二項オプション価格モデル

金融において、二項オプション価格モデル( BOPM )は、オプションを評価するための一般化可能な数値的手法を提供します。基本的に、このモデルは、基礎となる金融商品の時間経過に伴う価格変動の「離散時間」(格子ベース) モデルを使用し、閉じた形式のブラック・ショールズ式が不十分なケースに対処します。

二項モデルは、ウィリアム・シャープが1978年版のInvestments（ISBN  013504605X）で初めて提案し、^[1] 1979年にコックス、ロス、ルビンスタインによって形式化され、 ^[2]同年にレンドルマンとバーターによって形式化されました。^[3]

固定収入および金利デリバティブに適用される二項ツリーについては、格子モデル (金融) § 金利デリバティブを参照してください。

二項オプション価格設定モデル アプローチは、他のモデルでは簡単には適用できないさまざまな条件に対応できるため、広く使用されています。これは主に、BOPM が単一ポイントではなく一定期間にわたる原資産の説明に基づいているためです。その結果、BOPM は、特定の期間のいつでも行使可能なアメリカン オプションや、特定の時点で行使可能なバミューダ オプションを評価するために使用されます。このモデルは比較的単純なため、コンピューターソフトウェア(スプレッドシートを含む) で簡単に実装できます。

ブラック・ショールズ式よりも計算速度は遅いが、特に配当支払いのある長期証券オプションの場合、より正確である。これらの理由から、二項モデルのさまざまなバージョンがオプション市場の専門家によって広く使用されている。^[要出典]

不確実性の要因が複数あるオプション（リアルオプションなど）や、複雑な機能を持つオプション（アジアンオプションなど）の場合、二項式法はいくつかの困難さから実用的ではなく、代わりにモンテカルロ・オプション・モデルが一般的に使用されます。少数のタイムステップをシミュレートする場合、モンテカルロ・シミュレーションはBOPM よりも計算時間がかかります（金融におけるモンテカルロ法を参照）。ただし、BOPM の最悪の実行時間はO(2 ⁿ )になります（n はシミュレーションのタイムステップ数）。モンテカルロ・シミュレーションは通常、多項式時間計算量であり、シミュレーションステップ数が多いほど高速になります。また、モンテカルロ・シミュレーションは、二項式手法が離散時間単位を使用するため、サンプリング誤差の影響を受けにくくなります。これは、離散単位が小さくなるほど、より真実になります。

二項式価格モデルは、オプションの主要な基礎変数の推移を離散時間で追跡します。これは、評価日から満了日までのいくつかの時間ステップについて、二項式格子 (ツリー) によって行われます。格子内の各ノードは、特定の時点での基礎の可能な価格を表します。

評価は、各最終ノード（満了時に到達する可能性のあるノード）から開始し、ツリーを逆方向に最初のノード（評価日）に向かって繰り返し実行されます。各段階で計算された値は、その時点でのオプションの値です。

この方法を使用したオプション評価は、説明したように、3 つのステップから成るプロセスです。

1. 価格ツリー生成、
2. 各最終ノードにおけるオプション値の計算、
3. 各先行ノードでのオプション値の順次計算。

価格ツリーは、評価日から満期日まで順を追って作成されます。

各ステップでは、原資産がツリーの各ステップごとに特定の係数 (または)だけ上昇または下降すると想定されます(定義により、および)。したがって、 が現在の価格である場合、次の期間の価格は または になります。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle d}$${\displaystyle u\geq 1}$${\displaystyle 0<d\leq 1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$${\displaystyle S_{down}=S\cdot d}$

上昇要因と下降要因は、基礎となるボラティリティ、およびステップの期間、（基礎となる商品の日数計算規則を使用して年数で測定）を使用して計算されます。価格の対数の分散が であるという条件から、次の式が得られます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \sigma^{2}t}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta }}t}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta }}t}={\frac {1}{u}}.}$

上記はオリジナルのCox、Ross、Rubinstein（CRR）法です。格子を生成するための他のさまざまな手法、例えば「等確率」ツリーなどがあります。^{[4] [5]}

CRR 方式では、ツリーが組み換え可能であることが保証されます。つまり、原資産が上昇してから下降 (u,d) した場合、価格は下降してから上昇 (d,u) した場合と同じになります。ここでは、2 つのパスが結合または組み換えられます。この特性により、ツリー ノードの数が削減され、オプション価格の計算が高速化されます。

このプロパティにより、各ノードの基礎となる資産の値を数式で直接計算することも可能になり、最初にツリーを構築する必要がなくなります。ノード値は次のようになります。

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}$

ここで、は上昇ティックの数であり、は下降ティックの数です。 ${\displaystyle N_{u}}$${\displaystyle N_{d}}$

ツリーの各最終ノード、つまりオプションの満了時点では、オプションの価値は単純にその固有の価値、つまり行使価値になります。

コールオプションの場合、 Max [ ( S _n − K ), 0 ]

プットオプションの場合、Max [ ( K − S _n ), 0 ] 、

ここで、Kは権利行使価格、はn^番目の期間における原資産のスポット価格です。 ${\displaystyle S_{n}}$

上記の手順が完了すると、最後から 2 番目の時間ステップから始めて、ツリーの最初のノード (評価日) まで戻って各ノードのオプション値が求められ、計算結果がオプションの値になります。

概要:リスク中立性の仮定を使用して、各ノードで「二項値」が見つかります。リスク中立評価を参照してください。ノードで行使が許可されている場合、モデルはノードでの二項値と行使値のうち大きい方を採用します。

手順は次のとおりです。

計算された次のタイム ステップ (つまり、評価に 1 ステップ近づく) での値を計算する場合、モデルは、ノードの数式で、必要に応じて「オプション アップ」/「オプション ダウン」にここで選択した値を使用する必要があります。このアルゴリズムは、アメリカン プット オプションの価格を計算するアプローチを示していますが、コール オプションやヨーロピアン オプション、バミューダ オプションにも簡単に一般化できます。

二項モデルとブラック・ショールズ・モデルはどちらも同様の仮定に基づいており、二項モデルはブラック・ショールズ・モデルの根底にある連続過程の離散時間近似を提供する。二項モデルは、価格の動きが二項分布に従うと仮定する。多くの試行において、この二項分布はブラック・ショールズが仮定する対数正規分布に近づく。この場合、配当なしのヨーロピアン・オプションでは、二項モデルの値は時間ステップ数が増えるにつれてブラック・ショールズ式の値に収束する。^{[4] [5]}

さらに、数値計算法として解析すると、CRR二項法はブラック・ショールズ偏微分方程式の明示的差分法の特殊なケースとして見ることができる。オプション価格設定のための差分法を参照のこと。^[6]

• 三項式ツリー、ノードごとに 3 つのパスが可能な同様のモデル。
• ツリー（データ構造）
• 格子モデル（金融）、より一般的な議論と他の基礎資産への応用
• ブラック・ショールズ: 二項格子は、ブラック・ショールズを適用できないさまざまな条件を処理できます。
• モンテカルロ オプション モデル。他の方法では評価が難しい複雑な機能を持つオプションの評価に使用されます。
• BOPM が広く使用されているリアル オプション分析。
• 量子ファイナンス、量子二項価格設定モデル。
• 数理ファイナンスには関連記事の一覧があります。
• 従業員ストックオプション § 評価では、BOPM が広く使用されています。
• 暗示二項木
• エッジワース二項木

• オプション価格設定のための二項モデル、セイヤー・ワトキンス教授
• 二項オプション価格設定（PDF）、ロバート・M・コンロイ教授
• フィオナ・マクラクランによる二項オプション価格設定モデル、Wolframデモンストレーションプロジェクト
• 二項モデルにおけるオプションの価格設定における期待株価収益率の無関係性について: ヴァレリ・ザカモウリンによる教育的ノート
• 二項オプション価格モデルにおけるリスク中立確率の簡単な導出 (Greg Orosi 著)