*-代数

数学、より具体的には抽象代数において、*-代数（または、星代数とも呼ばれる）は、 2 つの 反転環 R と A で構成される数学的構造であり、Rは可換であり、 AはR上の結合代数の構造を持つ。反転代数は、複素数と複素共役、複素数上の行列と共役転置、ヒルベルト空間上の線型演算子とエルミート随伴などの、共役を備えた数体系の考え方を一般化する。ただし、代数が反転を許さないこともある。^[a]

無料辞書の Wiktionary で* または星印を調べてください。

数学において、*-環は、反自己同型かつ反転である写像* : A → Aを持つ環です。

より正確には、*は以下の性質を満たす必要がある: ^[1]

• ( x + y )* = x * + y *
• ( x y )* = y *  x *
• 1* = 1
• ( x *)* = x

A内のすべてのx、  yについて。

これは、反転環、反転環、反転を伴う環とも呼ばれます。3 番目の公理は、2 番目と 4 番目の公理によって暗示されるため、冗長になります。

x * = xとなる元は自己随伴元と呼ばれる。^[2]

*-環の典型的な例としては、複素数体や複素共役を反転とする代数的数体が挙げられる。任意の *-環上にセスクイリニア形式を定義できる。

また、イデアルや部分環などの代数的オブジェクトの*-バージョンを、*-不変であるという要件付きで定義することもできます：x ∈ I ⇒ x * ∈ Iなど。

* リングは計算理論における 星型半リングとは無関係です。

* -環 ^[b]の反転*は可換*-環R上の結合代数であり、反転′を持ち、 ( r x )* = r ′ x * ∀ r ∈ R、x ∈ Aとなる。^[3] 

基本 * 環R は、多くの場合、複素数です ( ′は複素共役として機能します)。

公理から、A上の*はRにおいて共役線型であることがわかり、 これは

( λ x + μ  y )* = λ '  x * + μ '  y *

λ、  μ∈R、x、  y∈Aの場合。 ​​​

* -準同型 f  : A → Bは、 AとBの反転と互換性のある代数準同型である。つまり、

• Aのすべてのaに対してf ( a *) = f ( a )*である。 ^[2]

*-環上の *-演算は、複素数の複素共役に類似しています。 *-代数上の *-演算は、複素行列代数における随伴演算に類似しています。

* 反転は、平均線の上または近くを中心として、接尾辞付きの星印で記述される単項演算です。

x ↦ x *、または

x ↦ x ^∗ ( TeX :x^*)、

ただし、「x ∗」としては使用しないでください。詳細についてはアスタリスクの記事を参照してください。

• 任意の可換環は、自明な（同一の）反転を持つ *-環になります。
• 実数上の *-環と *-代数の最もよく知られた例は、* が単なる複素共役である複素数体Cです。
• より一般的には、平方根の付加によって作られた体拡張（虚数単位√ −1など）は、元の体上の *-代数であり、自明な *-環として考えられます。 * はその平方根の符号を反転します。
• 二次整数環（何らかのDに対して）は、同様の方法で定義された * を持つ可換 *-環です。二次体は、適切な二次整数環上の *-代数です。
• 四元数、分割複素数、双対数、およびおそらく他の超複素数系は、*-環（組み込みの共役演算を含む）と実数上の*-代数（ここで * は自明）を形成します。3 つのいずれも複素代数ではありません。
• フルヴィッツ四元数は、四元数共役を持つ非可換 * 環を形成します。
• R上のn  ×  n行列の行列代数。* は転置によって与えられます。
• C上のn  ×  n 行列の行列代数。* は共役転置によって与えられます。
• その一般化である、ヒルベルト空間上の有界線形作用素の代数におけるエルミート随伴は、*-代数も定義します。
• 可換な自明*環R上の多項式環 R [ x ]は、 P  *( x ) = P  (−x )を満たすR上の*-代数です。
• ( A , +, ×, *)が同時に *-環、環 R上の代数(可換)、および( r x )* = r  ( x *) ∀ r ∈ R、x ∈ Aである場合、AはR上の *-代数です(ただし、 * は自明です)。
  • 部分的なケースとして、任意の *-環は整数上の *-代数です。
• 任意の可換 *-環は、それ自身の *-代数であり、より一般的には、その任意の *-部分環上の *-代数です。
• 可換 *-環Rの場合、その任意の *-イデアルによる商はR上の *-代数です。
  • たとえば、任意の可換な自明*環は、その双対数環上の*環代数であり、非自明な*を持つ*環です。これは、 ε = 0による商が元の環を作るためです。
  • 可換環Kとその多項式環K [ x ]についても同様です。つまり、 x = 0による商はK を復元します。
• Hecke 代数では、 Kazhdan-Lusztig 多項式にとって畳み込みが重要です。
• 楕円曲線の自己準同型環は整数上の *-代数となり、その反転は双対同型 をとることによって与えられる。同様の構成は、分極 を持つアーベル多様体に対しても成り立ち、その場合にはロザティ反転と呼ばれる(アーベル多様体に関するミルンの講義ノートを参照)。

反転ホップ代数は、*-代数の重要な例です（互換性のある共乗法の追加構造を持つ）。最もよく知られている例は次のとおりです。

• 群ホップ代数:群環であり、その反転はg ↦ g ⁻¹で与えられる。

すべての代数が反転を許容するわけではない:

複素数上の 2×2行列を考えます。次の部分代数を考えてみます。$${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}}$$

任意の非自明な反自己同型は、任意の複素数に対して必ず次の形式をとります。 ^[4] $${\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

したがって、任意の非自明な反自己同型は反転不可能であることがわかる。 $${\displaystyle \varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

部分代数は反転を許さないと結論付けます。

転置の多くの性質は一般の*-代数にも当てはまります。

• エルミート要素はジョルダン代数を形成します。
• 歪んだエルミート要素はリー代数を形成します。
• 2が*環で逆行列を持つ場合、演算子⁠1/2⁠ (1 + *)および⁠1/2⁠ (1 − *)は直交べき等元であり、 ^[2]対称化および反対称化と呼ばれるため、代数は( * 環が体の場合はベクトル空間)の直和として分解されます。これらの空間は一般に結合代数を形成しません。べき等元は代数の要素ではなく演算子だからです。

*-環が与えられた場合、写像−* : x ↦ − x *も存在します。これは、 1 ↦ −1として*-環構造を定義しません (特性が 2 の場合、 −* は元の * と同一です)。また、逆乗法でもありません。しかし、他の公理 (線形、反転) を満たしており、したがってx ↦ x *である *-代数と非常によく似ています。

この写像によって固定される元（つまり、a = − a *となる元）は歪エルミート写像と呼ばれます。

複素共役を持つ複素数の場合、実数はエルミート元であり、虚数は歪エルミート元です。

• 反転を伴う半群
• B*-代数
• C*代数
• ダガー部門
• フォン・ノイマン代数
• ベアリング
• 演算子代数
• 共役（代数）
• ケイリー・ディクソン構成
• 合成代数