セントラライザーとノーマライザー

部分集合の中心化${\displaystyle S}$群（または半群）Gは^{[ 3 ]}と定義される。

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

最初の定義のみが半群に適用されます。問題の群について曖昧さがない場合は、表記からG を省略できます。${\displaystyle S=\{a\}}$が単一要素集合である場合、C _G ( a )と表記します（C _G ({ a }ではなく）。中心化子を表すもう 1 つのあまり一般的ではない表記法は Z( a ) で、これは中心を表す表記法と類似しています。この後者の表記法では、群Gの中心Z( G ) とGの要素gの中心化子Z( g )との混同を避けるよう注意する必要があります。

群（または半群）GにおけるSの正規化群は次のように定義される。

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

ここでも、最初の定義のみが半群に適用されます。${\displaystyle S}$は、${\displaystyle G}$ノーマライザー${\displaystyle N_{G}(S)}$最大のサブグループです${\displaystyle G'\subseteq G}$どこ${\displaystyle S}$は、​${\displaystyle G'}$中心化子と正規化子の定義は似ていますが、同一ではありません。gが中心化子に含まれる場合、${\displaystyle S}$そしてsは${\displaystyle S}$ならばgs = sgでなければならないが、g が正規化子にある場合、あるtに対してgs = tg となる。${\displaystyle S}$tはsと異なる可能性がある。つまり、中心化器の要素は${\displaystyle S}$地点ごとに通勤しなければならない${\displaystyle S}$ただし、 Sの正規化群の要素は、集合としての Sと可換であればよい。上記で述べた中心化群と同じ表記規則が正規化群にも適用される。正規化群は正規閉包と混同してはならない。

明らかに${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$そして両方とも${\displaystyle G}$。

Rが環または体上の代数である場合、${\displaystyle S}$はRの部分集合であり、その中心化は${\displaystyle S}$は、グループに対して定義されているのとまったく同じで、Gの代わりにR が入ります。

もし${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$はリー積 [ x , y ] を持つリー代数（またはリー環）であり、部分集合の中心化である。${\displaystyle S}$の${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$^{[ 4 ]}と定義される

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

リー環の中心化子の定義は、環の定義と次のように結びついています。Rが結合環である場合、Rには括弧積[ x , y ] = xy − yxを与えることができます。もちろん、xy = yxとなるのは[ x , y ] = 0の場合のみです。括弧積を持つ集合RをL _Rと表記すると、明らかに環の中心化子は${\displaystyle S}$Rにおけるは、リー環の中心化に等しい。${\displaystyle S}$ L _Rで。

リー括弧は、集合の操作と見なすこともできます。${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$それ自体で、なぜなら${\displaystyle [*,*]:{\mathfrak {L}}\times {\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}}$リー括弧は${\displaystyle ({\mathfrak {L}},[*,*])}$グループとその中心化要素はすべて${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=[s,x]{\text{ for all }}s\in S\}.}$しかし、リー括弧は交代式なので、この条件は以下と同等です。${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$したがって、中心化群は、群の場合と同様に、リー代数においても同じように定義される。

部分集合の正規化子${\displaystyle S}$リー代数（またはリー環）の${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$^{[ 4 ]}で与えられる

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

これはリー代数における「正規化子」という用語の標準的な用法であるが、この構成は実際には集合の理想化子である。${\displaystyle S}$で${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$。 もし${\displaystyle S}$は加法的な部分群である${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$、 それから${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$は、最大のリー部分環（または場合によってはリー部分代数）であり、${\displaystyle S}$は、リーのイデアルである。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle S'}$中心化者を表す${\displaystyle S}$半群において${\displaystyle A}$; つまり${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$それから${\displaystyle S'}$部分半群を形成し、${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$つまり、可換子はそれ自身の双可換子である。

出典：^{[ 6 ]}

• 中央集権化および正規化${\displaystyle S}$これらは両方ともGの部分群である。
• 明らかに、C _G ( S ) ⊆ N _G ( S )です。実際、C _G ( S ) は常にN _G ( S )の正規部分群であり、準同型N _G ( S ) → Bij( S )の核であり、群 N _G ( S )/C _G ( S )は共役によりS上の全単射群として作用します。例えば、トーラスTを持つコンパクトリー群Gのワイル群はW ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T )と定義され、特にトーラスが極大である場合 (つまりC _G ( T ) = T )は、リー群の理論における中心的なツールとなります。
• C _G (C _G ( S )) には${\displaystyle S}$しかし、C _G ( S ) は必ずしも${\displaystyle S}$封じ込めはまさに次のときに起こります${\displaystyle S}$アーベル群である。
• HがGの部分群である場合、_NG ( H )はHを含みます。
• HがGの部分群である場合、 Hが正規であるGの最大の部分群は部分群 N _G ( H ) です。
• もし${\displaystyle S}$S はGの部分集合であり、 Sのすべての要素が互いに可換である。このとき、中心が S を含むGの最大の部分群は、${\displaystyle S}$は部分群 C _G ( S ) です。
• 群Gの部分群Hは、Gの自己正規化部分群は、_NG (H ) = Hの場合である。
• Gの中心は正確に C _G (G) であり、G がアーベル群であるのは、 C _G (G) = Z( G ) = Gの場合のみです。
• 単一要素集合の場合、C _G ( a ) = N _G ( a )となります。
• 対称性により、${\displaystyle S}$とTはGの 2 つの部分集合であり、T ⊆ C _G ( S )はS ⊆ C _G ( T )の場合に限り成り立つ。
• 群Gの部分群Hに対して、N/C 定理によれば、因子群N _G ( H )/C _G ( H ) は、 Hの自己同型群 Aut( H )の部分群と同型である。N _G ( G ) = GおよびC _G ( G ) = Z( G )であることから、N/C 定理は、G /Z( G )が、 Gのすべての内部自己同型からなる Aut( G )の部分群Inn( G ) と同型であることも意味する。
• 群準同型T  : G → Inn( G )をT ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹と定義すると、N _G ( S ) と C _G ( S ) は Inn( G )のGへの群作用によって記述できます。${\displaystyle S}$Inn( G )はT (NG ₍ S ) ) であり、Inn( G ) の固定部分群は${\displaystyle S}$ポイントごとにT (C _G ( S ))となる。
• 群Gの部分群Hは、ある部分集合S ⊆ Gに対してH = C _G ( S )が成り立つ場合、C-閉または自己双可換であると言われる。その場合、実際にはH = C _G (C _G ( H )) となる。

出典：^{[ 4 ]}

• 環および体上の代数における中心化群は、それぞれ体上の部分環および部分代数である。リー環およびリー代数における中心化群は、それぞれリー部分環およびリー部分代数である。
• 正規化器${\displaystyle S}$嘘のリングには、${\displaystyle S}$。
• C_R(C_R(S)) contains ${\displaystyle S}$ but is not necessarily equal. The double centralizer theorem deals with situations where equality occurs.
• If ${\displaystyle S}$ is an additive subgroup of a Lie ring A, then N_A(S) is the largest Lie subring of A in which ${\displaystyle S}$ is a Lie ideal.
• If ${\displaystyle S}$ is a Lie subring of a Lie ring A, then S ⊆ N_A(S).