六角形のタイル

幾何学において、六角形タイル張りまたは六角形モザイク張りは、ユークリッド平面の規則的なタイル張りであり、各頂点でちょうど 3 つの六角形が交わる。これは、シュレーフリ記号 ${6,3}$ または $t$ ${3,6} ($ 切頂三角形タイル張りとして)で表される。

イギリスの数学者ジョン・コンウェイはこれをヘクスティルと呼んだ。

六角形の内角は120 度なので、3 つの六角形を 1 点に配置すると 360 度になります。これは、平面の 3 つの規則的なタイリングのうちの 1 つです。他の 2 つは、三角形のタイリングと正方形のタイリングです。

アプリケーション

六角形のタイリングは、2 次元で円を配置する最も密な方法です。ハニカム予想では、六角形のタイリングは、表面を最小の総周囲長で等面積の領域に分割する最良の方法であるとされています。ハニカム (またはシャボン玉) を作成するための最適な 3 次元構造は、ケルビン卿によって研究され、ケルビン構造(または体心立方格子) が最適であると信じられました。ただし、あまり規則的ではないウィア・フェラン構造の方がわずかに優れています。

この構造は、グラファイトの形で自然に存在し、グラフェンの各シートは金網に似ており、強力な炭素共有結合を持っています。管状のグラフェンシートは合成されており、カーボンナノチューブとして知られています。その高い引張強度と電気特性により、多くの用途が考えられます。シリセンも同様です。

チキンワイヤーは、六角形の格子（多くの場合、規則的ではありません）のワイヤーで構成されています。

最も密な円の詰め込みは、このタイル張りの六角形のように配置されている。
金網フェンス
グラフェン
カーボンナノチューブは円筒形の表面に敷き詰められた六角形のタイルとして見ることができる。
六角形のペルシャタイル 1955年頃

六方タイルは多くの結晶に見られます。3 次元では、面心立方と六方最密充填が一般的な結晶構造です。これらは 3 次元で最も密な球充填です。構造的には、グラファイトの構造に似た、六方タイルの平行層で構成されています。層が互い違いになっている点が異なり、面心立方の方が 2 つの中ではより規則的です。純銅は、他の材料の中でも特に、面心立方格子を形成します。

均一なカラーリング

六角形のタイルには3 つの異なる均一な色付けがあり、すべてWythoff 構成の反射対称性から生成されます。( h , k ) は、1 つの色付きタイルの周期的な繰り返しを表し、六角形の距離をhとして数え、次にkとして数えます。同じ数え方がGoldberg 多面体でも使用され、表記は { p +,3} _{h , k}で、 p > 6の双曲タイルにも適用できます。

3 色のタイリングは、オーダー 3 のパーミュトヘドロンによって生成されるテッセレーションです。

面取り六角形タイル

面取りされた六角形のタイルは、辺を新しい六角形に置き換えて、別の六角形のタイルに変形します。極限では、元の面は消え、新しい六角形は菱形に退化し、菱形のタイルになります。

六角形と三角形のタイルを使ったウィトフ構造

均一な多面体と同様に、正六角形タイリング (または二重三角形タイリング) に基づく均一なタイリングが8 つあります。

元の面には赤、元の頂点には黄色、元のエッジには青のタイルを描くと、8 つのフォームがあり、そのうち 7 つは位相的に異なります。(切頂三角形のタイリングは、位相的には六角形のタイリングと同一です。)

一面凸六角形タイル

一面体凸六角形タイリングには3つのタイプがあります。^[1]これらはすべて等面体です。それぞれが固定された対称性内でパラメトリックな変化を持ちます。タイプ2にはすべり反射が含まれ、カイラルペアを区別した2等面体です。

また、すべての四辺形と三角形に加えて、 15 個の一面体凸五角形のタイリングもあります。

位相的に同等なタイリング

六角形のタイリングは、通常のタイリング（各頂点の周りに3つの六角形）と同じ{6,3}トポロジで作成できます。等面体では、13のバリエーションがあります。対称性は、すべての面が同じ色であることを前提としています。ここでの色は格子の位置を表します。^[2]単色（1タイル）の格子は平行六角形です。

その他の等面体タイル張りの位相六角形タイル張りは、端から端までつながっていない四辺形や五角形として見られますが、共線上の隣接辺として解釈されます。

2-ユニフォームと3-ユニフォームのタイル張りには回転の自由度があり、六角形の2/3を歪ませます。これには、六角形とより大きな三角形の非エッジツーエッジのタイリングとも見ることができる共線的なケースも含まれます。^[3]

また、キラルな4 色の 3 方向織り模様に変形して、一部の六角形を平行四辺形に変形することもできます。2 つの色の面を持つ織り模様は、回転632 (p6) 対称性を持ちます。シェブロン模様は pmg (22*) 対称性を持ち、3 つまたは 4 つの色のタイルで p1 (°) まで低下します。

サークルパッキング

六角形のタイリングは、各点の中心に同じ直径の円を配置する円パッキングとして使用することもできます。すべての円は、パッキング内の他の3つの円と接しています（キス数）。^{[4]各六角形の内側の隙間には1つの円が入るため、}三角形のタイリングから最も密なパッキングが作成され、各円は最大6つの円と接します。

参照

参考文献

^ タイル張りとパターン、第9.3節凸多角形によるその他の単面体タイル張り
^ タイルとパターン、107 個の等面体タイルの一覧より、pp. 473–481
^ タイル張りとパターン、端から端までではない均一なタイル張り
^ 『 空間の秩序：デザインソースブック』、キース・クリッチロー、74～75ページ、パターン2
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111–112、p. 136。

Coxeter, HSM Regular Polytopes、(第 3 版、1973 年)、Dover 版、ISBN 0-486-61480-8、p. 296、表 II: Regular honeycombs
グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。ニューヨーク：WHフリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章：規則的かつ均一なタイリング、58～65ページ）
ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 35。ISBN 0-486-23729-X。
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

外部リンク

Weisstein、Eric W.「六角形グリッド」。MathWorld。
- Weisstein、Eric W.「Regular tessellation」。MathWorld。
- Weisstein、Eric W.「均一テッセレーション」。MathWorld。
Klitzing、Richard。「2D ユークリッドタイル o3o6x – hexat – O3」。

[1] タイル張りとパターン、第9.3節凸多角形によるその他の単面体タイル張り

[2] タイルとパターン、107 個の等面体タイルの一覧より、pp. 473–481

[3] タイル張りとパターン、端から端までではない均一なタイル張り

[Critchlow-4] ^ 『 空間の秩序：デザインソースブック』、キース・クリッチロー、74～75ページ、パターン2

[5] Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111–112、p. 136。