デュアルポリゴン

幾何学では、多角形はデュアルと呼ばれるペアに関連付けられ、一方の頂点がもう一方のエッジに対応します。

プロパティ

等角形(頂点推移的) 多角形の双対は、等軸多角形 (辺推移的) です。たとえば、(等角的)長方形と (等軸的)菱形は双対です。

環状多角形において、長い辺は双対多角形（接線多角形）のより大きな外角に対応し、短い辺はより小さな角に対応する。^[^要出典^{]さらに、元の多角形の同同な辺は双対の同同な角を生み、その逆もまた同様である。例えば、非常に鋭角な}二等辺三角形の双対は鈍角二等辺三角形である。

ドーマン・ルーク構成では、双対多面体の各面は、対応する頂点図形の双対多角形です。

多角形の辺と角の双対性の例として、円周四辺形と接線四辺形の性質を比較します。^[1]

デュアルポリゴンの最も単純な定性的な構成は、ポリゴンのエッジを各元のエッジの中心にある頂点まで切り詰める補正操作です。これらの新しい頂点の間に新しいエッジが形成されます。

この構築は可逆ではありません。つまり、これを 2 回適用して生成されたポリゴンは、通常、元のポリゴンとは類似しません。

双対多面体の場合と同様に、円 (内接円、外接円、または両方が存在する場合はその中円) を取り、その中で極の往復運動を実行できます。

射影的双対性によれば、点の双対は線であり、線分の双対は点です。したがって、多角形の双対は多角形であり、元の辺は双対の頂点に対応し、その逆もまた同様です。

双対曲線の観点からは、曲線上の各点にその点における接線に点の双対を関連付け、射影双対は次のように解釈できます。

組み合わせ的に、多角形は頂点の集合、辺の集合、および接続関係 (どの頂点と辺が接するか) として定義できます。つまり、2 つの隣接する頂点によって辺が決定され、また、2 つの隣接する辺によって頂点が決定されます。次に、頂点と辺を入れ替えるだけで、二重多角形が得られます。

したがって、頂点 {A、B、C} と辺 {AB、BC、CA} を持つ三角形の場合、双対三角形には頂点 {AB、BC、CA} と辺 {B、C、A} があり、B は AB と BC を接続します。

これは特に実りある方法ではありません。組み合わせ的には、多角形の族は 1 つだけ (辺の数で決まる) であり、多角形の幾何学的双対性はより多様であり、組み合わせ双対多面体も同様です。

^ Michael de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry、ISBN 978-0-557-10295-2、2009年、55ページ。