p進数

数論では、素数 pが与えられると、p進数は有理数の拡張を形成します。有理数は実数とは異なりますが、いくつかの類似した特性を持ちます。p進数は、小数(おそらく無限)に似た形式で表記できますが、桁は 10 ではなく素数pに基づき、右ではなく左に拡張されます。

例えば、有理数の3進展開と3進展開を比較すると、 ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$

正式には、素数pが与えられた場合、p進数は級数として定義できる。

${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$

ここでkは整数（負の場合もある）であり、それぞれはp進整数であり、p進数は${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}$${\displaystyle k\geq 0.}$

一般に、 p進数を表す級数は、通常の意味では収束しませんが、 kが最小の整数iである場合のp進絶対値 に対しては収束します(すべてがゼロの場合、ゼロのp進数が存在し、そのp進絶対値は0です)。 ${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle a_{i}}$

すべての有理数は、 p進絶対値に関して、上記のような級数の和として一意に表現できます。これにより、有理数を特別なp進数と見なすことができ、また、実数が通常の絶対値に対する有理数の完成であるのとまったく同じように、 p進数をp進絶対値に対する有理数の完成として定義することもできます。

p進数は1897年にクルト・ヘンゼルによって初めて記述されたが^[1]、後から考えてみると、エルンスト・クンマーの初期の著作のいくつかは暗黙的にp進数を使用していると解釈できる。^{[注 1]}

大まかに言えば、正の整数n を法とするモジュラー演算は、すべての整数をnで割った余り、つまりnを法とする剰余で「近似」することから成ります。モジュラー演算の主な特性は、整数に対する一連の演算の結果のn を法とする剰余が、 n を法とする剰余に対する同じ一連の演算の結果と同じであることです。結果の絶対値がn/2未満であることが分かっている場合は、 nより大きい整数を含まない結果を計算できます。

より大きな結果を得るには、今でも一般的に使用されている古い方法があります。それは、互いに素な対となるいくつかの小さな係数を使用し、その係数の積を法として結果を回復するために 中国剰余定理を適用するというものです。

クルト・ヘンゼルが発見した別の方法は、素数係数p を使用し、ヘンゼルの補題を適用して、結果を法として反復的に回復するというものです。このプロセスを無限に続けると、最終的にp進数 の結果が得られます。${\displaystyle p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots }$

p進数の理論は基本的に次の2つの補題に基づいている。

ゼロでないすべての有理数は、 v、m、nが整数で、mもnもpで割り切れない場合に、次のように表すことができます。${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$指数v は有理数によって一意に決定され、p進評価と呼ばれます(この定義は、以下に示すより一般的な定義の特殊なケースです)。補題の証明は、算術の基本定理から直接得られます。

値vの非ゼロ有理数rは一意に表すことができる。ここでsは値vより大きい有理数であり、aは次のような整数である。${\displaystyle r=ap^{v}+s,}$${\displaystyle 0<a<p.}$

この補題の証明はモジュラー算術から得られる。上記の補題により、mとnはpと互いに素な整数である。nのモジュラー逆は、ある整数hに対してとなる整数qである。したがって、となり、とな​​る。pによるのユークリッド除算は、mq がpで割り切れないためとなる。したがって、 ${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$${\displaystyle nq=1+ph}$${\textstyle {\frac {1}{n}}=qp{\frac {h}{n}},}$${\textstyle r=p^{v}mq-p^{v+1}{\frac {hm}{n}}.}$${\displaystyle mq}$${\displaystyle mq=pk+a}$${\displaystyle 0<a<p,}$

${\displaystyle r=ap^{v}+p^{v+1}{\frac {kn-hm}{n}},}$

これが望ましい結果です。

これはrではなくsから繰り返し実行することができ、次のようになります。

非ゼロ有理数rの値vと正の整数kが与えられたとき、有理数の非負の値とk個の一意に定義されたp未満の非負整数が存在し、${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{k-1}}$${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle r=a_{0}p^{v}+a_{1}p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}p^{v+k-1}+p^{v +k}s_{k}.}$

p進数は、本質的にはこれを無限に続けて無限級数を生成することによって得られます。

p進数は通常、p進数級数によって定義されます。

p進級数とは、次の形式の形式 的な冪級数である。

${\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$

ここで、 は整数であり、はゼロであるか、または負でない値を持つ有理数です（つまり、 の分母はpで割り切れません）。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$

すべての有理数は、単一の非ゼロ項を持つp進数級数として考えることができ、 nとd が両方ともpと互いに素である形式の因数分解で構成されます。 ${\displaystyle p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$

2つのp進数級数とが同値で あるのは、任意 の整数Nに対して有理数${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}$

はゼロであるか、またはp進値がnより大きい。

p進数列は、すべてが整数でかつとなるか、すべてがゼロである場合に正規化されます。後者の場合、その列はゼロ列と呼ばれます。 ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p,}$${\displaystyle a_{v}>0,}$${\displaystyle a_{i}}$

すべてのp進数列は、正確に 1 つの正規化数列と同等です。この正規化数列は、一連の変換によって得られ、一連の変換は数列の同値です。以下の「p 進数列の正規化」を参照してください。

言い換えれば、p進数列の同値性は同値関係であり、各同値クラスには正確に 1 つの正規化されたp進数列が含まれます。

級数の通常の演算（加算、減算、乗算、除算）は、 p進級数の同値性と互換性があります。つまり、 S、T、Uが非ゼロのp進級数であり、次の式が成り立つ 場合、同値を~で表します。${\displaystyle S\sim T,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}$

p進数は、実数をコーシー列の同値類として定義するのと同様に、p 進数列の同値類として定義されることが多い。正規化の一意性により、任意のp進数を対応する正規化されたp進数列で一意に表すことができます。級数の同値性の互換性は、 p進数の基本特性にほぼ直接つながります。

• p進数の加算、乗算、逆乗は、形式的な冪級数の場合と同様に定義され、その後に結果の正規化が行われます。
• これらの演算により、p進数は有理数の拡大体である体を形成します。
• 非ゼロのp進数xの値は通常、対応する正規化された級数の最初の非ゼロ項におけるpの指数と表記される。ゼロの値は次のようになる。${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$
• 非ゼロのp進数xのp進絶対値は、ゼロのp進数の場合、${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

級数から始めて、最初の上記の補題により、 のp進評価値がゼロである同値級数を得ることができます。そのためには、最初の非ゼロの を検討します。その p 進評価値がゼロの場合、vをiに変更するだけで十分です。つまり、 vから合計を開始します。それ以外の場合、のp進評価値は であり、の評価値はゼロです。したがって、 を0に、を に変更することで同値級数を取得します。このプロセスを繰り返すと、おそらく無限に多くのステップの後に、最終的に、ゼロ級数であるか、 の評価値がゼロである級数である同値級数を取得します。 ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$${\displaystyle r_{v}}$${\displaystyle r_{i}.}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle j>0,}$${\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i+j}}$${\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.}$${\displaystyle r_{v}}$

次に、級数が正規化されていない場合は、区間内の整数でない最初のゼロ以外の数を検討します。上記の 2 番目の補題により、を で置き換えてを に追加することで、n 個の同等の級数を取得することができます。このプロセスをおそらく無限回繰り返すと、最終的に目的の正規化されたp進級数が得られます。 ${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle [0,p-1].}$${\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i};}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle a_{i},}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i+1}.}$

p進数には、同値な定義がいくつかあります。ここで示す定義は、前のセクションで紹介した以外の数学的概念を含まないため、比較的初歩的です。他の同値な定義では、離散評価環の完備化(§ p 進整数を参照)、距離空間の完備化(§ 位相的性質を参照)、または逆極限(§ モジュラー性質を参照) を使用します。

p進数は、正規化されたp進数列として定義できます。 一般的に使用されている他の同等の定義があるため、正規化されたp進数列は、 p進数であると言う代わりに、p 進数を表すと言われることがよくあります。

また、すべてのp進数列は一意の正規化されたp進数列と同等であるため、任意のp進数列はp進数を表すとも言えます。これは、 p進数の演算 (加算、減算、乗算、除算) を定義するのに役立ちます。このような演算の結果は、対応する数列の演算の結果を正規化することによって得られます。数列演算はp進数列の同値性と互換性があるため、これは p 進数に対する演算を適切に定義します。

これらの演算により、p進数はp進数体と呼ばれる体を形成し、または と表記されます。有理数からp進数への唯一の体準同型があり、これは有理数をそのp進展開にマップします。この準同型の像は、一般に有理数体と同一視されます。これにより、p進数を有理数の拡大体として、また有理数をp進数の部分体として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$

非ゼロのp進数xの値(一般的には、x を表すすべてのp進数級数の最初の非ゼロ項におけるpの指数) は、次のように表されます。慣例により、つまり、ゼロの値は次のようになります。この値は離散値です。この値の有理数への制限は、のp進値、つまり、nとd がpと互いに素であるような有理数の因数分解における指数vです。 ${\displaystyle v_{p}(x),}$${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$${\displaystyle \infty .}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}$

p進整数は、負でない値を持つ p進数です。

p進整数は数列として表すことができる

${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$

各整数eに対して、留数x _e mod p ^eであり、 i < jに対して適合関係を満たす。 ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$

すべての整数はp進整数です( なので、ゼロも含みます)。 dがpと互いに素であり、の形式の有理数もp進整数です( dには、すべてのeに対してp ^{e を}法とする逆数が存在するため)。 ${\displaystyle 0<\infty }$${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$${\displaystyle k\geq 0}$

p進整数は、 または と表記される可換環を形成し、 次の特性を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

• これは体の部分環であるか、または 2 つの非ゼロp進級数の積の級数表現の最初の項がそれらの最初の項の積であるため、整域です。
• の単位（可逆な元）は、評価値がゼロのp進数です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• これは主イデアル領域であり、各イデアルはpのべき乗によって生成されます。
• これはKrull 次元1の局所環です。その唯一の素イデアルは、零イデアルと、 pによって生成されるイデアル、つまり唯一の最大イデアルです。
• これは前述の性質から生じるため、離散評価環です。
• これは、素イデアルにおける局所化である局所環の完成である。${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

最後の特性は、上記の定義と同等のp進数の定義を提供します。 p進数の体とは、 pによって生成される素イデアルにおける整数の局所化の完備化の分数の体です。

p進数の評価はp進数の絶対値を定義することを可能にする。非ゼロのp進数xのp進絶対値は

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$

ここで、はxのp進値です。のp進絶対値は、これは強三角不等式を満たす絶対値です。なぜなら、任意のx とyに対して、${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$もし、もし、${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

さらに、${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$${\displaystyle |x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).}$

これにより、p進数は距離空間となり、さらに超距離空間となり、p進距離は次のように定義される。 ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

距離空間として、p進数は、p進絶対値を備えた有理数の完備化を形成します。これは、 p進数を定義する別の方法を提供します。ただし、距離は離散評価によって定義されるため、完備化の一般的な構成は、この場合簡略化できます (簡単に言うと、2 つの連続する項間の差が厳密に減少する絶対値を持つような部分列をすべてのコーシー数列から抽出できます。このような部分列は、 p進数列の部分和の列であり、したがって、一意の正規化されたp進数列をコーシー数列のすべての同値類に関連付けることができます。そのため、完備化を構築するには、コーシー数列の同値類ではなく、正規化されたp進数列を考慮するだけで十分です)。

計量は離散評価から定義されるため、すべての開いた球は閉じた球でもある。より正確には、開いた球は閉じた球に等しく、 vは最小の整数であり 、同様にwは最大の整数であり、${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$${\displaystyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$${\displaystyle p^{-v}<r.}$${\displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$${\displaystyle p^{-w}>r.}$

これは、 p進数が局所的にコンパクトな空間を形成し、p進整数、つまり球体がコンパクトな空間 を形成することを意味します。 ${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$

正の有理数の小数展開は、その数を数列として表すものである。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$

ここで は整数で、それぞれ もまたとなる整数です。この展開は分子を分母で長除算することで計算できます。この長除算自体は次の定理に基づいています。が有理数で、 となる整数が存在する場合、かつとなります。小数展開は、この結果を反復中に元の有理数 の役割を果たす剰余に繰り返し適用することで得られます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$${\displaystyle 10^{k}\leq r<10^{k+1},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0<a<10,}$${\displaystyle r=a\,10^{k}+r',}$${\displaystyle r'<10^{k}.}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle r}$

有理数のp進展開も同様に定義されますが、除算の手順が異なります。より正確には、固定された素数が与えられている場合、すべての非ゼロの有理数は と一意に表すことができます。ここでは (負の場合もある) 整数、は と互いに素な互いに素な整数で、 は正です。整数はのp進値で、 と表され、 はそのp進絶対値で、 と表されます(絶対値は、値が大きいほど小さくなります)。除算の手順は、次のように表されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle v_{p}(r),}$${\displaystyle p^{-k}}$${\displaystyle |r|_{p}}$

${\displaystyle r=a\,p^{k}+r'}$

ここで、はとなる整数であり、 は 0 または となる有理数(つまり) のいずれかです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle 0\leq a<p,}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle |r'|_{p}<p^{-k}}$${\displaystyle v_{p}(r')>k}$

の-進展開は形式的な冪級数である${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

は、上記の除算を連続する剰余に対して無限に繰り返すことによって得られる。p進展開では、すべては整数であり、${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$

の場合、プロセスは最終的に剰余がゼロになって停止します。この場合、この級数は係数がゼロの項で完了し、 はp を底とするの表現になります。 ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle r}$

有理数のp進展開の存在と計算は、ベズーの恒等式から次のようにして得られる。上記のように、およびが互いに素であれば、次の整数およびが存在する。したがって、 ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$${\displaystyle td+up=1.}$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.}$

そして、を でユークリッド除算すると、 ${\displaystyle nt}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle nt=qp+a,}$

とすると 、除算のステップは次のようになる。 ${\displaystyle 0\leq a<p.}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}}$

反復処理では

${\displaystyle r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}$

は新しい有理数です。

除算ステップとp進展開全体の一意性は簡単です。が成り立つ場合これはを割り切ることを意味します。したがって、次が成り立つ必要があります。したがって、 が成り立ち、 を割り切るので、が成り立つ必要があります。${\displaystyle p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}.}$${\displaystyle 0\leq a_{1}<p}$${\displaystyle 0\leq a_{2}<p,}$${\displaystyle 0\leq a_{1}}$${\displaystyle a_{2}<p.}$${\displaystyle -p<a_{1}-a_{2}<p,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=a_{2}.}$

有理数の p 進展開は、 p 進絶対値を持つ収束級数の定義を適用すると、有理数に収束する級数です。標準のp進表記では、数字は標準のp進数システムと同じ順序で書かれます。つまり、基数の累乗は左に向かって増加します。つまり、数字の生成が逆になり、左辺で極限が発生します。

有理数の p 進展開は、最終的には周期的になります。逆に、の級数が( p進絶対値に対して) 有理数に収束するのは、それが最終的には周期的である場合に限ります。この場合、級数はその有理数のp進展開です。証明は、循環小数に対する同様の結果の証明と同様です。 ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$

5と分母3に対するベズー恒等式の5進展開を計算してみましょう（より大きな例では、これは拡張ユークリッド互除法で計算できます）。したがって、 ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}$${\displaystyle 2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5({\frac {-1}{3}}).}$

次のステップでは、 を展開する必要があります（係数 5 は、任意の数展開の基数と同様に、 p進値の「シフト」として見なす必要があり、したがってそれ自体を展開してはいけません）。 を展開するには、同じベズーの恒等式から始めて を掛けると、次 のようになります。${\displaystyle -1/3}$${\displaystyle -1/3}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.}$

「整数部分」は正しい区間ではありません。したがって、ユークリッド除算を使用して、次の式を 得る必要があります。${\displaystyle -2}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle -2=3-1\cdot 5,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}}=3+5({\frac {-2}{3}}),}$

そして最初のステップの拡大は

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5\cdot (3+5\cdot ({\frac {-2}{3}}))=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.}$

同様に、

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},}$

そして

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.}$

「余り」はすでに求められているので、このプロセスは簡単に続けられ、 5の奇数乗と偶数乗の係数が得られる。または、標準的な5進表記では ${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}}$

省略記号 は左側に あります。${\displaystyle \ldots }$

p基数で数値を表すために使用されるものと同様の位置表記法を使用することもできます。

を正規化されたp進級数、つまりそれぞれが区間内の整数であるとします。に対して( の場合) を設定し、結果として得られるゼロ項を級数に追加することで、であると仮定できます。 ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle [0,p-1].}$${\displaystyle k\leq 0}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle 0\leq i<k}$${\displaystyle k>0}$

位置表記法が、 iの値が減少する順に連続的に記述され、p が右側のインデックスとして表示される 場合:${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}}$

したがって、上記の例の計算は、

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},}$

そして

${\displaystyle {\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.}$

負のインデックスの数字の前に区切りのドットが追加され、インデックスpが存在する場合は、区切りのドットの直後に表示されます。たとえば、 ${\displaystyle k<0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,}$

そして

${\displaystyle {\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.}$

p進表現が左側で有限である場合（つまり、iの値が大きい場合）、整数の形式の非負有理数の値を持ちます。これらの有理数は、 p を底とする有限表現を持つ非負有理数とまったく同じです。これらの有理数の場合、2 つの表現は同じです。 ${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle np^{v},}$${\displaystyle n,v}$

商環はを 法とする整数の環と同一視できる。これは、正規化されたp進数級数で表されるすべてのp進整数が、その値が区間内の整数である部分和を法として合同であることを示すことで示される。簡単な検証により、これがから への環同型を定義することが示される。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{n}.}$${\displaystyle p^{n}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

環の逆極限は、任意のiに対してとなるような数列によって形成される環として定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

正規化されたp進数列をその部分和のシーケンスにマッピングするマッピングは、 からの逆極限への環同型です。これは、 p進整数 (同型 まで)を定義する別の方法を提供します。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$

p進整数のこの定義は、逐次近似によって p進整数を構築できるため、実用的な計算に特に役立ちます。

例えば、整数のp進逆数を計算するには、ニュートン法を使ってpを法とする逆数から始める。すると、ニュートン法の各ステップで、pを法とする逆数から逆数を計算する。${\textstyle p^{n^{2}}}$${\textstyle p^{n}.}$

同じ方法は、 pを法とする平方剰余である整数のp進平方根を計算するのにも使用できます。これは、大きな整数が平方であるかどうかをテストする最も高速な既知の方法のようです。指定された整数が にある値の平方であるかどうかをテストするだけで十分です。ニュートン法を使用して平方根を見つけるには、が指定された整数の 2 倍よりも大きいことが必要ですが、これはすぐに満たされます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\textstyle p^{n}}$

ヘンゼル リフティングは、整数係数を持つ多項式のpを法とする因数分解を、大きな値のnを法とする因数分解に「持ち上げる」ことを可能にする同様の方法です。これは、多項式因数分解アルゴリズムでよく使用されます。 ${\textstyle p^{n}}$

p進展開の表記にはいくつかの異なる慣例があります。この記事ではこれまで、pのべき乗が右から左に増加するp進展開の表記法を使用してきました。この右から左への表記法では、例えば の3進展開は次のように記述されます。${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

この表記法で計算を行うと、桁は左に繰り上がります。また、 p進展開を、 pの累乗が左から右に増加し、桁が右に繰り上がるように書くことも可能です。この左から右への表記法では、の 3 進展開は次のようになります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

p進展開は、{0, 1, ..., p  − 1 }の代わりに他の数字のセットで表すことができる。例えば、の3進展開は、1が負の1を表す、バランスのとれた3進数{ 1 , 0, 1 }を使用して次のように 表すことができる。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$

実際、pを法とする異なる剰余類に属するp個の整数の任意の集合はp進数字として使用できます。数論では、タイヒミュラー表現が数字として使用されることがあります。^[2]

クォート記法は、有理数p進表現の変形でありエリック・ヘナーとナイジェル・ホースコンピュータ上でこれらの数値の（正確な）演算を実装するために提案されました^[3]

と は両方とも非可算であり、連続体 の濃度を持ちます。^[4]なぜなら、これはp進表現から生じ、 の冪集合上の一対一表現を定義するからです。なぜなら、これはのコピーの可算無限和としての表現から生じます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$を含み、特性0の体です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

0は平方和として表すことができるため、 ^[5]は 順序体 に変換できません。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

実数 体には、複素数という唯一の適切な代数的拡大があります。言い換えると、この二次拡大は既に代数的に閉じています。対照的に、で表される の代数的閉包は無限次数を持ちます。 ^[6]つまり、 には無限に多くの同値でない代数的拡大があります。また、実数の場合と対照的に、へのp進付値の唯一の拡大がありますが、後者は（計量的に）完全ではありません。^{[7] [8]}その（計量的）完備化はまたは と呼ばれます。^{[8] [9]}ここで、 が代数的に閉じているのと同様に、終わりに達します。^{[8] [10]}しかし、これとは異なり、体は局所的にコンパクトではありません。^[9]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \Omega _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$およびは環として同型であるため、^[11]特殊な計量を備えていると見なすことができます。このような体同型の存在証明は選択公理に依存しており、そのような同型の明示的な例は提供されていません (つまり、構成的ではありません)。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

が の任意の有限ガロア拡大である場合、ガロア群はを解くことができます。したがって、ガロア群はを求解できます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$にはn -次元円分体( n > 2 )が含まれるのは、 n  | p − 1の場合に限ります。^[12]たとえば、n -次元円分体が のサブフィールドとなるのは、n = 1, 2, 3, 4, 6、または12の場合に限ります。特に、 p > 2の場合、には乗法的なp -ねじれはありません。また、の唯一の非自明なねじれ元は−1です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$

自然数 kが与えられたとき、その中の非ゼロ元のk乗の乗法群の指数は有限である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$

階乗の逆数の和として定義される数eは、どのp進体 の元でもありませんが、 については元になります。p = 2の場合、少なくとも 4 乗を取らなければなりません。^{[13] (したがって、} eと同様の特性を持つ数、つまりe ^pのp乗根は、すべてのpに対しての元になります 。) ${\displaystyle e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p\neq 2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

ヘルムート・ハッセの局所-大域原理は、方程式が有理数上で解ける場合と、すべての素数pに対して実数上でかつp進数 上で解ける場合に限り、方程式に対して成立すると言われています。この原理は、たとえば、二次形式によって与えられる方程式に対して成立しますが、いくつかの不定量の高次多項式に対しては成立しません。

実数とp進数は有理数の完備化です。また、他の体、たとえば一般代数体も、同様の方法で完備化できます。これについてここで説明します。

Dがデデキント域で、E がその分数体であるとする。 Dの非ゼロ素イデアル P を選択する。x がEの非ゼロ元である場合、xD は分数イデアルであり、 Dの非ゼロ素イデアルの正と負の累乗の積として一意に因数分解できる。この因数分解におけるPの指数を ord _P ( x )と書き、1 より大きい 任意の数cに対して次のように設定できる。

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

この絶対値|⋅| _Pに関して完成すると、 p進数の体をこの設定に適切に一般化した体E _Pが得られます。 cの選択によって完成は変わりません (選択が異なっても、コーシー列の同じ概念が得られるので、完成は同じです)。剰余体D / Pが有限である場合、 c をD / Pのサイズにすると便利です。

たとえば、Eが数体である場合、オストロフスキーの定理によれば、 E上のすべての非自明な非アルキメデス的絶対値は、何らかの|⋅| _Pとして生じます。E 上の残りの非自明な絶対値は、実数または複素数へのEのさまざまな埋め込みから生じます。(実際、非アルキメデス的絶対値は、単にEの体C _pへのさまざまな埋め込みとして考えることができ、これにより、数体のすべての非自明な絶対値の記述が共通の基盤に置かれます。)

多くの場合、 E が数体 (またはより一般的にはグローバル体) である場合、上記のすべての完了を同時に追跡する必要があり、これらは「ローカル」情報をエンコードするものと見なされます。これは、アデール環とイデール群によって実現されます。

p進整数はp進ソレノイド に拡張できます。 からp進整数をファイバーとする円群への写像が存在します。これは、 から をファイバーとする円への写像が存在するのと同様です。 ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Weisstein、Eric W.「p進数」。MathWorld。
• Springer オンライン数学百科事典の p 進数