ヘヴィサイドステップ関数

ヘビサイドステップ
ヘヴィサイドのステップ関数（半最大値法を使用）
一般情報
一般的な定義	$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$[疑わしい–議論する]
応用分野	演算計算

ヘヴィサイドのステップ関数、または単位ステップ関数は、通常Hまたはθ (場合によってはu、1、または𝟙 ) で表され、オリバー・ヘヴィサイドにちなんで名付けられたステップ関数で、その値は負の引数に対して0、正の引数に対して1です。値H (0)に関してはさまざまな規則が使用されています。これは、ステップ関数の一般的なクラスの例であり、すべてのステップ関数は、この関数の変換の 線形結合として表すことができます。

この関数はもともと、微分方程式を解く演算法で開発されたもので、指定された時間にオンになり、無期限にオンのままになる信号を表します。ヘヴィサイドは、電信通信の分析ツールとして演算法を開発し、この関数を1として表しました。

H (0) = 1という規則を採用すると、ヘヴィサイド関数は次のように定義されます。

• 区分関数:$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• アイバーソン括弧表記法を使用する:$${\displaystyle H(x):=[x\geq 0]}$$
• 指標関数:$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)}$$

代替の規則として、H (0) = ⁠1/2⁠、次のように表現することもできます。

• 符号関数の線形変換、$${\displaystyle H(x):={\frac {1}{2}}\left({\mbox{sgn}}\,x+1\right)}$$
• 2つのアイバーソン括弧の算術平均、$${\displaystyle H(x):={\frac {[x\geq 0]+[x>0]}{2}}}$$
• 2つの引数を持つ逆正接の片側極限 $${\displaystyle H(x)=:\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {{\mbox{atan2}}(\epsilon ,-x)}{\pi }}}$$
• 超関数 またはそれと同等の関数。ここで、log zはzの複素対数の主値である。$${\displaystyle H(x)=:\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right)}$$$${\displaystyle H(x)=:\left(-{\frac {\log -z}{2\pi i}},-{\frac {\log -z}{2\pi i}}\right)}$$

H (0)で定義されていない他の定義には以下が含まれます。

• ランプ関数の微分:$${\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0}$$
• 絶対値関数の観点からは

$${\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}}$$

ディラックのデルタ関数は、ヘヴィサイド関数の 弱導関数です。 したがって、ヘヴィサイド関数はディラックのデルタ関数の積分であると考えることができます。これは、 δ を含む積分に意味を与えるために使用する形式主義に応じて、x = 0 に対してこの展開が成立しない（または意味をなさない）場合があります 。この文脈では、ヘヴィサイド関数は、ほぼ確実に0であるランダム変数の累積分布関数です。 （定数ランダム変数を参照してください。） $${\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x).}$$$${\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds}$$

ヘヴィサイドのステップ関数の近似は生化学や神経科学で役立ち、ステップ関数のロジスティック近似（ヒル方程式やミカエリス・メンテン方程式など）は化学信号に反応するバイナリ細胞スイッチを近似するために使用されることがあります。

ステップ関数の滑らかな近似には、ロジスティック関数を使用することができる。 $${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$$

ここで、 kが大きいほどx = 0での遷移が急峻になります。H ( 0 ) = ⁠1/2⁠、次の極限において等式が成立します。 $${\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$$

ステップ関数には他にも多くの滑らかな解析的近似法があります。 ^[1]可能性のあるものには次のようなものがあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$$

これらの極限は、点ごとに成立し、超関数の意味で成立します。ただし、一般に、点ごとの収束は必ずしも超関数の収束を意味するわけではなく、その逆も同様に超関数の収束は必ずしも点ごとの収束を意味するわけではありません。(ただし、点ごとに収束する関数列のすべての要素が、ある「適切な」関数によって一様に制限される場合、超関数の意味で収束が成立します。)

一般に、ゼロ付近でピークに達し、分散を制御するパラメータを持つ連続確率分布の累積分布関数は、分散がゼロに近づく限界において近似値として機能します。たとえば、上記の 3 つの近似値はすべて、一般的な確率分布 (それぞれロジスティック分布、コーシー分布、正規分布) の累積分布関数です。

ヘヴィサイドステップ関数の近似は、次のような滑らかな遷移関数によって行うことができます。 ${\displaystyle 1\leq m\to \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\tanh \left(m{\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)\right)},&|x|<1\\\\1,&x\geq 1\\0,&x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$

多くの場合、ヘヴィサイドのステップ関数の 積分表現が役立ちます。$${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}}$$

ここで、ステップ関数が実数であり、したがってそれ自身が複素共役であることを考えると、2 番目の表現は最初の表現から簡単に推測できます。

Hは通常積分に使用され、関数の単一点における値はその積分には影響しないため、 H (0) のどの特定の値を選択するかはめったに問題になりません。実際、HがL ^∞の超関数または要素( L ^p空間を参照)と見なされる場合、そのようなオブジェクトはほとんどどこでも定義されているため、ゼロでの値について話すことさえ意味がありません。 何らかの解析的近似を使用する場合 (上記の例のように)、多くの場合、ゼロでの関連する極限が使用されます。

特定の値を選択する理由はさまざまです。

• H (0) = ⁠1/2⁠ は、グラフが回転対称性を持つためよく使用されます。言い換えると、 H − ⁠1/2⁠は奇関数です。この場合、符号関数との次の関係がすべてのxに対して成り立ちます。$${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).}$$

また、すべてのxに対してH(x) + H(-x) = 1です。

• H (0) = 1 は、H が右連続である必要があるときに使用されます。たとえば、累積分布関数は通常、右連続であるとみなされ、ルベーグ–スティルチェス積分で に対して積分される関数も同様です。この場合、 H は閉じた半無限区間の指示関数です。対応する確率分布は退化した分布です。$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).}$$
• H (0) = 0 は、H が左連続である必要がある場合に使用されます。この場合、 H は開いた半無限区間の指示関数です$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).}$$
• 最適化やゲーム理論の機能解析のコンテキストでは、極限関数の連続性を維持し、特定の解の存在を保証するために、ヘヴィサイド関数を集合値関数として定義することが役立つことがよくあります。これらの場合、ヘヴィサイド関数は可能な解の全体区間H (0) = [0,1]を返します。

単位ステップの別の形式は、関数として定義され（つまり、離散変数nを取り込む）、次のようになります。 ${\displaystyle H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}$$

または、半分の最大値の慣例を使用する：^[2]

$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}$$

ここでnは整数です。nが整数の場合、n < 0 はn ≤ −1を意味し、n > 0 は関数がn = 1で 1 になることを意味します。したがって、「ステップ関数」は[−1, 1]の領域でランプのような動作を示し、半最大値規則を使用すると、真にステップ関数であることはできません。

連続の場合とは異なり、 H [0]の定義は重要です。

離散時間単位インパルスは離散時間ステップの最初の差分である。

$${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$$

この関数はクロネッカーのデルタの累積和です。

$${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]}$$

どこ

$${\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}}$$

は離散単位インパルス関数です。

ランプ関数はヘヴィサイドステップ関数の 不定積分です。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.}$$

ヘヴィサイドステップ関数の分布微分はディラックのデルタ関数である。 $${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}$$

ヘヴィサイドステップ関数のフーリエ変換は分布である。フーリエ変換の定義に定数を1つ選択すると、 $${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).}$$

ここpv ⁠1/s⁠ は、検定関数φをのCauchy 主値とする分布です。積分中に現れる極限は、（緩和）分布の意味でもとられます。 ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds}$

ヘヴィサイド階段関数のラプラス変換は有理型関数です。片側ラプラス変換を使用すると次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$$

双対変換を使用すると、積分を 2 つの部分に分割することができ、結果は同じになります。

ウィキメディア・コモンズには、ヘヴィサイド関数に関連するメディアがあります。

• 数学関数のデジタルライブラリ、NIST、[1]。
• Berg, Ernst Julius (1936)。「単位関数」。工学と物理学に応用されたヘヴィサイドの演算微積分。McGraw -Hill Education。5ページ。
• Calvert, James B. (2002) 「ヘヴィサイド、ラプラス、および反転積分」デンバー大学。
• Davies, Brian (2002)。「ヘヴィサイドステップ関数」。積分変換とその応用(第 3 版)。Springer。p. 28。
• ダフ、ジョージ FD ; ネイラー、D. (1966)。「ヘヴィサイド単位関数」。応用数学の微分方程式。ジョン ワイリー アンド サンズ。p. 42。