フーリエ・ブロス・イアゴルニッツァー変換

数学において、FBI変換、またはフーリエ・ブロス・イアゴルニッツァー変換は、フランスの数理物理学者ジャック・ブロスとダニエル・イアゴルニッツァーによって開発されたフーリエ変換の一般化であり、R ⁿ上の関数（または分布）の局所解析性を特徴付けるために用いられます。この変換は、日本の数学者佐藤幹雄、柏原正樹、河合貴弘がマイクロローカル解析の手法において独自に開発した、分布の解析的波面集合に対する別のアプローチを提供します。また、解析的楕円型偏微分方程式の解の解析性を証明するためにも使用でき、スウェーデンの数学者エリック・アルバート・ホルムグレン（1872-1943）によるコーシー・コワレフスキーの定理を強化する古典的な一意性定理のバージョンとしても使用できます。

S ( R ⁿ )におけるシュワルツ関数fのフーリエ変換は次のように定義される。

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(t)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

fのFBI変換は、 a ≥ 0に対して次のように定義される。

${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{a}f)(t,y)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-a|xy|^{2}/2}e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

したがって、a = 0 の場合、それは実質的にフーリエ変換と一致する。

同じ式を使用して、S' ( R ⁿ )における緩増加分布のフーリエ変換と FBI 変換を定義することができます。

フーリエ逆変換公式

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}^{2}f(-x)}$

関数fをそのフーリエ変換から復元することを可能にする。

特に

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}{\mathcal {F}}(f)(t)\,dt}$

同様に、 aが正の値の場合、f (0) は、逆変換式によってf ( x )の FBI 変換から復元できます。

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}e^{a|xy|^{2}/2}{\mathcal {F}}_{a}(f)(t,y)\,dt}$

BrosとIagolnitzerは、分布fがyにおいて方向ξで実解析関数に局所的に等しいの は、そのFBI変換が次の形式の不等式を満たす場合に限ることを示した。

${\displaystyle |({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},}$

|ξ|が十分に大きい場合 。

BrosとIagolnitzerによる局所解析性の特徴付けの単純な帰結として、Lars HörmanderとMikio Satoによる次の正則性結果がある。^{[ 1 ]}

定理。PをR ⁿの開集合X上で定義された解析係数を持つ楕円型偏微分作用素とする。PfがXで解析的であれば、fも解析的である。

この定理で「解析的」を「滑らか」に置き換えると、結果はヘルマン・ワイルの楕円正則性に関する古典的な補題となり、通常はソボレフ空間を用いて証明されます。^{[ 2 ]}これは、解析的波面集合（下記参照）を含むより一般的な結果の特殊なケースであり、実解析係数を持つ線形偏微分方程式に関するコーシー・コワレフスキーの定理のホルムグレンによる古典的な強化を意味します。現代の言葉で言えば、ホルムグレンの一意性定理は、コーシー・コワレフスキーの定理により、そのような方程式系の任意の分布解は解析的で、したがって一意でなければならないと述べています。

分布f (またはより一般的には超関数)の解析的波面集合または特異スペクトル WF A ( f ) は、FBI変換[ 3 _]を用いて、円錐点集合 ( x , λ ξ) (λ > 0) の補集合として定義でき^{、 FBI変換}はBros –Iagolnitzer 不等式を満たす。

${\displaystyle |({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},}$

yは解析性をテストしたい点であり 、| ξ | は十分に大きく、波面を探したい方向、つまり、yにおける特異点が存在する場合、その波面が伝播する方向を指している。JM Bony ^{[ 1 ] [ 3 ]}は、この定義が、佐藤、柏原、河合、および Hörmander によって独立に導入された他の定義と一致することを証明した。Pが解析係数を持つm階線形微分作用素である場合、

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

主要シンボル付き

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha },}$

特徴的な多様性

${\displaystyle {\rm {char}}\,P=\{(x,\xi ):\xi \neq 0,\,\sigma _{P}(x,\xi )=0\},}$

それから

• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(Pf)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(f)}$
• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(f)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(Pf)\cup \operatorname {char} P.}$

特に、Pが楕円型の場合、char P = øとなるので、

WF _A ( Pf ) = WF _A ( f ) 。

これは、上述の楕円型正則性の解析的バージョンをさらに強化したものである。

• フォランド、ジェラルド・B. (1989)、「位相空間における調和解析」、Annals of Mathematics Studies、第 122巻、プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-08528-5
• ガーディング、ラース（1998）、『数学と数学者：1950年以前のスウェーデンの数学』、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0612-2
• Iagolnitzer, Daniel (1975),分布のマイクロローカル本質的サポートと局所分解 ― 入門。ハイパー関数と理論物理学、数学講義ノート、第449巻、Springer-Verlag、 121–132 頁。 
• クランツ、スティーブン；パークス、ハロルド R. (1992)、実解析関数入門、ビルクハウザー、ISBN 0-8176-4264-1。第 2 版、Birkhäuser (2002)、 ISBN 0-8176-4264-1。
• トレヴ、フランソワ（1992）、『準解析構造：局所理論』、プリンストン数学シリーズ、第 40巻、プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-08744-X（第9章、準解析多様体におけるFBI変換）