常微分方程式のスペクトル理論

数学において、常微分方程式のスペクトル理論は、スペクトル理論のうち、線型常微分方程式に関連するスペクトルと固有関数展開の決定に関わる部分である。ヘルマン・ワイルは学位論文で、有限閉区間上の古典的なシュトゥルム・リウヴィル理論を、区間の端点（半無限または無限の場合もある）に特異点を持つ2階微分作用素に一般化した。古典的な場合と異なり、スペクトルはもはや固有値の可算な集合だけで構成されているわけではなく、連続部分も含む可能性がある。この場合、固有関数展開には、ティッチマーシュ-コダイラの公式で与えられるスペクトル測度に関する連続部分上の積分が含まれる。この理論は、フォン・ノイマンのスペクトル定理を使用して、コダイラらによって偶数次の特異微分方程式に対する最終的な簡略化された形にまとめられた。この理論は、量子力学、作用素理論、半単純リー群上の調和解析において重要な応用がある。

導入

コンパクト区間上の2階常微分方程式のスペクトル理論は、19世紀にジャック・シャルル・フランソワ・シュトゥルムとジョセフ・リウヴィルによって開発され、現在ではシュトゥルム・リウヴィル理論として知られています。現代の言葉で言えば、これはダヴィド・ヒルベルトによるコンパクト作用素のスペクトル定理の応用です。1910年に出版された博士論文で、ヘルマン・ワイルはこの理論を、区間の端点（今では無限または半無限であることが許されています）に特異点がある2階常微分方程式に拡張しました。彼は同時に、これらの特殊作用素に適合したスペクトル理論を開発し、極限点と極限円の有名な二分法の観点から境界条件を導入しました。

1920年代に、ジョン・フォン・ノイマンは非有界自己随伴作用素に対する一般的なスペクトル定理を確立し、小平邦彦はそれを用いてワイル法を簡素化した。小平はまた、ワイル法を偶数次の特異常微分方程式に一般化し、スペクトル測度の簡単な公式を得た。同じ公式は、1946年にECティッチマーシュによっても独立に得られていた（日本とイギリスの間の科学的な交流は第二次世界大戦によって中断されていた）。ティッチマーシュは、作用素理論の代わりに複素関数論を用いて固有関数展開を導出したドイツの数学者エミール・ヒルブの方法に従っていた。スペクトル定理を回避する他の方法は、後にレビタン、レビンソン、吉田によって独立に開発され、特異微分作用素のレゾルベントが、適切な部分区間に対するシュトゥルム・リウヴィル問題に対応するコンパクトなレゾルベントで近似できることを利用した。別の方法はMark Grigoryevich Kreinによって発見されました。彼の方向関数の使用はその後 Izrail Glazman によって任意の偶数次の常微分方程式に一般化されました。

ワイルは彼の理論をカール・フリードリヒ・ガウスの超幾何微分方程式に適用し、ルジャンドル微分方程式に対するグスタフ・フェルディナント・メーラー（1881）の変換公式の広範囲にわたる一般化を得た。この変換公式は1943年にロシアの物理学者ウラジーミル・フォックによって再発見され、通常メーラー・フォック変換と呼ばれる。対応する常微分演算子は、 2次元双曲空間上のラプラシアン演算子の放射状部分である。より一般的には、ハリシュ・チャンドラとゲルファント・ナイマークによるSL(2,R)のプランシュレルの定理は、ワイルの超幾何方程式の理論から演繹することができ、高次元双曲空間の等長変換群の球面関数の理論も同様に演繹できる。ハリシュ・チャンドラが後に一般実半単純リー群に対して発展させたプランシュレルの定理は、特異常微分方程式に関連する固有関数展開のためにワイルが開発した方法に強く影響を受けました。同様に重要なことに、この理論は量子力学におけるシュレーディンガー方程式と散乱行列の解析の数学的基礎も築きました。

常微分方程式の解

標準形式への縮小

$D を$ $(a, b)$ 上の 2 階微分演算子とし、 $p$ は厳密に正の連続微分可能関数、 $q$ と $r は$ 連続実数値関数であるとします。 $Df(x)=-p(x)f''(x)+r(x)f'(x)+q(x)f(x),$

$($ $a$ $,$ $b$ $)$ における $x 0$ に対して、リウヴィル変換 $ψ を$ 次のように定義する。 $\psi (x)=\int _{x_{0}}^{x}p(t)^{-1/2}\,dt$

が次のように定義されるユニタリ演算子である場合、 $U:L^{2}(a,b)\mapsto L^{2}(\psi (a),\psi (b))$ $(Uf)(\psi (x))=f(x)\times \left(\psi '(x)\right)^{-1/2},\ \ \forall x\in (a,b)$ $U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}g=g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\ frac {\psi ''}{\psi '}}$ ${\begin{aligned}U{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}U^{-1}g&=\left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)\times \left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)g\\[1ex]&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \psi }}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\cdot \psi '+{\frac {1}{2}}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\cdot {\frac {\psi ''}{\psi '}}\\[1ex]&=g''\psi '^{2}+2g'\psi ''+{\frac {1}{2}}g\cdot \left[{\frac {\psi '''}{\psi '}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\psi ''^{2}}{\psi '^{2}}}\right]\end{aligned}}$

したがって、どこで、 $UDU^{-1}g=-g''+Rg'+Qg,$ $R={\frac {p'+r}{p^{1/2}}}$ $Q=q-{\frac {rp'}{4p}}+{\frac {p''}{4}}-{\frac {5p'^{2}}{16p}}$

$g'$ の項はオイラー積分係数を使って取り除くことができる。S $' / S = - R /2$ ならば、 $h = Sg は$ 次式を満たす。ここで、ポテンシャルVは次式で与えられる。 $(SUDU^{-1}S^{-1})h=-h''+Vh,$ $V=Q+{\frac {S''}{S}}$

したがって、微分演算子は常に次の形式のいずれかに簡約できる^[1] $Df=-f''+qf.$

存在定理

以下は、バナッハ空間 $E$ に値を持つ2階微分方程式に対する古典的なピカール存在定理のバージョンである。^[2]

$α$ 、 $βを$ $E$ の任意の元とし、 $Aを$ $E$ 上の有界作用素とし、 $qを$ $[$ $a$ $、$ $b$ $]$ 上の連続関数とする。

すると、 $c = a$ または $c = b$ に対して、微分方程式は初期条件を満たす $C$ $2$ $([$ $a$ $,$ $b$ $],$ $E$ $)$ 内の唯一の解 $fを持つ。$ $Df=Af$ $f(c)=\beta \,,\;f'(c)=\alpha .$

実際、これらの初期条件を持つ微分方程式の解は、 $C$ $([$ $a$ $,$ $b$ $],$ $E$ $)$ 上の有界線型写像 $T$ を持つ積分方程式の解と等価であり、 $K$ はボルテラ核であり、 $f=h+Tf$ $Tf(x)=\int _{c}^{x}K(x,y)f(y)\,dy,$ $K(x,t)=(xt)(q(t)-A)$ $h(x)=\alpha (xc)+\beta .$

$‖ T k ‖$ は0に近づくので、この積分方程式はノイマン級数によって与えられる唯一の解を持つ。 $f=(IT)^{-1}h=h+Th+T^{2}h+T^{3}h+\cdots$

この反復方式は、フランスの数学者シャルル・エミール・ピカールにちなんでピカール反復法と呼ばれることが多い。

基本固有関数

$f が$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 上で2 回連続微分可能 (つまり $C 2$ ) であり、 $Df$ $=$ $λf$ を満たす場合、 $f は$ 固有値 $λを持つ$ $D$ の固有関数と呼ばれます。

$コンパクトな区間[a, b]$ と $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上で連続する $q$ の場合、存在定理は $c$ $=$ $a$ または $c$ $=$ $b$ およびすべての複素数 $λに対して、$ $f$ $λ$ $($ $c$ $)$ と $f$ $'$ $λ$ $($ $c$ $)が指定された$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上の唯一の $C$ $2$ 固有関数 $f$ $λ が$ $存在することを意味します。さらに、 [$ $a$ $,$ $b$ $]$ 内の各 $x$ に対して、 $f$ $λ$ $($ $x$ $)$ と $f$ $'$ $λ$ $($ $x$ $)$ は $λ$ の正則関数です。
任意の区間 $(a, b)$ と $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 上で連続する $q$ に対して、存在定理は、 $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 内の $c$ とすべての複素数 $λに対して、$ $f$ $λ$ $($ $c$ $)$ と $f$ $'$ $λ$ $($ $c$ $)$ が規定された、 $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 上の唯一の $C$ $2$ 固有関数 $f$ $λ が$ 存在することを意味します。さらに、 $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 内の各 $x$ に対して、 $f$ $λ$ $($ $x$ $)$ と $f$ $'$ $λ$ $($ $x$ $)は$ $λ$ の正則関数です。

グリーンの公式

$f$ と $g が$ $($ $a$ $,$ $b$ $)上の$ $C 2$ 関数である場合、Wronskian $W$ $($ $f$ $,$ $g$ $)$ は次のように定義されます。 $W(f,g)(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x).$

グリーンの公式は、この1次元の場合、単純な部分積分であり、 $($ $a$ $、$ $b$ $)$ における $x$ 、 $yに対して、$ $\int _{x}^{y}(Df)gf(Dg)\,dt=W(f,g)(y)-W(f,g)(x).$

$q$ が連続で、 $f$ 、 $g が$ コンパクトな区間 $[$ $a$ $、$ $b$ $]上の$ $C 2$ である場合、この式は $x$ $=$ $a$ または $y$ $=$ $b$ に対しても成立します。

$f$ と $g が$ 同じ固有値に対する固有関数である場合、 $W$ $($ $f$ $,$ $g$ $)は$ $x$ に依存しません。 ${\frac {d}{dx}}W(f,g)=0,$

古典的なシュトゥルム・リウヴィル理論

$[a, b]$ を有限閉区間、 $qを$ $[a, b]$ 上の実数値連続関数とし、 $H 0を$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上の $C 2$ 関数 $f$ の空間とし、内積 ${\begin{cases}\cos \alpha \,f(a)-\sin \alpha \,f'(a)=0,\\[0.5ex]\cos \beta \,f(b)-\sin \beta \,f'(b)=0,\end{cases}}$ $(f,g)=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\,dx.$

実際には、通常、次の 2 つの標準境界条件のいずれかが使用されます。

ディリクレ境界条件 $f (c) = 0$
ノイマン境界条件 $f'(c) = 0$

各エンドポイント $c = a 、 b$ に課されます。

によって与えられる微分演算子 $D は、$ $H$ $0$ に作用します。 $H$ $0$ の関数 $f$ は、（上記の境界値の選択に対して）ある複素数 $λに対して$ $Df$ $=$ $λ$ $f$ である場合、対応する固有値のとき、 $D$ の固有関数と呼ばれます。グリーンの公式により、 $D は$ $H$ $0$ 上で形式的に自己随伴です。これは、 $f$ と $g の$ 両方が境界条件を満たす場合、ロンスキアン $W$ $($ $f$ $,$ $g$ $) が$ 消えるためです。 $Df=-f''+qf$ $(Df,g)=(f,Dg),\quad {\text{ for }}f,g\in H_{0}.$

その結果、有限次元の自己随伴行列の場合と全く同様に、

$D$ の固有値は実数である。
異なる固有値に対する固有空間は直交する。

固有値はレイリー・リッツの最大最小原理^[3]によって記述できることがわかります (下記参照)。実際、演算子 $D$ 自体がH $0$ 上で下方に有界であるため、固有値が下方に有界であることは $簡単$ にわかります。

(Df,f)\geq M(f,f)

ある有限の（負の可能性のある）定数に対して。

M

実際、部分ごとに統合すると、 $(Df,f)=\left[-f'{\overline {f}}\right]_{a}^{b}+\int |f'|^{2}+\int q|f|^{2}.$

ディリクレ境界条件またはノイマン境界条件の場合、最初の項は消え、不等式は $M = inf q$ で成立します。

一般的なロビン境界条件の場合、最初の項はソボレフの不等式の基本的なピーターポール版を使用して推定できます。

「 $ε > 0の場合、$ $C$ $1$ $[$ $a$ $、$ $b$ $]$ 内のすべての $f$ $に対して|$ $f$ $($ $x$ $)$ $|$ $2$ $\leq$ $ε$ $($ $f$ $'、 f') +$ $R$ $($ $f$ $、$ $f$ $)$ となる定数 $R > 0$ が存在します。」

実際、 $f$ $($ $b$ $)$ の推定値のみが必要なので、これは上記の不等式の $f$ $($ $x$ $)を$ $($ $x$ $-$ $a$ $)$ $n$ $\cdot($ $b$ $-$ $a$ $)$ $-n$ $\cdot$ $f$ $($ $x$ $)$ $（n$ が十分に大きい場合 $）$ に置き換えることで得られます。 $|f(b)-f(x)|\leq (ba)^{1/2}\cdot \|f'\|_{2},$

グリーン関数（通常のケース）

常微分方程式の理論から、次のような唯一の基本固有関数 $φ λ (x)$ , $χ λ (x)が存在する。$

$D φ λ = λ φ λ$ 、 $φ λ (a) = sin α$ 、 $φ λ'(a) = cos α$
$D χ λ = λ χ λ$ 、 $χ λ (b) = sin β$ 、 $χ λ'(b) = cos β$

これらは各点において、その一次導関数とともに $λ$ に正則に依存します。を完全な正則関数とします。 $\omega (\lambda )=W(\phi _{\lambda },\chi _{\lambda }),$

この関数 $ω (λ) は、$ $D$ の特性多項式の役割を果たします。実際、基本固有関数の一意性は、その零点が $D$ の固有値とまったく同じであり、零でない各固有空間が 1 次元であることを意味します。特に、 $Dの固有値は最大で可算個であり、無限にある場合は無限大に近づく必要があります。$ $ω$ $($ $λ$ $)$ の零点にも多重度が 1 であることがわかっています(以下を参照)。

$λが$ $H$ $0$ 上の $D$ の固有値でない場合、グリーン関数を次のように定義する。 $G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}\phi _{\lambda }(x)\chi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&{\ text{ for }}x\geq y\\[1ex]\chi _{\lambda }(x)\phi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&{\text{ for }}y\geq x.\end{cases}}$

このカーネルは内積空間 $C [a, b]$ 上の演算子を次のように定義します。 $(G_{\lambda }f)(x)=\int _{a}^{b}G_{\lambda }(x,y)f(y)\,dy.$

$G λ (x, y) は$ $[a, b] \times [a, b]$ 上で連続なので、 $C$ $[$ $a$ $,$ $b$ $] =$ $H$ $1$ （または同等の稠密部分空間 $H$ $0$ ）のヒルベルト空間完備化 $H$ 上のヒルベルト・シュミット作用素を定義し、 $H$ $1$ 内の値を取る。この作用素は $H$ $1を$ $H$ $0$ に持ち込む。 $λ$ が実数のとき、 $G$ $λ$ $($ $x$ $,$ $y$ $) =$ $G$ $λ$ $($ $y$ $,$ $x$ $)も実数なので、$ $H$ 上の自己随伴作用素を定義する。さらに、

$G λ (D - λ) = I$ 上の $H 0$
$G λ は$ $H 1 を$ $H 0$ に持ち込み、 $(D - λ) G λ = I は$ $H 1$ 上で。

したがって、演算子 $G λは$ レゾルベント $(D - λ) -1$ と同一視できる。

スペクトル定理

定理 — D の固有値は重複度 1 の実数であり、無限大に向かう増加シーケンス $λ 1 < λ 2 < \dotsを形成します。$

$対応する正規化された固有関数はH 0$ の正規直交基底を形成します。

$D$ のk番目の固有値はミニ $マックス$ 原理によって与えられる。 $\lambda _{k}=\max _{\dim G=k-1}\,\min _{f\perp G}{(Df,f) \over (f,f)}.$

特に $q 1 \leq q 2$ の場合、 $\lambda _{k}(D_{1})\leq \lambda _{k}(D_{2}).$

実際、 $λ が$ 大きく負であるとき、 $T = G λ$ $とする。すると、 T は$ ヒルベルト空間 $H$ 上のコンパクトな自己随伴作用素を定義する。コンパクトな自己随伴作用素のスペクトル定理により、 $H は$ $T$ の固有ベクトル $ψ$ $n$ から成る正規直交基底を持ち、 $Tψ$ $n$ $=$ $μ$ $n$ $ψ$ $n$ となる。ここで $μ$ $n は$ $ゼロに近づく。 T$ の値域は $H$ $0 を$ 含むので稠密である。したがって、 0 は $T$ の固有値ではない。 $T$ の分解特性は、 $ψ$ $n が$ $H$ $0$ に含まれ、 $D\psi _{n}=\left(\lambda +{\frac {1}{\mu _{n}}}\right)\psi _{n}$

ミニマックス原理は、の場合、最初の $k$ $- 1 個の固有関数の$ 線形範囲で $λ$ $($ $G$ $) =$ $λ$ $k と$ なるため成り立ちます。その他の $($ $k$ $- 1)$ 次元部分空間 $G$ については、最初の $k$ 個の固有ベクトルの線形範囲にある $f は$ $G$ に直交する必要があります。したがって、 $λ$ $($ $G$ $) \leq ($ $Df$ $、$ $f$ $)/($ $f$ $、$ $f$ $) \leq$ $λ$ $k$ となります。 $\lambda (G)=\min _{f\perp G}{\frac {(Df,f)}{(f,f)}},$

フレドホルムの決定要因としてのロンスキーアン

簡単のため、ディリクレ境界条件のもとで $[0,$ $π$ $]$ 上の $m \leq q (x) \leq M$ と仮定する。ミニマックス原理は、 $n^{2}+m\leq \lambda _{n}(D)\leq n^{2}+M.$

$したがって、 λが$ $D$ の固有値でない場合は常にレゾルベント $(D - λ) -1$ はトレースクラス演算子となり、したがってフレドホルム行列式 $det I-$ $μ$ $($ $D$ $-$ $λ$ $)$ $-1$ が定義される。

ディリクレ境界条件は、 $\omega (\lambda )=\phi _{\lambda }(b).$

ピカール反復法を用いて、ティッチマーシュは $φ λ (b)$ 、ひいては $ω (λ)が$ 有限次数 $1/2$ の完全関数であることを示した。 $\omega (\lambda )={\mathcal {O}}\left(e^{\sqrt {|\lambda |}}\right)$

$ω$ $($ $λ$ $)$ の0 $μ$ では、 $φ$ $μ$ $($ $b$ $) = 0$ になります。また、 $($ $D$ $-$ $μ$ $)$ $ψ$ $=$ $φ$ $μ を$ 満たします。したがって $\psi (x)=\partial _{\lambda }\varphi _{\lambda }(x)|_{\lambda =\mu }$ $\omega (\lambda )=(\lambda -\mu )\psi (b)+{\mathcal {O}}((\lambda -\mu )^{2})$

これは^[4]

μ は、

ω (λ)

の単純なゼロです。

そうでなければ $ψ (b) = 0$ となるので、 $ψ は$ $H 0$ に含まれなければなりません。しかし、その場合矛盾が生じます。 $(\phi _{\mu },\phi _{\mu })=((D-\mu )\psi ,\phi _{\mu })=(\psi ,(D-\mu )\phi _{\mu })=0,$

一方、関数ω(λ)全体の零点の分布は、ミニマックス原理からすでに分かっています。

アダマール因数分解定理によれば、 ^[5]はゼロでない定数 $C$ に対して成り立つ。 $\omega (\lambda )=C\prod (1-\lambda /\lambda _{n}),$

したがって $\det(I-\mu (D-\lambda )^{-1})=\prod \left(1-{\mu \over \lambda _{n}-\lambda }\right)=\prod {1-(\lambda +\mu )/\lambda _{n} \over 1-\lambda /\lambda _{n}}={\omega (\lambda +\mu ) \over \omega (\lambda )}.$

特に0が $Dの固有値でない場合$ $\omega (\mu )=\omega (0)\cdot \det(I-\mu D^{-1}).$

抽象スペクトル理論からのツール

制限された変化の関数

閉区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]上の$ 有界変化^[6]の関数 $ρ (x)$ は、その全変化 $V$ $($ $ρ$ $)$ （すべての分割にわたる変化の上限）が有限であるような複素数値関数です。 $ρ$ の実部と虚部は、有界変化の実数値関数です。 $ρが実数値で、$ $ρ$ $($ $a$ $) = 0$ となるように正規化されている場合、それは 2 つの有界非減少関数の差として標準分解されます。ここで、 $ρ$ $+$ $($ $x$ $)$ と $ρ$ $-$ $($ $x$ $)は、$ $[$ $a$ $,$ $x$ $]$ 上の $ρ$ の全正の変化と全負の変化です。 $\sum _{r=0}^{k-1}|\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r})|$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{k}=b$ $\rho (x)=\rho _{+}(x)-\rho _{-}(x),$

$f が$ $[a, b]$ 上の連続関数である場合、 $ρ$ に関するリーマン・スティルチェス積分は、 $sup |$ $x$ $r$ $+1$ $-$ $x$ $r$ $|$ で与えられる分割のメッシュがゼロに近づくにつれて和を近似する極限として定義されます。 $\int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)$ $\sum _{r=0}^{k-1}f(x_{r})(\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r}))$

この積分は $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)\right|\leq V(\rho )\cdot \|f\|_{\infty }$

そして $C$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上の有界線形汎関数 $dρを定義します。$ $その$ ノルムは $‖dρ‖$ $=$ $V$ $($ $ρ$ $)$ です。

$C$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上のすべての有界線形関数 $μは$ 、非負の $f$ ^{に対して[7]}によって定義される絶対値|μ|を持つ。 $|\mu |(f)=\sup _{0\leq |g|\leq f}|\mu (g)|.$

形式 $| μ | は、$ ノルム $‖$ $μ$ $‖を持つ$ $C [a, b]$ 上の有界線型形式に線型に拡張され、 $C$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ における $f$ の特性不等式を満たします。 $μ$ が実数、つまり実数値関数上で実数値である場合、正形式、つまり非負関数上で非負である形式の差として標準分解を与えます。 $|\mu (f)|\leq |\mu |(|f|)$ $\mu =|\mu |-(|\mu |-\mu )\equiv \mu _{+}-\mu _{-}$

あらゆる正形式 $μは$ 、式^[8]によって、非負の有界下半連続関数 $g$ の線形範囲に一意に拡張されます。ここで、非負連続関数 $fn$ $は$ $g$ まで点ごとに増加します。 $\mu (g)=\lim \mu (f_{n}),$

同じことが任意の有界線形形式 $μ$ にも当てはまり、有界変化の関数 $ρ は$ ^[9] で定義できます。ここで $χ$ $A は$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の部分集合 $A$ の特性関数を表します。したがって $μ$ $=$ $dρ$ かつ $‖$ $μ$ $‖ = ‖$ $dρ$ $‖$ です。さらに $μ$ $+$ $=$ $dρ$ $+$ かつ $μ$ $-$ $=$ $dρ$ $-$ です。 $\rho (x)=\mu (\chi _{[a,x]}),$

有界変化関数と有界線形形式との間のこの対応は、リース表現定理の特殊なケースである。

$μ$ $=$ $dρ$ の台は $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 内のすべての点 $x$ の補集合であり、 $ρ は$ $x$ のある近傍で定数です。定義により、これは $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の閉部分集合 $A$ です。さらに、 $μ$ $((1 -$ $χ$ $A$ $)$ $f$ $) = 0なので、$ $f が$ $A$ 上で消える場合は $μ$ $($ $f$ $) = 0$ です。

スペクトル測定

$H を$ ヒルベルト空間および $H$ 上の自己随伴有界作用素とし、のスペクトルがに含まれるものとする。が複素多項式である場合、スペクトル写像定理によりとなり、したがっては C $[$ 0, 1]上の一様ノルムを表す。ワイエルシュトラスの近似定理により、多項式は $C$ $[0, 1]$ $上$ で一様稠密である。したがってはと定義でき、および $T$ $0\leq T\leq I$ $\sigma (T)$ $T$ $[0,1]$ $p(t)$ $\sigma (p(T))=p(\sigma (T))$ $\|p(T)\|\leq \|p\|_{\infty }$ $\|\cdot \|_{\infty }$ $f(T)$ $\forall f\in C[0,1]$ $\sigma (f(T))=f(\sigma (T))$ $\|f(T)\|\leq \|f\|_{\infty }.$

$が[0, 1]$ 上の下半連続関数である場合、たとえば $[0, 1]$ の部分区間の特性関数の場合、は非負の点ごとの増加極限です。 $0\leq g\leq 1$ $\chi _{[0,\alpha ]}$ $g$ $f_{n}\in C[0,1]$

$がH$ のベクトルである場合、ベクトルは $H$ でコーシー列を形成します。これは、に対して、およびが有界かつ増加するため、極限が存在します。 $\xi$ $\eta _{n}=f_{n}(T)\xi$ $n\geq m$ $\|\eta _{n}-\eta _{m}\|^{2}\leq (\eta _{n},\xi )-(\eta _{m},\xi ),$ $(\eta _{n},\xi )=(f_{n}(T)\xi ,\xi )$

は次のように定義できる^[a] $g(T)$ $g(T)\xi =\lim f_{n}(T)\xi .$

および $η が$ $H$ のベクトルである場合、 $H$ 上の有界線型形式を定義します。リース表現定理により、 $[0, 1]$ 上の有界変分の唯一の正規化関数が定義されます。 $\xi$ $\mu _{\xi ,\eta }(f)=(f(T)\xi ,\eta )$ $\mu _{\xi ,\eta }$ $\mu _{\xi ,\eta }=d\rho _{\xi ,\eta }$ $\rho _{\xi ,\eta }$

$d\rho _{\xi ,\eta }$ （または時々少し間違ってそれ自体）は、および $η$ によって決定されるスペクトル測度と呼ばれます。 $\rho _{\xi ,\eta }$ $\xi$

したがって、演算子は次の式によって一意に特徴付けられる。 $g(T)$ $(g(T)\xi ,\eta )=\mu _{\xi ,\eta }(g)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).$

スペクトル投影は次のように定義される。 $E(\lambda )$ $E(\lambda )=\chi _{[0,\lambda ]}(T),$ $\rho _{\xi ,\eta }(\lambda )=(E(\lambda )\xi ,\eta ).$

任意のベクトルおよびに対して、 $g(T)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,dE(\lambda ),$ $\xi$ $\eta$ $(g(T)\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d(E(\lambda )\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).$

単一のベクトルは $[0, 1]$ 上の正形式（言い換えれば $[0, 1]$ 上の確率測度に比例する）であり、非負かつ非減少である。分極化により、すべての形式が自然にそのような正形式で表現できることが示される。 $\xi ,\,\mu _{\xi }=\mu _{\xi ,\xi }$ $\rho _{\xi }=\rho _{\xi ,\xi }$ $\mu _{\xi ,\eta }$ $\mu _{\xi ,\eta }={\frac {1}{4}}\left(\mu _{\xi +\eta }+i\mu _{\xi +i\eta }-\mu _{\xi -\eta }-i\mu _{\xi -i\eta }\right)$

ベクトルが $H$ においてベクトルの線型スパンが稠密であるような場合、つまりがに対して巡回ベクトルである場合、によって定義される写像は次を満たす。 $\xi$ $(T^{n}\xi )$ $\xi$ $T$ $U$ $U(f)=f(T)\xi ,\,C[0,1]\rightarrow H$ $(Uf_{1},Uf_{2})=\int _{0}^{1}f_{1}(\lambda ){\overline {f_{2}(\lambda )}}\,d\rho _{\xi }(\lambda ).$

を、右辺のおそらく退化している内積に関連するのヒルベルト空間完備化と表記する。^[b] したがって、は $H$ へのユニタリ変換に拡張される。はへのの乗算にすぎず、より一般的にはへのの乗算である。この場合、の台はちょうどであり、したがって $L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })$ $C[0,1]$ $U$ $L_{2}([0,1],\rho _{\xi })$ $UTU^{\ast }$ $\lambda$ $L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })$ $Uf(T)U^{\ast }$ $f(\lambda )$ $d\rho _{\xi }$ $\sigma (T)$

自己随伴演算子は、スペクトル測度によって与えられる内積を持つスペクトル上の関数の空間上の乗算演算子になります。

ワイル・ティッチマーシュ・小平理論

開区間 $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 上の形式の特異微分作用素に関連する固有関数展開では、端点 $a$ および $b$ の近くでの基本固有関数の挙動の初期分析が必要であり、これにより、そこでの可能な境界条件が決定されます。通常の Sturm–Liouville の場合とは異なり、状況によっては $D$ のスペクトル値が重複度2を持つ場合があります。以下に概説する展開では、 $p$ と $q$ に標準的な仮定が課され、 $D$ のスペクトルがどこでも重複度 1 を持ち、下側で有界になることが保証されます。これには、ほとんどすべての重要な応用が含まれます。より一般的な場合に必要な変更については後で説明します。 $Df=-(pf')'+qf$

境界条件を選択すると、古典理論と同様に、R $が$ 大きく正の場合の $D$ $の分解値(D + R) -1$ は、 2つの基本固有関数から構成されるグリーン関数に対応する演算子 $Tによって与えられます。古典的なケースでは、$ $T は$ コンパクトな自己随伴演算子でした。この場合、 $T は$ $0 \leq$ $T$ $\leq$ $I$ の自己随伴有界演算子にすぎません。したがって、スペクトル測度の抽象理論を $T$ に適用して、 $D$ の固有関数展開を与えることができます。

ワイルと小平の証明における中心的な考え方は、次のように非公式に説明できる。 $D$ $のスペクトルが[1, \infty)$ にあり、 $T = D -1$ であり、区間 $[1,$ $λ$ $]に対応する$ $D$ のスペクトル射影をと仮定する。任意の関数 $fに対して、$ $f$ $($ $x$ $,$ $λ$ $)$ は、有界変化 ρ の関数の空間への微分可能写像とみなすことができると定義する。または、 $[$ $α$ $,$ $β$ $]が$ $[1, \infty)$ のコンパクトな部分区間であるときはいつでも、 $C$ $[$ $α$ $,$ $β$ $]$ 上の有界線形関数 $dρ$ のバナッハ空間 $E$ への微分可能写像と見なすことと同等である。 $E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)$ $f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).$ $x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)$

ワイルの基本的な観察は、 $d λ f が$ $E$ に値を取る2階常微分方程式を満たすというものでした。 $D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f.$

$固定点c$ における最初の2つの導関数に初期条件を課した後、この方程式は2つの基本固有関数と「初期値」関数に関して明示的に解くことができる。 $(d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot ),\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot ).$

この観点は今や逆転するかもしれません。f $($ $c, λ)$ と $f x (c, λ)$ $は$ 次のように書くことができます。ここで、 $ξ$ $1$ $($ $λ$ $)$ と $ξ$ $2$ $($ $λ$ $)$ は純粋に基本固有関数で与えられます。有界変化の関数は $D$ のスペクトル上のスペクトル測度を決定し、基本固有関数の挙動から明示的に計算できます (Titchmarsh–Kodaira の公式)。 $f(c,\lambda )=(f,\xi _{1}(\lambda )),\quad f_{x}(c,\lambda )=(f,\xi _{2}(\lambda )),$ $\sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{i}(\lambda ),\xi _{j}(\lambda ))$

特異方程式の極限円と極限点

$q (x) を$ $(0, \infty)$ 上の連続実数値関数とし、D を (0, ∞) 上の2階微分演算子とする $。$ $($ 0 , $\infty)$ 上の点 $c を$ $固定し、複素数λ$ に対して、 $c$ での初期条件とともに次を満たす $D$ の $(0, \infty)$ 上の唯一の基本固有関数とする。 $Df=-f''+qf$ $\varphi _{\lambda },\theta _{\lambda }$ $(D-\lambda )\varphi _{\lambda }=0,\quad (D-\lambda )\theta _{\lambda }=0$ $\varphi _{\lambda }(c)=1,\,\varphi _{\lambda }'(c)=0,\,\theta _{\lambda }(c)=0,\,\theta _{\lambda }'(c)=1.$

すると、彼らのWronskianは $W(\varphi _{\lambda },\theta _{\lambda })=\varphi _{\lambda }\theta _{\lambda }'-\theta _{\lambda }\varphi _{\lambda }'\equiv 1,$

$それは定数であり、 c$ では 1 に等しいからです。

$λ を$ 非実数で $0 < x < \infty$ とする。複素数が何らかの境界条件を満たす（または、等価的に実数である）場合、部分積分を用いて次式を得る。 $\mu$ $f=\varphi +\mu \theta$ $\cos \beta \,f(x)-\sin \beta \,f'(x)=0$ $\beta$ $f'(x)/f(x)$ $\operatorname {Im} (\lambda )\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}=\operatorname {Im} (\mu ).$

したがって、この式を満たす $μ$ の集合は空ではありません。この集合は複素 $μ$ 平面内の円です。その内部の点 $μは、$ $x$ $>$ $c の$ 場合はによって特徴付けられ、 $x$ $<$ $c$ の場合はによって特徴付けられます。 $\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}$ $\int _{x}^{c}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}$

$D x を$ 円で囲まれた閉円板とする。定義により、これらの閉円板は入れ子になっており、 $x が$ $0$ または $\infty$ に近づくにつれて減少する。したがって、極限では、円は各端で極限円または極限点に近づく。が極限点または極限円上の $0$ または $\infty$ の点である場合、は $0$ または $\infty の近くで$ 二乗積分可能( $L$ $2$ )である。なぜなら、はすべての $x$ $>$ $c$ ( ∞ の場合)に対して $D$ $x$ にあり、したがって $x$ に依存せずに有界であるためである。特に、^[10] $\mu$ $f=\varphi +\mu \theta$ $\mu$ $\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}$

$Df = λf$ $には、 0$ または $\infty$ 付近で二乗積分可能な非ゼロ解が常に存在します。
極限円の場合、 $Df = λf$ $のすべての解は0$ および $\infty$ の近くで二乗積分可能です。

円板の半径 $D x は$ 次のように計算できます。これは、極限点の場合、は $0$ または $\infty の$ 近くで二乗積分できないことを意味します。したがって、上記の 2 番目のステートメントの逆が成り立ちます。 $\left|{1 \over {2\operatorname {Im} (\lambda )\int _{c}^{x}|\theta |^{2}}}\right|$ $\theta$

極限点の場合、Df = λf のゼロ以外の解（スカラー倍数まで）がちょうど1つ存在し、これは $0$ または $\infty$ の近くで2乗積分可能です。

一方、別の値 $λ$ $'に対して$ $Dg = λ' g$ であれば、 $Dh$ $=$ $λh$ が満たされ、 $h(x)=g(x)-(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy$ $g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }+(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy.$

$この式は、定数法の変分法によって（ D - λ ） g =（ λ' - λ ） g$ から直接得ることもできる。これを用いて $gを$ 推定すると、次の式が得られる^[10]。

$0$ または $\infty$ における極限点/極限円の挙動は $λ$ の選択とは無関係です。

より一般的には、ある関数 $r$ $($ $x$ $)に対して$ $Dg = (λ - r) gが$ 成り立つ場合、^[11] $g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }-\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))r(y)g(y)\,dy.$

このことから、^[11]

$r$ $が0$ で連続であれば、 $D$ が次のとき、 $D + r は$ $0$ における極限点または極限円になります。

特に^[12]

$q (x) - a / x 2$ $が0$ で連続である場合、 $D が$ $0$ で極限点となるのは、 $a ≥ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠3/4⁠$ .

同様に

$r が$ $\infty$ で有限の極限を持つ場合、 $D$ が次のとき、 $D + r$ $は\infty$ での極限点または極限円になります。

特に^[13]

$q が$ $\infty$ で有限の極限を持つ場合、 $D は$ $\infty$ での極限点です。

極限点または極限円となるためのより詳細な基準は、数学の文献に記載されています。

グリーン関数（特異なケース）

$(0,\infty)$ 上の微分演算子を考えます。q $0$ $は$ $正で(0,\infty)$ 上で連続であり、p $0$ $は$ $[0,\infty)$ 上で連続的に微分可能で、 $(0,\infty)$ 上で正であり、 $p$ $0$ $(0) = 0$ です。 $D_{0}f=-(p_{0}f')'+q_{0}f$

さらに、標準形への簡約後、 $D 0 は$ $(0, \infty)$ 上の同等の演算子となり、 $q は$ $\infty$ で有限の極限を持つと仮定する。したがって、 $Df=-f''+qf$

$Dは$ $\infty$ における極限点です。

0 では、 $D は極限円または極限点のいずれかになります。どちらの場合でも、$ $D$ $Φ$ $0$ $= 0$ で $Φ$ $0$ が $0$ 付近で積分可能な固有関数 $Φ 0$ があります。極限円の場合、 $Φ$ $0 は$ $0$ での境界条件を決定します。 $W(f,\Phi _{0})(0)=0.$

複素数 $λ$ の場合、 $Φ λ$ と $Χ λ が$ 満たされるようにします。

$(D - λ)Φ λ = 0$ 、 $(D - λ)Χ λ = 0$
$Χ λ$ 平方は無限近で可積分可能
$Φ λ は$ $0が$ 極限点であれば $0$ で積分可能
$0$ が極限円である場合、 $Φ$ $λ は$ 上記の境界条件を満たします。

$Φ$ $λ$ と $Χ$ $λ$ が比例するとき、つまり $λ が$ これらの境界条件における $D$ の固有値であるとき、正確にゼロになる定数を考えます。 $\omega (\lambda )=W(\Phi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda }),$

一方、Imλ≠0またはλが負の場合、これは発生 $しませ$ ん $。$ $[$ 10 ^]

実際、 $q$ $0$ $-$ $λ$ $\geq$ $δ$ $> 0$ で $D f = λf$ の場合、グリーンの公式により $($ $Df$ $,$ $f$ $) = ($ $f$ $,$ $Df$ $)$ となり、 $W$ $($ $f$ $,$ $f$ $*$ $)$ は定数となる。したがって、 $λ は$ 実数でなければならない。D $0実現において$ $f$ が実数値であるとすると、 $0$ $<$ $x$ $<$ $y$ に対して $[p_{0}ff']_{x}^{y}=\int _{x}^{y}(q_{0}-\lambda )|f|^{2}+p_{0}(f')^{2}.$

$p 0 (0) = 0$ であり、 $f は$ $0 の$ 近くで積分可能なので、 $p 0 f f' は$ $0$ でゼロになるはずです。 $x = 0と設定すると、$ $f (y) f'(y) > 0$ となり、 $f 2$ $が増加し、 \infty$ の近くで $f$ が2乗積分可能であることと矛盾します。

$したがって、 q$ に正のスカラーを加えると、 $\omega (\lambda )\neq 0~~{\text{ if }}\lambda \notin [1,\infty ).$

$ω (λ) \neq 0$ の場合、 $λ$ におけるグリーン関数 $G λ (x, y)$ は次のように定義され、 $Φ$ $λ$ と $Χ$ $λ$ の選択には依存しません。 $G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}\Phi _{\lambda }(x)\mathrm {X} _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&(x\leq y),\\[1ex]\mathrm {X} _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&(x\geq y).\end{cases}}$

例では、 $λ が$ $[1, \infty)$ にない場合に定義され、正則な 3 番目の「悪い」固有関数 $Ψ λ$ があり、 $Ψ$ $λ は$ $0$ でも $\infty$ でもない境界条件を満たします。これは、 $λ が$ $[1, \infty)$ にない場合に

$W (Φ λ,Ψ λ)$ はどこにも消えません。
$W (Χ λ,Ψ λ)$ はどこにも消えません。

この場合、 $Χ λ は$ $Φ λ + m (λ) Ψ λ$ に比例します。 $m(\lambda )=-W(\Phi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda })/W(\Psi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda }).$

$H 1 を$ $(0, \infty)$ 上の二乗可積分連続関数の空間とし、 $H 0$ を

$Dが$ $0$ の極限点である場合、コンパクト台 $(0,\infty)$ 上の $C 2$ 関数 $f$ の空間
$D が$ $0$ における極限円であれば、 $(0,\infty)$ 上の $C 2$ 関数 $f$ の空間で、 $0$ において $W$ $($ $f$ $, Φ$ $0$ $) = 0$ となり、 $\infty$ の近くで $f$ $= 0$ となる。

$T = G 0 を$ 次のように定義する。 $(Tf)(x)=\int _{0}^{\infty }G_{0}(x,y)f(y)\,dy.$

すると、 $H$ $0$ 上で $T D = I$ 、 $H$ $1$ 上で $D$ $T$ $=$ $I$ となり、演算子 $Dは$ $H$ $0$ 上で下界になります。 $(Df,f)\geq (f,f).$

したがって、 $T は$ $0 \leq T \leq I$ の自己随伴有界演算子です。

形式的には $T = D -1$ です。 $[1,\infty)$ にない $λ$ に対して定義された対応する演算子 $G λは$ 、形式的に同一視され、 $H$ $0$ 上で $G$ $λ$ $($ $D$ $-$ $λ$ $) =$ $I$ 、 $H$ $1$ 上で $($ $D$ $-$ $λ$ $)$ $G$ $λ$ $=$ $Iを$ 満たします。 $(D-\lambda )^{-1}=T(I-\lambda T)^{-1}$

スペクトル定理とティッチマーシュ・小平公式

定理. ^[10]^[14]^[15] — 任意の実数 $λに対して$ $ρ (λ)を$ ティッチマーシュ・コダイラの公式で定義する： $\rho (\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\pi }}\int _{\delta }^{\lambda +\delta }\operatorname {Im} m(t+i\varepsilon )\,dt.$

すると $ρ (λ)は$ $λ$ の下半連続非減少関数となり、U $は$ $L2$ $(0,\infty)$ $からL2$ $($ $[$ $1,\infty)$ $、$ $dρ$ $)$ $へ$ のユニタリ変換を定義し、 $UDU$ $-1は$ $λ$ による乗算に対応する。 $(Uf)(\lambda )=\int _{0}^{\infty }f(x)\Phi (x,\lambda )\,dx,$

逆変換 $U -1$ は次のように与えられる。 $(U^{-1}g)(x)=\int _{1}^{\infty }g(\lambda )\Phi (x,\lambda )\,d\rho (\lambda ).$

$D$ のスペクトルは $dρ$ のサポートに等しくなります。

小平はワイルの元の証明[ ¹⁰ ]の簡略化されたバージョン^[16]^[17]を与えた。（MHストーンは以前にフォン・ノイマンのスペクトル定理を使ってワイルの研究の一部を簡略化できることを示していた^{[18] 。）}

実際、 $0 \leq$ $T$ $\leq$ $I$ の $T = D -1に対して、$ $T$ のスペクトル射影 $E$ $($ $λ$ $)$ は次のように定義されます。 $E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)$

これは区間 $[1,$ $λ$ $]に対応する$ $D$ のスペクトル射影でもある。

$H$ $1$ の $f$ について定義する $f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).$

$f (x, λ) は、有界変化の関数$ $ρ$ の空間への微分可能写像とみなすことができます $。または、 [1, \infty)$ の任意のコンパクトな部分区間 $[$ $α$ $,$ $β$ $]に対して、$ $[$ $C$ $[$ $α$ $,$ $β$ $]]$ 上の有界線形関数 $dρ$ のバナッハ空間 $E$ への微分可能写像と同等です。 $x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)$

関数（または測度） $d λ f (x)は$ 、次の $E$ 値の2階常微分方程式を満たす。初期条件は $c$ $（0,\infty）$ である。 $D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f,$ $(d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot )=\mu ^{(0)},\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot )=\mu ^{(1)}.$

$φ λ$ と $χ λ が$ $c$ に適合した特殊固有関数である場合、 $d_{\lambda }f(x)=\varphi _{\lambda }(x)\mu ^{(0)}+\chi _{\lambda }(x)\mu ^{(1)}.$

さらに、（表記が示すように、 ξ λ $($ $0$ $)$ と $ξ$ $λ$ $(1)$ $はz$ の選択に依存しません。） $\mu ^{(k)}=d_{\lambda }(f,\xi _{\lambda }^{(k)}),$ $\xi _{\lambda }^{(k)}=DE(\lambda )\eta ^{(k)},$ $\eta _{z}^{(0)}(y)=G_{z}(c,y),\,\,\,\,\eta _{z}^{(1)}(x)=\partial _{x}G_{z}(c,y),\,\,\,\,(z\notin [1,\infty )).$

それを設定すると、 $\sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{\lambda }^{(i)},\xi _{\lambda }^{(j)}),$ $d_{\lambda }(E(\lambda )\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})=|\lambda -z|^{-2}\cdot d_{\lambda }\sigma _{ij}(\lambda ).$

一方、正則関数 $a (λ)$ 、 $b (λ)$ が存在し、

$φ λ + a (λ) χ λ は$ $Φ λ$ に比例します。
$φ λ + b (λ) χ λ は$ $Χ λ$ に比例します。

$W (φ λ, χ λ) = 1$ であるため、グリーン関数は次のように求められます。 $G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {(\varphi _{\lambda }(x)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(y))}{b(\lambda )-a(\lambda )}}&(x\leq y),\\[1ex]{\dfrac {(\varphi _{\lambda }(x)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(y))}{b(\lambda )-a(\lambda )}}&(y\leq x).\end{cases}}$

直接計算^[19]によれば、いわゆる特性行列 $M$ $ij$ $($ $z$ $)$ は次のように与えられる。 $(\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})=\operatorname {Im} M_{ij}(z)/\operatorname {Im} z,$ $M_{00}(z)={\frac {a(z)b(z)}{a(z)-b(z)}},\,\,M_{01}(z)=M_{10}(z)={\frac {a(z)+b(z)}{2(a(z)-b(z))}},\,\,M_{11}(z)={\frac {1}{a(z)-b(z)}}.$

したがって、これは直ちに次のことを意味します (これは「スティルチェスの反転公式」の特殊なケースです)。 $\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {Im} z)\cdot |\lambda -z|^{-2}\,d\sigma _{ij}(\lambda )=\operatorname {Im} M_{ij}(z),$ $\sigma _{ij}(\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{\delta }^{\lambda +\delta }\operatorname {Im} M_{ij}(t+i\varepsilon )\,dt.$

$ψ λ (0) = φ λ$ および $ψ λ (1) = χ λ$ と設定すると、次のようになります。 $(E(\mu )f)(x)=\sum _{i.j}\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\psi _{\lambda }^{(i)}(x)\psi _{\lambda }^{(j)}(y)f(y)\,dy\,d\sigma _{ij}(\lambda )=\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\Phi _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)f(y)\,dy\,d\rho (\lambda ).$

この恒等式はスペクトル定理およびティッチマーシュ-コダイラ公式と同等です。

超幾何方程式への応用

メーラー・フォック変換^[20]^[21]^[22]は、ルジャンドル微分作用素 $D$ $の(1,\infty)$ 上の固有関数展開に関するものである。固有関数は、固有値λ≥0の $ルジャンドル$ $関数$ [ ^23]である。2つのメーラー・フォック変換は^[24] と $Df=-((x^{2}-1)f')'=-(x^{2}-1)f''-2xf'$ $P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(\cosh r)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({\sin \theta +ie^{-r}\cos \theta \over \cos \theta -ie^{-r}\sin \theta }\right)^{{1 \over 2}+i{\sqrt {\lambda }}}\,d\theta$ $Uf(\lambda )=\int _{1}^{\infty }f(x)\,P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(x)\,dx$ $U^{-1}g(x)=\int _{0}^{\infty }g(\lambda )\,{1 \over 2}\tanh \pi {\sqrt {\lambda }}\,d\lambda .$

$(多くの場合、これは変数τ = \sqrt λ$ で表されます。)

メーラーとフォックは、この微分作用素が2次元双曲空間上のラプラシアンの放射状成分として現れることを研究した。より一般的には、^[25]は、次のような形の複素行列からなる群 $G = SU(1,1)を考える。$ ${\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}$

行列式 $| α | 2 - | β | 2 = 1$ 。

水素原子への応用

一般化と代替アプローチ

ワイル関数は特異な端点aで定義することができ $、$ ワイル・ティッチマーシュ・小平理論の特異版を生み出す。^[26]これは例えばラジアルシュレーディンガー作用素の場合に当てはまる。 $Df=-f''+{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}f+V(x)f,\qquad x\in (0,\infty )$

理論全体は、係数が尺度として許容される場合にも拡張することができる。^[27]

ゲルファンド・レヴィタン理論

注記

^これは 強い演算子トポロジーにおける限界です。
^ 真の内積は、ヌル関数の部分空間、つまりを満たす部分空間によって商上に定義されます。あるいはこの場合、測度の台はであるため、右辺は上の (非退化) 内積を定義します。 $f$ $\mu _{\xi }(|f|_{2})=0$ $\sigma (T)$ $C(\sigma (T))$

参考文献

引用

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[10] ^これは 強い演算子トポロジーにおける限界です。

[11] 真の内積は、ヌル関数の部分空間、つまりを満たす部分空間によって商上に定義されます。あるいはこの場合、測度の台はであるため、右辺は上の (非退化) 内積を定義します。 $f$ $\mu _{\xi }(|f|_{2})=0$ $\sigma (T)$ $C(\sigma (T))$

[1] ティッチマーシュ 1962、22ページ

[2] ディウドネ 1969、第 10 章

[3] クーラント＆ヒルベルト 1989

[4] ティッチマーシュ 1962

[5] ティッチマーシュ 1939、§8.2

[6] バーキル 1951、pp.50-52

[7] ルーミス 1953、40 ページ

[8] ルーミス 1953、30-31ページ

[9] コルモゴロフとフォーミン、1975年、374–376ページ

[Weyl_1910-12] Weyl 1910 . ^[^指定^]

[Bellman_1969_116-13] ベルマン 1969、116 ページ

[14] リード＆サイモン 1975年、159ページ

[15] リード＆サイモン 1975年、154ページ

[16] ティッチマーシュ 1946、第3章

[17] 小平 1949, 935–936 ページ

[18] 小平 1949、pp. 929-932; 省略された詳細については、小平 1950、pp. 529-536 を参照

[19] ディウドネ 1988

[20] ストーン 1932、第 10 章

[21] 小平 1950, pp. 534–535

[FOOTNOTEMehler1881-22] メーラー 1881.

[23] フォック 1943、253-256 ページ

[24] ヴィレンキン 1968

[25] テラス 1984、261–276 ページ

[26] レベデフ 1972

[27] ヴィレンキン 1968、第 6 章

[28] コステンコ、サフノヴィチ、テシュル、2012 年、1699–1747 ページ

[29] エックハルト＆テシュル 2013、151～224ページ

導入