカル フィールドがアルキメデスの場合、GP3 は前のケースで定義された一般化されたゲルファンド プロパティと同じになります。

明らかに、GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3です。

対( G × K 、 Δ K ) がゲルファント対であるとき、対 ( G、 K ) は強いゲルファント対と呼ばれます。ここで、 Δ K ≤ G × Kは対角部分群です。この性質は、重複度 1 の性質とも呼ばれることがあります。 ${\textstyle \{(k,k)\in G\times K:k\in K\}}$

上記の各ケースは、強いゲルファンド対に適応できます。たとえば、G を有限群とします。すると、次の 2 つは同値になります。

• ( G , K ) は強いゲルファンド対です。
• Kによる共役に関して不変なG上の関数の代数(畳み込みによって定義された乗算を含む) は可換です。
• Gの任意の既約表現 πとKのτに対して、空間 Hom _K ( τ , π ) は 1 次元に過ぎません。
• Gの任意の既約表現πとKのτに対して、空間 Hom _K ( π , τ ) は 1 次元に過ぎません。

この場合、ペア ( G、K ) がゲルファントであるためのゲルファントによる古典的な基準があります。つまり、任意の( K、K ) 二重剰余類がσ不変であるようなGの反転反自己同型σが存在するとします。すると、ペア ( G、K ) はゲルファント ペアになります。

この基準は、次の基準と同等です。Gの反転反自己同型σ が存在し、 Kによる右方向と左方向の両方の変換に関して不変なG上の任意の関数がσ不変であるとします。この場合、ペア ( G、K ) はゲルファント ペアです。

この場合、ペア ( G、K ) がGP2 を満たすためのゲルファントとカズダンによる基準がある。Gの任意の( K、K )-二重不変分布がσ不変であるようなGの反転反自己同型σ が存在すると仮定する。すると、ペア ( G、K )はGP2 を満たす（ ^{[3] [4] [5]}を参照）。

上記のステートメントが正定値分布に対してのみ成り立つ場合、ペアはGP3 を満たします(次のケースを参照)。

GP1 という性質は、多くの場合GP2から導かれます。たとえば、 K を保存し、すべての閉じた共役類を保存するGの反転反自己同型が存在する場合に、これが当てはまります。G = GL ( n )の場合、転置はそのような反転として機能します。

この場合、ペア ( G、K ) が一般化ゲルファントペアとなるための次の基準があります。G の任意の K × K不変正定値分布がσ不変となるようなGの反転反自己同型 σが存在するとします。すると、ペア ( G、K ) は一般化ゲルファントペアです ( ^[6]を参照)。

上記の基準はすべて、 K × Kの両側作用をKの共役作用に置き換えることによって、強いゲルファンド対の基準に変換できます。

対 ( G , K )は、群Kの χ 特性に関して、自明な表現を χ 特性に置き換えたときにゲルファント特性が成り立つ場合、ねじれたゲルファント対と呼ばれる。たとえば、 Kがコンパクトな場合、それは Hom _K ( π , χ )の次元が 1 以下であることを意味する。ゲルファント対の基準は、ねじれたゲルファント対の場合にも適用できる。^{[引用が必要]}

ゲルファンド特性は対称ペアによって満たされることが多い。ペア ( G、K ) は、 Gの反転自己同型θが存在し、 K がθ不変要素の群の連結成分の和集合であるとき、 対称ペアと呼ばれる^。

G がR上の連結な 簡約群であり、K  =  G ^θがコンパクト部分群である場合、 ( G、K ) はゲルファント対です。例: G  = GL( n、R ) およびK  = O( n、R )、直交行列の部分群。

一般に、局所体上の簡約群の対称対がゲルファンド特性を持つかどうかは興味深い問題である。ランク1の対称対の研究については、^{[7] [8]を参照。}

高階ゲルファント対称対の例は である。これは^[9]で非アルキメデス局所体に対して証明され、後に^[10]で特性ゼロのすべての局所体に対して証明された。 ${\textstyle ({\text{GL}}(n+k),{\text{GL}}(n)\times {\text{L}}(k))}$

高ランク対称ペアに関するこの質問の詳細については、^{[11]を参照してください。}

代数群の文脈では、ゲルファント対の類似物は球面対と呼ばれます。つまり、代数群のペア ( G、K ) は、次の同値な条件のいずれかが成り立つ場合、球面対と呼ばれます。

• Gには開いた ( B , K )-二重剰余類が存在する。ここで、B はGのボレル部分群である。
• Gには有限個の ( B , K )-二重剰余類が存在する。
• Gの任意の代数表現πに対して、次が成り立ちます。${\displaystyle {\text{dim}}\ \pi ^{K}\leq 1}$

この場合、空間G / H は球面空間と呼ばれます。

局所体上の任意の球状対 ( G , K ) は、ゲルファンド性質の次の弱いバージョンを満たすと予想されます。Gの任意の許容表現πに対して、空間 Hom _K ( π , C ) は有限次元です。さらに、この次元の境界はπに依存しません。この予想は、すべての対称対を含む球状対の大きなクラスに対して証明されています。^[12]

ゲルファンド対は、次のようにして既約表現の分類によく使用されます。

( G , K ) をゲルファント対とする。G の既約表現は、Hom _K ( π , C ) が1次元である場合、 K区別表現と呼ばれる。表現 Ind^GK
_​( C )はすべてのK-区別表現のモデルである。つまり、任意のK-区別表現は、重複度がちょうど1でそこに現れる。ツイストゲルファンド対にも同様の概念が存在している。

例: G が局所体上の簡約群であり、 K がその最大コンパクト部分群である場合、 K区別表現は球状表現と呼ばれ、そのような表現はサタケ対応によって分類できます。球状表現の概念は、ハリシュ-チャンドラ加群の概念の基礎にあります。

例: Gが局所体上の分割簡約群で、 K がその最大単能部分群である場合、対 ( G、K ) は任意の非退化特性ψに関してねじれたゲルファント対である( ^{[3] [13]}を参照)。この場合、Kで区別される表現はジェネリック (または非退化) と呼ばれ、分類が容易である。ほとんどすべての既約表現はジェネリックである。ジェネリック表現の Ind への一意の (スカラーまで) 埋め込みは、^GK
_​( ψ ) はWhittaker モデルと呼ばれます。

G = GL( n )の場合、上記の結果のより細かいバージョンがあります。つまり、部分群K _iと指標の有限列が存在し 、( G、K _i )はに関してねじれたゲルファント対であり、任意の既約ユニタリ表現は、ちょうど1つのiに対してK _iが^{区別されるということです（ [14] [15]}を参照）。 ${\displaystyle \psi_{i}}$${\displaystyle \psi_{i}}$

ゲルファント対は、既約表現の基底を構築するためにも使用できます。

が強いゲルファント対であるようなシーケンスがあるとします。簡単にするために、 G _{n は}コンパクトであると仮定します。これにより、G _nの任意の既約表現を1 次元部分表現に標準分解できます。G _n = U( n ) (ユニタリ群) のとき、この構成はゲルファント-ツァイトリン基底と呼ばれます。U( n )の表現はGL( n )の代数表現と同じなので、GL( n )の任意の代数既約表現の基底も得られます。ただし、構築された基底は埋め込みの選択に依存するため標準ではありません。 ${\textstyle \{1\}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{n}}$${\textstyle (G_{i},G_{i-1})}$${\textstyle U(i)\subset U(i+1)}$

ゲルファント対のより最近の用途は、保型形式の周期の分割です。

G を大域体 F上で定義された簡約群とし、K を G の代数的部分群とする。Fの任意の位置について、ペア ( G , K ) は完備化上のゲルファントペアであるとする。m をG上の保型形式とすると、そのH周期は局所因子 (つまり、各位置でのmの挙動のみに依存する因子) の積として分割される。 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \nu }$

ここで、複素パラメータsを持つ保型形式の族が与えられているとします 。すると、それらの形式の周期は、局所因子の積に分割される解析関数になります。多くの場合、これはこの関数が特定のL 関数であることを意味し、これにより、この L 関数の解析接続と関数方程式が得られます。

通常、これらの周期は収束しないので、正規化する必要があります。^[要出典]

表現論への可能なアプローチは、群Gの表現論を、 G × Gの両側作用に関する群G上の調和解析として考えることです。実際、 Gのすべての既約表現を知ることは、G × G表現としてのG上の関数の空間の分解を知ることと同等です。このアプローチでは、ペア ( G × G、G ) を任意の球面ペア ( G、K ) に置き換えることで表現論を一般化できます。すると、 Gの作用に関する空間G / K上の調和解析の問題につながります。

ここで、ペア ( G、K ) のゲルファンド特性は、シューアの補題の類似物です。

このアプローチを使用すると、表現理論のあらゆる概念を球面対の場合に一般化できます。たとえば、この手順により、トレース公式から相対トレース公式が得られます。

ゲルファンドペアの一般的な例をいくつか挙げます。

• ${\displaystyle ({\text{Sym}}(n+1),\ {\text{Sym}}(n))}$、n +1 点に作用する対称群と、 n点に自然に同型となる点安定群。
• ${\displaystyle ({\text{AGL}}(n,q),\ {\text{GL}}(n,q))}$、アフィン(一般線型)群、および一般線型群に自然に同型な点安定群。

( G , K ) がゲルファント対であれば、 ( G / N , K / N ) はKの任意のG正規部分群 Nに対するゲルファント対です。多くの目的では、そのような非恒等正規部分群なしでK を考えれば十分です。したがって、 Kの剰余類に対するGの作用は忠実なので、点安定子Kを持つ置換群Gを見ていることになります。ゲルファント対であることは、 Irr( G )のすべてのχに対して と同等です。フロベニウスの相互性により、 は置換作用の指標であるため、置換群がゲルファント対を定義するのは、置換指標がいわゆる重複度フリー置換指標である場合のみです。このような重複度フリー置換指標は、(Breuer & Lux 1996) の散在群に対して決定されました。 ${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]\leq 1}$${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]=[1\uparrow _{K}^{G},\chi ]}$${\displaystyle 1\uparrow _{K}^{G}}$

これにより、ゲルファント対を持つ有限群の例のクラス、すなわち2 推移群が生まれます。ある点の安定子K が残りの点に推移的に作用する場合、置換群 Gは2 推移的です。特に、n +1 点上の対称群Gとn点上の対称群K は、 n  ≥ 1ごとにゲルファント対を形成します。これは、2 推移置換作用の指標が、ある既約指標χと自明指標1 に対して 1+ χという形式になるためです (Isaacs 1994、p. 69)。

実際、G が推移的置換群であり、その点安定子Kが最大 4 つの軌道 (安定点のみを含む自明な軌道を含む) を持つ場合、そのシューア環は可換であり、( G , K ) はゲルファンド対である (Wielandt 1964、p. 86)。G が点安定子Kを持つ次数の素数の 2 倍の原始群である場合も、( G , K ) はゲルファンド対である (Wielandt 1964、p. 97)。

ゲルファンドペア（Sym( n ), K）は（Saxl 1981）で分類されました。大まかに言えば、nが18より小さくない 限り、 Kは次のいずれかのグループの小さなインデックスのサブグループとして含まれている必要があります。

• Sym( n − k ) × Sym( k )
• Sym( n /2) wr Sym(2), Sym(2) wr Sym( n /2)偶数 nに対して^{[説明が必要]}
• Sym( n −5)×AGL(1,5)
• Sym( n −6)×PGL(2,5) である。
• Sym( n −9)×PΓL(2,8) である。

古典群のゲルファンド対も研究されている。

• (GL( n , R )、O( n , R ))
• (GL( n , C ),U( n ))
• (O( n  +  k , R )、O( n , R )×O( k , R ))
• (U( n  +  k )、U( n ) × U( k ))
• ( G , K ) ここで、Gは簡約リー群、K は最大コンパクト部分群である。

F を特性 0 の局所体と します。

• (SL( n  + 1, F ), GL( n , F )) ただしn > 5
• (Sp(2 n  + 2, F ), Sp(2 n , F )) × Sp(2, F ))、n > 4の場合
• (SO( V ⊕ F ), SO( V )) ただし、VはF上の非退化 二次形式のベクトル空間である。

F を特性 0 の局所体とする。GをF上の簡約群とする。以下は高階の対称ゲルファンド対の例である。

• ( G × G , Δ G )は、シューアの補題から導かれる。
• （GL( n  +  k , F ),GL( n , F )×GL( k , F )）^{[9] [10]}
• (GL(2n , F )、Sp(2n , F ) ) ^{[16] [17]}
• (O( n  +  k , C ),O( n , C )×O( k , C )) ^[18]
• (GL( n , C ),O( n , C )) ^[18]
• (GL( n , E ),GL( n , F )) ただしEはFの二次拡大である^{[11] [19]}

次のペアは強いゲルファンドペアです。

• (Sym( n  + 1), Sym( n ))、逆自己同型写像​​ g ↦ g ^{−1を用いて証明される。}
• (GL( n  +1, F ),GL( n , F )) ただしFは特性0の局所体である^{[20] [21] [22]}
• (O( V ⊕ F ), O( V )) ただしVはF上の非退化 二次形式を持つベクトル空間である^{[20] [22]}
• U( V ⊕ E ), U( V )) ただし、EはFの二次拡大であり、VはE上の非退化エルミート形式を持つベクトル空間である^{[20] [22]}

これら 4 つの例は、次のものがゲルファンド ペアであるというステートメントとして言い換えることができます。

• (Sym( n  +1) × Sym( n )、ΔSym( n ))
• (GL( n  +1, F )×GL( n , F ),ΔGL( n , F ))
• (O( V ⊕ F ) × O( V )、Δ O( V ))
• (U( V ⊕ E ) × U( V )、Δ U( V ))

• 球面関数

• Breuer, T.; Lux, K. (1996)、「散在単純群とその自己同型群の多重度フリー置換特性」、Communications in Algebra、24 (7): 2293–2316、doi :10.1080/00927879608825701、MR  1390375
• アイザックス、I.マーティン（1994）、有限群のキャラクター理論、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-68014-9、MR  0460423
• Saxl, Jan (1981)、「多重度のない順列表現について」、有限幾何学と設計 (Proc. Conf.、Chelwood Gate、1980)、ロンドン数学協会講義ノートシリーズ、第 49 巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 337–353、MR  0627512
• van Dijk, Gerrit (2009)、「調和解析と一般化ゲルファント対入門」、De Gruyter studies in mathematical、第36巻、Walter de Gruyter、ISBN 978-3-11-022019-3
• Wielandt, Helmut (1964)、有限置換群、ボストン、マサチューセッツ州：Academic Press、MR  0183775