フーリエ級数

フーリエ級数（/ ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / [ ^1]）は、周期関数を三角関数の和に展開したものである。フーリエ級数は三角関数の例である。^[2]関数を正弦と余弦の和として表すと、三角関数がよく理解されるため、関数を含む多くの問題の解析が容易になる。例えば、フーリエ級数はジョセフ・フーリエによって熱方程式の解を求めるために初めて使用された。この応用が可能なのは、三角関数の導関数が単純なパターンに収束するためである。ほとんどの関数はフーリエ級数に無限個の項を持ち、級数が必ずしも収束するとは限らないため、フーリエ級数は任意の関数の近似に使用できない。滑らかな関数などの行儀のよい関数は、元の関数に収束するフーリエ級数を持つ。フーリエ級数の係数は、以下のフーリエ級数の一般的な形式で説明されているように、関数の積分に三角 関数を掛けることで決定される。

フーリエ級数の収束の研究では、部分和の挙動に焦点を当てます。つまり、級数の項がどんどん加算されるときの和の挙動を研究するということです。下の図は、方形波の成分の部分フーリエ級数の結果をいくつか示しています。

• 
  方形波 (青い点で表されます) は、方形波のフーリエ級数の最初の 6 つの項 (矢印で表されます) を合計して形成される 6 番目の部分和 (紫色の点で表されます) によって近似されます。各矢印は、その左側にあるすべての矢印の垂直合計 (つまり、前の部分和) から始まります。
• 
  方形波のフーリエ級数の最初の 4 つの部分和。高調波が追加されるにつれて、部分和は方形波に収束します (より方形波に近づきます)。
• 
  関数(赤) は、調和的に関連する 6 つの正弦波 (青) のフーリエ級数の合計です。そのフーリエ変換は、合計された正弦波の振幅を明らかにする周波数領域表現です。${\displaystyle s_{6}(x)}$${\displaystyle S(f)}$

フーリエ級数は、周期的でない関数の周波数情報も見つけることができるより一般的なツールであるフーリエ変換と密接に関連しています。周期関数は円上の関数と同一視できます。このため、フーリエ級数は円上のフーリエ解析の対象であり、通常はまたはと表記されます。フーリエ変換もフーリエ解析の一部ですが、 上の関数に対して定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

フーリエの時代以来、フーリエ級数の概念を定義および理解するためのさまざまなアプローチが発見されてきました。それらはすべて互いに一貫していますが、それぞれがトピックの異なる側面を強調しています。より強力で洗練されたアプローチのいくつかは、フーリエの時代には利用できなかった数学的なアイデアとツールに基づいています。フーリエはもともと、実数値の関数である実引数に対してフーリエ級数を定義し、分解に正弦関数と余弦関数を使用しました。それ以来、他の多くのフーリエ関連の変換が定義され、彼の最初のアイデアは多くの用途に拡張され、フーリエ解析と呼ばれる数学の分野が誕生しました。

区間上の複素数値分布のフーリエ級数は、 フーリエ係数が積分 によって定義される複素数である ような形式の 三角級数として定義されます 。級数は必ずしも収束する必要はありませんが、良好な場合 ( が連続的に微分可能な関数である場合など) では、級数は に一様収束します。ただし、点ごとの収束 (または一様収束) 以外の収束の概念の方が理論では便利な場合がよくあります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle [0,P]}$$${\displaystyle s_{\infty }(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}}$$ ${\displaystyle C_{n}}$$${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s(x)\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx.}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{\infty }(x)}$${\displaystyle s(x)}$

与えられた関数または信号のフーリエ係数を決定するプロセスは解析と呼ばれ、関連する三角級数（またはそのさまざまな近似値）を形成するプロセスは合成と呼ばれます。

フーリエ級数には、ここでは部分和として示されているように、いくつかの異なるが同等な形式がある。しかし理論的には、係数 と呼ばれる下付き文字と周期によって関数が次のように決定される：^{[3] [4] ：（1）、（3）  [5]}${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle s_{\scriptstyle N}(x)}$

高調波は整数でインデックス付けされますが、これは対応する正弦波が間隔 で作るサイクルの数でもあります。したがって、正弦波は次のようになります。${\displaystyle n,}$${\displaystyle P}$

• と同じ単位で等しい波長。${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$${\displaystyle x}$
• の逆数単位でに等しい周波数。${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$${\displaystyle x}$

明らかに、これらの級数は、1 つ以上の調和周波数の単なる合計である関数を表すことができます。注目すべき点は、 の極限では、項の数が無限であるため、三角級数は中間周波数や非正弦関数を表すこともできるということです。振幅位相形式は、級数係数の理論的根拠を理解する上で特に役立ちます。指数形式は、複素数値関数に対して最も簡単に一般化できます。(§ 複素数値関数を参照) ${\displaystyle N\to \infty }$

これらの形式が同等であるためには、係数間に特定の関係が必要です。たとえば、三角関数の恒等式は次のようになります。

意味は：^{[4] [5]}

したがって、およびは極座標を持つベクトルの直交座標であり、${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \varphi _{n}.}$

係数は、音楽シンセサイザーや波形の時間サンプルなど、与えられたり仮定されたりします。後者の場合、フーリエ級数の指数形式は、変数が時間ではなく周波数を表す離散時間フーリエ変換を合成します。しかし、通常、係数は与えられた実数値関数の解析によって決定され、時間を表します。解析は  通常、  長さの区間またはで行われます。^[A]${\displaystyle x}$${\displaystyle s(x),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle [-P/2,P/2]}$${\displaystyle [0,P]}$

図2は、 の1つの値に対するパラメータを決定する例です。これは、とコサインテンプレートの間の最大相関における の値です。青いグラフは相互相関関数であり、マッチドフィルタとも呼ばれます。${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi ).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}$

幸いなことに、この関数の導関数は最大値でゼロになるため、この関数全体を評価する必要はありません。

${\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}}$

必要となる${\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(B_{n},A_{n})=\arctan(X(\pi /2),X(0)).}$

適切なスケール係数を考慮すると、解析式は次のようになる。^{[6] [5]}

スケール係数は単純なケースから得られます。収束には式2 の項 のみが必要で、したがって式5は  次のようになります。${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$${\displaystyle n=k}$${\displaystyle A_{k}=1}$${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\int _{P}\underbrace {\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)} _{{\tfrac {1}{2}}\left(1+\cos \left(2\pi {\tfrac {2k}{P}}x\right)\right)}\,dx=1,}$       必要に応じて。

スケール係数は、任意の定数の場合に従われます。一部の著者は、それに応じて式 2 を使用し調整することを好みます。 ${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle \neq 0.}$${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$

もう一つの適用可能な等式はオイラーの公式です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

（注： ∗ は複素共役を表します。）

これを式1に代入し、式3と比較すると、次のようになります。

逆に言えば:

式5を式6に代入すると次式も得られる：^[7]

式7と式3は、が複素数値関数のときにも適用されます。 ^[B]これは、とを別々の実数値フーリエ級数として 表すことで得られ、${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

この表記法は、いくつかの異なる関数のフーリエ係数を議論するには不十分です。したがって、通常は関数(この場合は ) の修正形、たとえばやに置き換えられ、添え字 の代わりに関数表記法が使用されることがよくあります。${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

工学では、特に変数が時間を表す場合、係数シーケンスは周波数領域表現と呼ばれます。角括弧は、この関数の領域が離散的な周波数セットであることを強調するためによく使用されます。 ${\displaystyle x}$

よく使われる別の周波数領域表現では、フーリエ級数係数を使用してディラックコムを変調します。

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

ここで、 は連続周波数領域を表します。 変数の単位が秒の場合、の単位はヘルツです。 櫛の「歯」は の倍数（つまり高調波）間隔で配置され、これを基本周波数と呼びます。この表現から逆フーリエ変換によって を復元できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

したがって、周期関数のフーリエ積分は調和周波数で収束しないにもかかわらず、構築された関数は一般にフーリエ変換と呼ばれます。 ^[C]${\displaystyle S(f)}$

のこぎり波関数を考えてみましょう。

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

この場合、フーリエ係数は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

が微分可能な任意の点においてフーリエ級数は に収束することが示され、したがって となる。${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$

のとき、フーリエ級数は 0 に収束します。0 は、におけるsの左極限と右極限の半分の和です。これは、フーリエ級数に対する ディリクレの定理の特別な例です。${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle x=\pi }$

この例はバーゼル問題の解決につながります。

フーリエ級数が任意の周期関数（ディリクレ条件を満たす）の有効な表現であることの証明は、§ フーリエ級数の収束を証明するフーリエ定理で概説されています。

工学の応用では、工学で遭遇する関数は他の分野で遭遇する関数よりも挙動がよいため、フーリエ級数は一般にジャンプ不連続を除いて収束すると想定されています。特に、 が連続で の導関数（どこにでも存在するとは限らない）が二乗積分可能である場合、 のフーリエ級数は に絶対かつ一様に収束します。^[8]関数が区間 で二乗積分可能である場合、フーリエ級数は のほぼすべての場所で関数 に収束します。より一般的な関数または分布に対してフーリエ係数を定義することは可能ですが、その場合、点ごとの収束は失敗することが多く、通常はノルム収束または弱収束での収束が研究されます。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• 長さが 1、2、3、4 の項の 4 つの部分和 (フーリエ級数)。項の数が増えるにつれて方形波への近似がどのように改善されるかを示します (アニメーション)
• 長さが 1、2、3、4 の項の 4 つの部分和 (フーリエ級数)。項の数が増えるにつれて鋸歯状波への近似がどのように改善されるかを示します (アニメーション)
• 
  ある程度任意の関数への収束の例。垂直セクションへの遷移時および垂直セクションからの遷移時に「リンギング」（ギブス現象）が発生することに注意してください。

フーリエ級数は、レオンハルト・オイラー、ジャン・ル・ロン・ダランベール、ダニエル・ベルヌーイによる予備調査の後に三角級数の研究に重要な貢献をしたジャン＝バティスト・ジョセフ・フーリエ（1768年 - 1830年）にちなんで名付けられました。^[D]フーリエは金属板の熱方程式を解く目的でこの級数を導入し、1807年にMémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (固体内の熱の伝播に関する論文)で最初の結果を発表し、1822年にはThéorie analytique de la chaleur (熱の解析理論)を出版しました。Mémoireはフーリエ解析、特にフーリエ級数を導入しました。フーリエの研究を通じて、任意の（最初は連続関数^[9]、後に任意の区分的に滑らかな関数^[10]に一般化された）関数は三角級数で表すことができるという事実が確立されました。この偉大な発見の最初の発表は、1807年にフランス科学アカデミーでフーリエによって行われました。^{[11]周期関数を単純な振動関数の和に分解するという初期のアイデアは、古代の天文学者が}従円と周転円に基づいた惑星運動の経験的モデルを提唱した紀元前3世紀にまで遡ります。

熱方程式は偏微分方程式です。フーリエの研究以前は、熱源が単純な挙動を示す場合、特に熱源が正弦波または余弦波である場合の特殊解はわかっていましたが、一般的な場合の熱方程式の解はわかっていませんでした。これらの単純な解は現在、固有解と呼ばれることがあります。フーリエのアイデアは、複雑な熱源を単純な正弦波と余弦波の重ね合わせ（または線形結合）としてモデル化し、解を対応する固有解の重ね合わせとして表すというものでした。この重ね合わせまたは線形結合はフーリエ級数と呼ばれます。

現代の観点から見ると、フーリエの結果は、19世紀初頭には関数と積分の正確な概念がなかったため、いくぶん非公式なものとなっている。後に、ピーター・グスタフ・ルジュヌ・ディリクレ^[12]とベルンハルト・リーマン^{[13] [14] [15]は、}フーリエの結果をより正確かつ形式的に表現した。

当初の動機は熱方程式を解くことであったが、後に同じ手法が幅広い数学的・物理的問題、特に固有解が正弦波となる定数係数の線型微分方程式を含む問題に適用できることが明らかになった。フーリエ級数は、電気工学、振動解析、音響、光学、信号処理、画像処理、量子力学、計量経済学、^[16] 殻理論、^[17]など 多くの分野で応用されている。

ジョセフ・フーリエは次のように書いています: ^{[疑わしい–議論する]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

両辺に を掛けて から まで積分すると次のようになります。 ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

— ジョゼフ・フーリエ、『軍団団団団団の伝播に関する記憶』。 (1807) ^{[18] [E]}

これにより、そのような展開を持つ任意の関数に対して、 φ( y )の三角級数の任意の係数a _{k が}直ちに得られます。 φ がそのような展開を持つ場合、(適切な収束仮定の下で) 積分を 項ごとに実行できるため、これは機能します。 しかし、j ≠ k を含むすべての項は、-1 から 1 まで積分すると消え、項だけが残ります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

フーリエ級数で使われる現代の形式主義に近いこれらの数行で、フーリエは数学と物理学の両方に革命をもたらしました。同様の三角級数は以前にもオイラー、ダランベール、ダニエル・ベルヌーイ、ガウスによって使われていましたが、フーリエはそのような三角級数は任意の関数を表すことができると考えました。それが実際にどのような意味で正しいかはいくぶん微妙な問題であり、この考えを明らかにしようとする長年の試みは、収束、関数空間、調和解析の理論における重要な発見につながりました。

フーリエが1811年に後期のコンテスト論文を提出したとき、委員会（ラグランジュ、ラプラス、マルス、ルジャンドルなど）は次のように結論付けた。「…著者がこれらの方程式に到達する方法は困難を伴い、…それらを統合する分析は一般性、さらには厳密さの点でまだ改善の余地がある。 」 ^[要出典]

鋸歯状関数のフーリエ級数展開（上記）は、単純な式 よりも複雑に見えるため、なぜフーリエ級数が必要なのかはすぐにはわかりません。応用範囲は広いですが、フーリエの動機は熱方程式を解くことでした。たとえば、座標 で、辺の長さがメートルの正方形の金属板を考えてみましょう。板の中に熱源がなく、4 辺のうち 3 辺が 0 ℃ に保たれ、 で与えられる 4 辺目が℃ の温度勾配に維持される場合、において、定常熱分布（または長時間経過後の熱分布）は次のように表すことができます。 ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle y=\pi }$${\displaystyle T(x,\pi )=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

ここで、sinh は双曲正弦関数です。この熱方程式の解は、式 9の各項にを掛けることによって得られます。この例の関数は不必要に複雑なフーリエ級数を持っているように見えますが、熱分布は自明ではありません。この関数は閉じた形式の式として記述することはできません。熱問題を解くこの方法は、フーリエの研究によって可能になりました。 ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle T(x,y)}$${\displaystyle T}$

もう 1 つの応用は、パーセバルの定理を使用してバーゼル問題を解くことです。この例は一般化され、任意の正の整数nに対してζ (2 n ) を計算できます。

周期関数とそのフーリエ級数係数の一般的なペアをいくつか下の表に示します。

• ${\displaystyle s(x)}$周期 の周期関数を指定します。${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$周期関数のフーリエ級数係数（正弦余弦形式）を指定します。${\displaystyle s(x)}$

この表は、時間領域におけるいくつかの数学的演算と、それに対応するフーリエ級数係数への影響を示しています。表記法:

• 複素活用はアスタリスクで示されます。
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$周期関数またはのみに定義された関数を指定します${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$のフーリエ級数係数（指数形式）を指定します。${\displaystyle s}$${\displaystyle r.}$

複素関数の実部と虚部を偶数部と奇数部に分解すると、4つの成分があり、以下では下付き文字RE、RO、IE、IOで表されます。 複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には1対1のマッピングがあります。^[21]

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&i\ s_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {i\ S_{\text{IO}}\,} &+&i\ S_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

このことから、次のようなさまざまな関係が明らかになります。

• 実数値関数の変換は共役対称関数です。 逆に、共役対称変換は実数値の時間領域を意味します。${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• 虚数値関数の変換は共役反対称関数であり、その逆もまた真である。${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• 共役対称関数の変換は実数値関数であり、その逆もまた真です。${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• 共役反対称関数の変換は虚数値関数であり、その逆もまた真である。${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

が積分可能であれば、、であり、この結果はリーマン・ルベーグの補題として知られています。 ${\displaystyle S}$${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

が（長さ の区間にわたって周期的）に属する場合、次のようになります。${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

が係数である場合、任意の に対してとなる一意の関数が存在します。 ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$${\displaystyle S[n]=c_{n}}$${\displaystyle n}$

周期関数とフーリエ級数係数と${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{_{P}}}$${\displaystyle r_{_{P}}}$${\displaystyle S[n]}$${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• 点積: も -周期的であり、そのフーリエ級数係数は、およびシーケンス:の離散畳み込みによって与えられます。$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• 周期畳み込み: も -周期的であり、フーリエ級数係数は:$${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• の二重無限列は、関数のフーリエ係数の列であり、かつそれが の2つの列の畳み込みである場合に限ります。^{[22]を参照してください。}${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

が 2 π周期関数であり、その関数が回微分可能であり、その導関数が連続である場合、 はに属する と言います。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• の場合、導関数のフーリエ係数は、式 を介して関数のフーリエ係数で表すことができます。${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• ならば、 です。特に、を固定した場合、となるため、 はゼロに近づきます。これは、任意の に対して、フーリエ係数がnのk乗よりも速くゼロに収束することを意味します。${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$

これまで述べたフーリエ変換の興味深い特性の 1 つは、点ごとの積に畳み込みを適用することです。これが保存したい特性であれば、任意のコンパクト グループ上でフーリエ級数を作成できます。典型的な例としては、コンパクトな古典群があります。これにより、フーリエ変換は、 Gがコンパクト グループである形式L ² ( G )のすべての空間に一般化され、フーリエ変換は点ごとの積に畳み込みを適用します。フーリエ級数は、 [− π , π ]の場合と同様に存在し、収束します。

コンパクト群の別の拡張はピーター・ワイルの定理であり、これは有限群に関する結果と類似したコンパクト群の表現に関する結果を証明します。

領域が群でない場合、本質的に定義された畳み込みは存在しません。しかし、がコンパクトなリーマン多様体である場合、それはラプラス・ベルトラミ演算子を持ちます。ラプラス・ベルトラミ演算子は、リーマン多様体 のラプラス演算子に対応する微分演算子です。次に、類推により、 上の熱方程式を考えることができます。フーリエは熱方程式を解くことで基底に到達したので、自然な一般化は、ラプラス・ベルトラミ演算子の固有解を基底として使用することです。これは、リーマン多様体 のタイプの空間にフーリエ級数を一般化します。フーリエ級数は、の場合と同様の方法で収束します。典型的な例は、 を通常の計量を持つ球面とすることです。この場合、フーリエ基底は球面調和関数で構成されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle X}$

上で説明したコンパクト群への一般化は、非コンパクト、非可換群には一般化されません。ただし、局所コンパクト可換群 (LCA)への直接的な一般化があります。

これはフーリエ変換をまたはに一般化します。ここで はLCA グループです。がコンパクトな場合は、 の場合と同様に収束するフーリエ級数も得られますが、がコンパクトでない場合は、代わりにフーリエ積分 が得られます。 この一般化により、基礎となる局所コンパクトアーベル群が である場合に、通常のフーリエ変換が得られます。 ${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

2つの変数と平方の関数のフーリエ級数も定義できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

熱方程式などの偏微分方程式を解くのに役立つことに加え、正方形上のフーリエ級数の注目すべき応用の 1 つは画像圧縮です。特に、JPEG画像圧縮規格では、基底関数としてコサインのみを使用する フーリエ コサイン変換の離散形式である2 次元離散コサイン変換が使用されます。

2次元配列が互い違いに並んでいる場合、対称性が追加されるため、フーリエ級数の係数の半分が消えます。^[23]

3 次元ブラヴェ格子は、次の形式のベクトルの集合として定義されます。 ここで、は整数、は 3 つの線形独立ベクトルです。任意のブラヴェ格子ベクトル 、 に対して周期性の条件に従う関数 があると仮定すると、その関数のフーリエ級数を作成できます。この種の関数は、たとえば、周期的な結晶内で 1 つの電子が「感じる」有効電位です。ブロッホの定理 を適用する場合、電位のフーリエ級数を作成すると便利です。まず、格子の座標系で 任意の位置ベクトルを次のように記述できます。 ここで、はの大きさとして定義されることを意味するため、に沿った単位ベクトル です。 $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

そこで、新しい関数を定義することができます。 $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

この新しい関数 は、それぞれ周期性、、 を持つ 3 つの変数の関数になりました。 ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{3}}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

これにより、それぞれが 3 つの独立した整数 でインデックス付けされたフーリエ係数のセットを構築できます。以下では、これまでは下付き文字を使用していたこれらの係数を表すために関数表記を使用します。の区間で の級数を記述すると、次のように定義できます。 ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

そして次のように書くことができます: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

さらに定義: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

もう一度 書くと、次のようになります。${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

最後に、同じことを 3 番目の座標に適用して、次のように定義します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

次のように書きます。 ${\displaystyle g}$$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

並べ替え: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

ここで、すべての逆格子ベクトルは と書くことができます (ただし、これが唯一の書き方というわけではありません) 。ここで、は整数、は(に対して、 に対して)を満たす逆格子ベクトルです。すると、元のブラヴェ格子空間内の任意の逆格子ベクトルと任意の位置ベクトルについて、それらのスカラー積は 次のようになります。${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

したがって、 の展開において、和は実際には逆格子ベクトル上にあること は明らかです。${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

どこ$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

元の直交座標系における体積要素を計算するために、 、 、 について、この 3 つの線形方程式系を解くことができると仮定します。 、 、 について、 、 が得られれば、ヤコビ行列式を 計算でき ます 。これは、いくつかの 計算といくつかの非自明な積の恒等式を適用した後、次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$$${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

（計算を簡略化するために、 がx軸に平行で、xy平面にあり、 3 つの軸すべての成分を持つような直交座標系で作業すると有利かもしれません）。分母は、3 つの基本ベクトル、、に囲まれた基本単位セルの体積とまったく同じです。特に、次の式が成り立つことがわかっています。 ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$$${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

ここで、、、変数の代わりに、従来の座標系を使用して、 プリミティブセルの体積の積分として と書くことができます。体積要素 について と 書きます。 はプリミティブ単位セルなので、 はプリミティブ単位セルの体積です。 ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle dx\,dy\,dz}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$

ヒルベルト空間の言語では、関数の集合は、上の平方可積分関数の空間の正規直交基底です。この空間は実際には、任意の 2 つの要素とに対して内積が次のように与えられるヒルベルト空間です。 ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$ここでの複素共役は${\displaystyle g^{*}(x)}$${\displaystyle g(x).}$

ヒルベルト空間の基本的なフーリエ級数の結果は次のように書ける。

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

これは、上で示した複素指数関数の定式化と正確に対応します。正弦と余弦のバージョンも、ヒルベルト空間の解釈で正当化されます。実際、正弦と余弦は直交セットを形成します (ここでδ _mnはクロネッカーのデルタ)。 さらに 、正弦と余弦は定数関数 に直交します。実関数の正規直交基底は、n = 1,2,... の関数 と によって形成されます。それらのスパンの密度は、ストーン–ワイエルシュトラスの定理 の結果ですが、フェイエルカーネルなどの古典的なカーネルの特性からも従います。 $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$

これらの定理、および収束条件を指定しないそれらの非公式な変形は、一般的にフーリエの定理またはフーリエ定理と呼ばれることもあります。^{[24] [25] [26] [27]}

先ほどの式3 :

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

は次数の三角多項式であり、一般に次のように表されます。${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

パーセバルの定理は次のことを意味します。

最小二乗特性とフーリエ基底の完全性により、基本的な収束結果が得られます。

が連続的に微分可能である場合、 は導関数 のフーリエ係数であることはすでに述べました。導関数 は連続的であり、したがって有界であるため、平方積分可能であり、そのフーリエ係数は平方和可能です。すると、コーシー・シュワルツの不等式により、 ${\displaystyle s}$${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle s'}$

${\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.}$

これは、が絶対的に合計可能であることを意味します。この級数の和は連続関数で、 に等しくなります。これは、フーリエ級数が に収束するためです。 ${\displaystyle s_{\infty }}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle s}$

この結果は、が であると仮定すれば簡単に証明できます。その場合、 は のときに0 に近づくからです。より一般的には、フーリエ級数は絶対加算可能であり、が の位数のヘルダー条件を満たす限り、に一様に収束します。絶対加算可能な場合、不等式: ${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle n^{2}S[n]}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

一様収束を証明します。

フーリエ級数の収束に関する他の多くの結果は知られており、 がで微分可能である場合、級数は で収束するという中程度に単純な結果から、関数のフーリエ級数は実際にはほぼすべての場所で収束するという、レナート・カールソンのはるかに洗練された結果まであります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L^{2}}$

フーリエ級数は収束特性が非常に優れているため、否定的な結果のいくつかに驚く人も多くいます。たとえば、連続T周期関数のフーリエ級数は、必ずしも点ごとに収束する必要はありません。一様有界性原理は、この事実の簡単な非構成的証明をもたらします。

1922年、アンドレイ・コルモゴロフは「Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout」と題する論文を発表し、その中で彼はフーリエ級数がほぼどこでも発散するルベーグ積分可能関数の例を示した。彼は後に、フーリエ級数がどこでも発散する積分可能関数の例を構築した。^[28]

フーリエ級数が0で発散する連続関数の明示的な例を挙げることも可能である。例えば、 [0,π]内のすべてのxに対して定義される偶数かつ2π周期の関数fは^{[29]で定義される。}

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

関数は偶数なので、フーリエ級数は余弦のみを含みます。

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

係数は次のとおりです。

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}$

mが増加すると、係数は正で増加し、あるnで約 の値に達し、その後負になり（ 付近の値から始まり）、小さくなっていき、新しいそのような波が始まります。 でのフーリエ級数は単に の累計であり、約 まで増加します。 ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle C_{m},}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

n番目の波では、ゼロ付近に戻る前に、この数列はゼロに収束せず、より高いピークに達することがわかります。関数は連続していますが、微分可能ではないことに注意してください。

• 「フーリエ級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ホブソン、アーネスト(1911)。「フーリエ級数」 。ブリタニカ百科事典。第 10 巻 (第 11 版)。753 ～ 758 ページ。
• Weisstein, Eric W.「フーリエ級数」。MathWorld。
• ジョセフ・フーリエ –ウェイバックマシンにある、この記事の歴史セクションに使用されたフーリエの生涯に関するサイト(2001 年 12 月 5 日アーカイブ)

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathのフーリエ級数の例の資料が組み込まれています。