フーリエ反転定理

数学において、フーリエ反転定理は、多くの種類の関数について、そのフーリエ変換から関数を復元できることを示しています。直感的には、波に関するすべての周波数と位相の情報を知っていれば、元の波を正確に再構築できるという ステートメントとして見ることができます。

この定理は、ある条件を満たす関数があり、フーリエ変換の慣例を用いると、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,よ、}$

それから

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\ xi.}$

言い換えれば、この定理は

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

この最後の方程式はフーリエ積分定理と呼ばれます。

この定理を別の言い方で述べると、 が反転演算子、すなわち である場合、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

この定理は、とそのフーリエ変換が両方とも絶対積分可能（ルベーグの意味で）であり、点 で連続である場合に成立します。ただし、より一般的な条件下でも、フーリエ反転定理のバージョンは成立します。これらの場合、上記の積分は通常の意味で収束しない可能性があります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

この節では、 は積分可能な連続関数であると仮定する。フーリエ変換の慣例を用いると、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

さらに、フーリエ変換も積分可能であると仮定します。

フーリエ逆変換定理の最も一般的な記述は、逆変換を積分として述べることである。任意の積分可能な関数とすべての集合 に対して${\displaystyle g}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

それで、私たちが持っている ものすべて${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

この定理は次のように言い換えることができる。

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

上記の各辺の 実数部^{[1]をとると、}

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

任意の関数に対して反転演算子^[2]を次のように 定義する。${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

代わりに定義する

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

フーリエ変換とフリップ演算子の定義から、と は両方ともの積分定義に一致し、特に は互いに等しく を満たしていることが直ちにわかります。 ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

私たちは、そして ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f}$${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}$

上で述べたフーリエ反転定理の形式は、よくあるように、

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

言い換えれば、はフーリエ変換の左逆である。しかし、これはフーリエ変換の右逆でもある。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

は と非常に似ているため、これはフーリエの逆定理（変数 を変換）から非常に簡単に導かれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \zeta :=-\xi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

あるいは、これは、と反転演算子の関係と関数合成の結合性からわかる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

物理学や工学で使用される場合、フーリエ反転定理は、すべてが「適切に動作する」という仮定の下でよく使用されます。数学では、このような経験的な議論は許可されておらず、フーリエ反転定理には、許可される関数のクラスの明示的な指定が含まれています。ただし、考慮すべき「最良」の関数のクラスはないため、結論が互換性があるとはいえ、フーリエ反転定理のいくつかのバリエーションが存在します。

フーリエ反転定理は、すべてのシュワルツ関数（大まかに言えば、急速に減衰し、その導関数もすべて急速に減衰する滑らかな関数）に当てはまります。この条件には、関数に関する基本的な直接的な記述である（フーリエ変換に条件を課すのではなく）という利点があり、フーリエ変換とその逆を定義する積分は完全に積分可能です。このバージョンの定理は、緩和分布のフーリエ反転定理の証明に使用されます（以下を参照）。

フーリエ反転定理は、絶対積分可能なフーリエ変換を持つ絶対積分可能なすべての連続関数（つまり ）に対して成り立ちます。これにはすべてのシュワルツ関数が含まれるため、 は前述の定理よりも厳密に強い形式です。この条件は、上記のステートメント セクションで使用されているものです。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

少し異なる方法として、関数が連続であるという条件を取り除いて、それでも関数とそのフーリエ変換が絶対積分可能であることを要求します。すると、g が連続関数であるほぼすべての場所で、任意のに対して となります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

部分的に滑らか、1次元

関数が1次元で絶対積分可能（つまり）であり、区分的に滑らかな場合、フーリエ反転定理の一種が成立する。この場合、次のように定義する。 ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

そして、すべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

つまり、 はにおけるの左端と右端の平均に等しくなります。 が連続する点では、これは単に に等しくなります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

この定理の形式の高次元類似物も成立しますが、Folland (1992) によれば、「かなり繊細で、あまり有用ではない」とのことです。

区分的に連続; 1次元

関数が1次元で絶対積分可能（つまり）だが、単に区分的に連続なだけの場合、フーリエ逆変換定理の一種が依然として成立する。この場合、逆フーリエ変換における積分は、鋭いカットオフ関数ではなく滑らかなカットオフ関数を用いて定義される。具体的には、次のように定義する。 ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

定理の結論は、上で説明した区分的に滑らかなケースの場合と同じになります。

連続的; 任意の次元数

が連続かつ絶対積分可能である場合、逆変換を滑らかなカットオフ関数で定義する限り、フーリエ反転定理は依然として成立する。すなわち、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

結論は、すべての人にとって${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

規則性条件なし、次元数は任意

の（区分的）連続性に関する仮定をすべて捨てて、それが絶対積分可能であると仮定した場合でも、定理のバージョンは依然として成立する。逆変換は再び滑らかなカットオフで定義されるが、結論は次のようになる。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

ほぼすべての ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

この場合、フーリエ変換は絶対収束しない可能性があるため、積分として直接定義することはできないため、代わりに密度引数によって定義されます（フーリエ変換の記事を参照）。たとえば、

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

ノルムの極限がとられる場所を設定できます。逆変換は密度によって同様に定義するか、フーリエ変換と反転演算子で定義することができます。すると、 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

平均二乗ノルムでは収束します。1 次元 (1 次元のみ) では、ほぼすべての x ∈ℝに対して収束することも示されます。これはカールソンの定理ですが、平均二乗ノルムでの収束を証明するよりもはるかに困難です。

フーリエ変換は、シュワルツ関数の空間上のフーリエ変換の双対性によって、緩和分布 の空間上で定義される。具体的には、およびすべてのテスト関数に対して、次のように設定する。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

ここで、は積分公式を用いて定義される。^[3]ならば、これは通常の定義と一致する。逆変換 は、シュワルツ関数の逆変換から双対性によって同様に定義するか、フリップ演算子（フリップ演算子は双対性によって定義される）によって定義することができる。すると、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

フーリエ反転定理はフーリエ級数の収束に類似している。フーリエ変換の場合、

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

フーリエ級数の場合には、代わりに

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

特に、1 次元では、和は からまでになります。 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

フーリエ変換の応用では、フーリエ逆変換定理が重要な役割を果たします。多くの場合、基本的な戦略は、フーリエ変換を適用し、何らかの操作または簡略化を実行してから、逆フーリエ変換を適用することです。

より抽象的に言えば、フーリエ反転定理は、フーリエ変換を演算子として表すものです(関数空間上のフーリエ変換を参照)。たとえば、 上のフーリエ反転定理は、フーリエ変換が 上のユニタリ演算子であることを示しています。 ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

• リグドヒルベルト空間
• 波束

• フォランド、ジェラルド B. (1992)。『フーリエ解析とその応用』パシフィックグローブ、カリフォルニア州:ワズワース&ブルックス/コール。ISBN 978-0-534-17094-3。
• フォランド、GB (1995)。偏微分方程式入門（第2版）。プリンストン、米国：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-04361-6。