緩和された表現

数学において、線形半単純リー群の緩和表現は、行列係数がL ^p空間にある基底を持つ表現である。

L ^2+ε ( G )

任意の ε > 0 に対して。

この条件は、先ほど述べたように、行列の係数が二乗積分可能である、つまり、

L ² ( G )、

これは離散級数表現の定義になります。Gが最大コンパクト部分群Kを持つ線型半単純リー群である場合、Gの許容表現ρ は 、上記の条件がρ のK有限行列係数に当てはまる場合に緩和されます。

上記の定義は、 p進リー群や半単純実代数群の有限中心拡大などのより一般的な群にも使用されます。「緩和表現」の定義は、任意のユニモジュラ局所コンパクト群では意味をなしますが、半単純リー群の無限中心拡大などの無限中心を持つ群では適切に動作しないため、通常はわずかに異なる定義に置き換えられます。より正確には、既約表現は、中心Zに制限されたときにユニタリであり、行列係数の絶対値がL ^2+ε ( G / Z ) にある場合、緩和されていると呼ばれます。

半単純リー群上の緩和表現は、ハリシュ＝チャンドラ（異なるが同等の定義を使用）によって初めて定義され研究され、それらがプランシュレルの定理に必要な表現とまったく同じであることを示した。緩和表現はナップとズッカーマンによって分類され、ラングランズによって、より小さな群の緩和表現に関する 簡約リー群Gの既約表現のラングランズ分類に使用された。

既約緩和表現は、半単純リー群の調和解析に関する研究において、プランシュレル測度に寄与する表現としてハリシュ＝チャンドラによって特定された。緩和表現の元々の定義は、特定の技術的利点を有し、そのハリシュ＝チャンドラ特性は「緩和分布」でなければならないというものである（これについては以下のセクションを参照）。ハリシュ＝チャンドラの結果から、緩和表現は上記のより基本的な定義と同等であることが分かる。緩和表現は、保型形式の理論でも基本的な役割を果たしているように思われる。この関係は、おそらく佐竹（ラマヌジャン＝ペーターソン予想の文脈で）とロバート・ラングランズによって最初に認識され、ラングランズが実数群およびp進簡約代数群の既約許容表現の分類体系を、より小さな群の緩和表現の観点から発展させる動機となった。保型スペクトルにおける緩和表現の位置を特定する正確な予想は、後にジェームズ・アーサーによって定式化され、現代の保型形式理論の中で最も活発に発展している部分の 1 つを構成しています。

緩和表現は、半単純リー群上の調和解析において重要な役割を果たします。半単純リー群Gの既約 ユニタリ表現は、 Gのプランシュレル測度の支えになっている場合にのみ緩和されます。言い換えれば、緩和表現は、まさに、群上の L ²関数のスペクトル分解に現れるGの表現のクラスです (一方、離散級数表現は、個々の表現が正のスペクトル測度を持つというより強い特性を持っています)。これは、スペクトル分解を完全に説明するには異なるクラスの表現が必要となるアーベル群やより一般的な可解リー群の状況とは対照的です。これは、実数の加法群Rの最も単純な例で既に見られ、この群では、既約表現の行列要素は無限大で 0 に落ちません。

ラングランズ プログラムでは、実リー群の緩和表現は、ラングランズ関数によるトーラスのユニタリ キャラクタから得られる表現です。

• 半単純リー群のプランシュレル定理は、離散級数ではない表現を伴います。これは、群SL ₂ ( R )の場合にすでに明らかになっています。 SL ₂ ( R )の主な級数表現は緩和されており、群の双曲要素でサポートされる関数のスペクトル分解を説明します。ただし、それらは SL ₂ ( R )の通常の表現では離散的に発生しません。
• SL ₂ ( R ) の離散級数表現の2 つの極限は緩和されているが離散級数ではない (既約ユニタリ表現のリストに「離散的に」出現するにもかかわらず)。
• 非半単純リー群の場合、実数の加法群Rとフーリエ積分の例で示されているように、L ^{2+εの行列係数を持つ表現は}プランシュレルの定理に必ずしも十分ではありません。実際、Rのすべての既約ユニタリ表現はプランシュレル測度に寄与しますが、それらのどれも L 2+ε の行列係数を持っていませ^ん。
• _{SL 2} ( R )の補級数表現は、調整されていない既約ユニタリ表現です。
• 群Gの自明な表現は、 Gがコンパクトでない限り調整されない既約なユニタリ表現です。

半単純リー群の既約緩和表現は、KnappとZuckerman  (1976, 1982) によって分類されました。実際、彼らは基本表現と呼ばれるより一般的な表現のクラスを分類しました。P = MANが尖端放物型部分群のラングランズ分解である場合、基本表現は、Mの離散級数表現の極限とアーベル群Aのユニタリ表現に関連付けられた放物的に誘導された表現として定義されます。離散級数表現の極限が実際に離散級数表現である場合、基本表現は誘導された離散級数表現と呼ばれます。任意の既約緩和表現は基本表現であり、逆に任意の基本表現は有限個の既約緩和表現の合計です。より正確には、それは、位数2 ^rの基本アーベル群R ( R 群と呼ばれる) の指標でインデックス付けされた 2 ^r個の既約緩和表現の直和です。あらゆる基本表現、そしてその結果としてあらゆる既約緩和表現は、誘導離散級数表現の加数です。しかし、既約緩和表現を誘導離散級数表現として表現することが常に可能であるとは限らないため、より一般的な基本表現のクラスを検討します。

したがって、既約な緩和表現は既約な基本表現にすぎず、すべての基本表現をリストし、既約なもの、つまり自明な R グループを持つものを選択することによって分類できます。

最大コンパクト部分群Kを持つ半単純リー群G を固定する。Harish-Chandra (1966、第 9 節) は、 G上の超関数がGのシュワルツ空間上で定義されている場合、その超関数は緩和されていると定義した。シュワルツ空間は、 G上の滑らかな関数fの空間として定義され、任意の実数rと、Gのリー代数の普遍包絡代数の要素を左また​​は右に作用させてfから得られる任意の関数gに対して、関数

${\displaystyle (1+\sigma )^{r}g/\Xi }$

は有界です。ここで、 Ξ はG上の特定の球面関数で、 Kによる左右の乗算に対して不変であり、 σ はpの対数のノルムです。ただし、 Gの元g は、 kがKに、p がPに 属す場合、 g = kpと表されます。

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