十二角形

正十二角形
正十二角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	12
シュレーフリ記号	{12}、t{6}、tt{3}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 12）、位数2×12
内角（度）	150°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、十二角形（じゅうでんかく、英: dodecagon ）または12 角形（12-gon ）は、12 辺を持つ多角形です。

正十二角形は、辺の長さが同じで、内角の大きさも同じ図形です。12 本の反射対称線と 12 次回転対称線があります。正十二角形はシュレーフリ記号{12} で表され、切頂 六角形t{6} または 2 度切頂三角形tt{3}として作図できます。正十二角形の各頂点の内角は 150° です。

辺の長さがaの正十二角形の面積は次のように求められます。

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}$

また、円周線 rに関して（内接図も参照）、面積は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}$

円周半径 Rに関して、面積は次のように表される: ^[1]

${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}$

十二角形のスパンSは 2 つの平行な辺の間の距離であり、円周の 2 倍に等しくなります。面積の簡単な公式は (辺の長さとスパンが与えられた場合) 次のとおりです。

${\displaystyle A=3aS}$

これは三角関数の関係で確認できます。

${\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}$

正十二角形の周囲の長さは、円周半径で表すと次のようになります。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}$

周長は、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}}$

この係数は面積の近似方程式の係数の2倍である。^[3]

12 = 2 ² × 3 なので、コンパスと定規を使って正十二角形を作ることができます。

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。^[4] 特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形になります。正十二角形の場合、m =6 であり、3 つの正方形、6 つの広い 30° 菱形、6 つの狭い 15° 菱形、合わせて 15 に分割できます。この分解は、 240 面のうち 15 面を持つ6 次元立方体のペトリ多角形投影に基づいています。シーケンス OEIS シーケンス A006245 は、最大 12 倍の回転と反射のキラル形式を含め、解の数を 908 と定義しています。

数学的操作 パターンブロックが使用される方法の1つは、さまざまな十二角形を作成することです。^[5]これらは菱形の分割に関連しており、3つの60°菱形が六角形、半六角形台形に結合されたり、2つの正三角形に分割されたりします。

正十二角形は、Dih ₁₂対称性、次数 24 を持ちます。15 の異なるサブグループ二面体対称性と巡回対称性があります。各サブグループ対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g12 サブグループのみ自由度がありませんが、有向エッジとして見ることができます。

正十二角形は、平面の頂点を他の正多角形で埋める方法が 4 つあります。

以下に、頂点の構成によって定義される正十二角形を使用した周期的な平面タイリングの例を 3 つ示します。

斜め十二角形は、 12 個の頂点と辺を持ちますが、同じ平面上に存在しない斜めの多角形です。このような十二角形の内部は一般に定義されていません。斜めジグザグ十二角形は、2 つの平行な平面間で頂点が交互に配置されます。

正斜十二角形は頂点推移的で辺の長さが等しい。3次元ではジグザグ斜十二角形となり、同じ D _5d、[2 ^{+ ,10] 対称性、次数 20 の}六角形反角柱の頂点と側辺に見られる。十二角形反角柱 s{2,24/5} と十二角形交差反角柱 s{2,24/7} も正斜十二角形である。

正十二角形は、コクセター平面への直交投影として見られる、多くの高次元多面体のペトリー多角形です。4 次元の例には、24 セル、スナブ 24 セル、6-6 デュオプリズム、6-6 デュオピラミッドがあります。6 次元では、6 キューブ、6 オルソプレックス、2 ₂₁、1 ₂₂です。また、大 120 セルと大星型 120 セルのペトリー多角形でもあります。

十二角形は12 辺の星型多角形で、記号 {12/n} で表されます。正多角形には {12/5} が 1 つあり、これは同じ頂点を使用しますが、5 点ごとに接続されます。また、複合多角形も 3 つあります。{12/2} は 2{6} に簡約されて 2 つの六角形になり、{12/3} は 3{4} に簡約されて 3 つの正方形になり、{12/4} は 4{3} に簡約されて 4 つの三角形になり、{12/6} は 6{2} に簡約されて 6 つの退化した二角形になります。

正十二角形と十二四角形をさらに深く切り取ると、等間隔の頂点と2辺の長さを持つ等角（頂点推移的）な中間星型多角形ができます。切り取られた六角形は十二角形で、t{6}={12}です。半切り取られた六角形は{6/5}と反転され、十二四角形で、t{6/5}={12/5}です。^[7]

ブロック体では、文字E、H、X (およびスラブセリフフォントのI ) の輪郭は 12 角形です。十字は 12 角形であり、シボレー自動車部門 のロゴも同様です。

正十二角形は、多くの建物で顕著に見られます。黄金の塔は、スペイン南部のセビリアにある十二角形の軍事監視塔で、アルモハド朝によって建てられました。スペインのセゴビアにある 13 世紀初頭のベラ クルス教会も十二角形です。別の例としては、イタリアのスペッロにあるポルタ ディ ヴェネレ (ヴィーナスの門) があります。紀元前 1 世紀に建てられたもので、「プロペルティウスの塔」と呼ばれる 2 つの十二角形の塔があります。

通常の十二角形コインには以下のものがあります。

• 1937 年から 1971 年までイギリスで使用されていた 3 ペンス硬貨。その後法定通貨ではなくなりました。
• 2017 年に導入されたイギリスの 1 ポンド硬貨。
• オーストラリアの50セント硬貨
• フィジー 50セント
• トンガ50セニティ、1974年以来
• ソロモン諸島 50セント
• クロアチア 25 クーナ
• ルーマニア 5000 レイ、2001 ～ 2005
• カナダ ペニー、1982–1996
• 南ベトナム人 20 ドン、1968 ～ 1975 年
• ザンビア 50 ングウィー、1969 ～ 1992 年
• マラウイ 50 タンバラ、1986 ～ 1995
• メキシコ 20 センタボ、1992-2009

• 十二角数
• 十二面体– 12 個の面を持つ多面体。
• 十二芒星

• Weisstein、Eric W.「十二角形」。MathWorld。
• キュルシャックのタイルと定理
• 十二角形の定義と特性 インタラクティブアニメーション付き
• 教室の正十二角形、パターンブロックを使用