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数学において、付属作用素は、マレーとフォン・ノイマンによってフォン・ノイマン代数の理論において、単一のベクトルによって生成される加群を研究するために非有界作用素を使用する手法として導入された。後にアティヤとシンガーは、無限基本群を持つ閉多様体上の楕円作用素の指数定理は、群のフォン・ノイマン代数に付属する非有界作用素の観点から自然に表現できることを示した。付属作用素の代数的性質は、そのような指数定理の研究から発展した 解析学と幾何学の間の領域であるL ²コホモロジーにおいて重要であることが証明されている。

M をヒルベルト空間Hに作用するフォン・ノイマン代数とする。閉じた稠密に定義された演算子A がMに属するとは、A がM の可換演算子Uと可換であるときである。同値な条件は以下のとおりである。

• M'の各ユニタリU は、によって定義されるAのグラフを不変にしておく必要があります。${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax):x\in D(A)\}\subseteq H\oplus H}$
• G ( A )への射影はM2 ( M )に_含まれるはずである。
• M'の各ユニタリUは、 Aの定義域D ( A )をそれ自身に適用し、 UAU* = Aを満たす必要があります。
• M'の各ユニタリU は、 Aの極分解の両方の演算子と可換である必要があります。

最後の条件は、極分解の一意性によって決まる。Aが極分解を持つ 場合

${\displaystyle A=V|A|,\,}$

これは、部分等長変換 V がMに含まれ、正の自己随伴演算子|A|がMに関連付けられている必要があることを示しています。ただし、スペクトル定理により、正の自己随伴演算子がユニタリ演算子と交換できるのは、そのスペクトル射影のそれぞれが交換できる場合のみです 。これにより、別の同等の条件が得られます。 ${\displaystyle E([0,N])}$

• | A | の各スペクトル投影とAの極分解における部分等長変換はMにあります。

一般に、フォン・ノイマン代数Mに属する演算子は、加算または合成のいずれにおいても必ずしも良好な挙動を示す必要はない。しかし、忠実な半有限正規トレース τ と、H  =  L ² ( M , τ )に対するMの標準的なゲルファント・ナイマーク・シーガル作用がある場合、エドワード・ネルソンは、可測の関連演算子が優れた特性を持つ*-代数を形成することを証明した。これらは、 Nが十分に大きい場合に τ( I  −  E ([0, N ])) < ∞となる演算子である。この非有界演算子の代数は、自然な位相に対して完全であり、測度 における収束の概念を一般化している。これは、トレースによって定義されるすべての非可換L ^p空間を含み、それらの研究を容易にするために導入された。

この理論は、フォン・ノイマン代数Mがタイプ Iまたはタイプ IIの場合に適用できます。ヒルベルト・シュミット作用素のヒルベルト空間L ² ( H ) に作用するM  =  B ( H ) のとき、シャッテンとフォン・ノイマンによるよく知られた非可換L ^p空間L ^p ( H ) の理論が得られます。

M が有限フォン・ノイマン代数、たとえばタイプ II ₁因子である場合、すべての関連演算子は自動的に測定可能であり、したがって、関連演算子は、マレーとフォン・ノイマンの最初の論文で最初に観察されたように、*-代数を形成します。この場合、M はフォン・ノイマン正則環です。なぜなら、その像|A|の閉包上で測定可能な逆Bがあり、T  =  BV ^*はATA  =  Aである測定可能な演算子を定義するからです。もちろん、 X が確率空間でM  =  L ^∞ ( X ) である古典的なケースでは、 X上の測定可能な関数の *-代数を単純に回復します。

しかし、 Mがタイプ IIIの場合、理論はまったく異なる形になります。実際、この場合、富田–竹崎理論のおかげで、非可換L ^p空間はフォン ノイマン代数に属する演算子では実現されないことがわかっています。コンヌが示したように、これらの空間は、参照モジュラー演算子の特定の正のべき乗を使用することによってのみ、非有界演算子として実現できます。単純な所属関係UAU ^*  =  Aによって特徴付けられる代わりに、モジュラー自己同型群の解析接続を含む、より複雑な双加群関係があります。

• A. Connes、非可換幾何学、ISBN  0-12-185860-X
• J. Dixmier、フォン ノイマン代数、ISBN 0-444-86308-7 [Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann、Gauthier-Villars (1957 & 1969)] 
• W. Lück、L ² -不変量：理論と幾何学およびK理論への応用、（第8章：関連演算子の代数）ISBN 3-540-43566-2 
• FJ MurrayとJ. von Neumann、「演算子のリング」、Annals of Mathematics 37 (1936)、116–229 (第16章)。
• E. ネルソン「非可換積分に関する注記」、J. Funct. Anal. 15 (1974)、103–116。
• 竹崎正之『作用素環論 I, II, III』、ISBN 3-540-42248-X ISBN 3-540-42914-X ISBN 3-540-42913-1